2021新高考数学二轮复习：专题三 3.2　三角变换与解三角形专项练.pptx

1、3.23.2 三角变换与解三角形专项练三角变换与解三角形专项练 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()=sin cos cos sin ; cos()=cos cos sin sin ; tan()= tantan 1tantan . 2.二倍角公式 sin 2=2sin cos ; cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2; tan 2= 2tan 1-tan2. 3.降幂公式 cos2=1+cos

2、2 2 ;sin2=1-cos2 2 ;sin cos =sin2 2 . 4.正弦、余弦定理 (1)正弦定理: sin = sin = sin=2R(R 为三角形外接圆的半径). (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A= 2+2-2 2 等. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 两角和与差的公式的应用两角和与差的公式的应用 1.(2020 全国,理 9)已知 2tan -tan + 4 =7,则 tan =( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D 解析 由已知得2tan - =7,即tan2-4tan +4=0,解得tan =2. 1 + t

3、an 1-tan 2.(2020 全国,文 5)已知 sin +sin + 3 =1,则 sin + 6 =( ) A.1 2 B. 3 3 C.2 3 D. 2 2 答案 B 解析 根据两角和的正弦公式展开得 sin +sin + 3 =sin +1 2sin + 3 2 cos =3 2sin + 3 2 cos =1,即 3 sin + 6 =1, 解得 sin + 6 = 3 3 .故选 B. 3.(2020湖南师大附中一模,理7)已知为锐角,且cos (1+ tan 10)=1,则 的值为( ) A.20 B.40 C.50 D.70 3 答案 B 解析 由 cos (1+ 3tan

4、 10)=1 可得 cos 3sin10 +cos10 cos10 =1, 即 cos 2sin40 cos10 =1, 所以 cos = cos10 2sin40 = sin80 2sin40 = 2sin40 cos40 2sin40 =cos 40. 又因为 为锐角,所以 =40.故选 B. 4.(2020全国,理9)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =( ) A. 5 3 B.2 3 C.1 3 D. 5 9 答案 A 解析 原式化简得 3cos2-4cos -4=0,解得 cos =-2 3或 cos =2(舍去). (0,),sin = 1-cos2 = 5

5、3 . 5.(2020 山东模考卷,14)已知 cos + 6 -sin = 4 3 5 ,则 sin +11 6 = . 答案 -4 5 解析 cos(+ 6)-sin =cos cos 6-sin sin 6-sin = 3 2 cos -3 2sin = 3(1 2cos - 3 2 sin = 3cos(+ 3)= 4 3 5 , cos + 3 = 4 5.则 sin(+ 11 6 )=sin(- 6)=-cos(- 6 + 2)=-cos(+ 3)=- 4 5. 考向二考向二 三角函数与三角变换的综合三角函数与三角变换的综合 6.已知函数f(x)=asin x+bcos x(xR)

6、,若x=x0是函数f(x)图象的一条对称轴, 且tan x0=3,则a,b应满足的表达式是( ) A.a=-3b B.b=-3a C.a=3b D.b=3a 答案 C 解析 f(x)=asin x+bcos x= 2+ 2( 2+2sin x+ 2+2cos x). 令 cos = 2+2,sin = 2+2,则 tan = , 则 f(x)= 2+ 2sin(x+). x=x0是函数 f(x)图象的一条对称轴,则 x0+= 2+k,kZ,x0= 2-+k,kZ. tan x0=tan( 2-+k)=tan( 2-)= 1 tan = =3,则 a=3b.故选 C. 7.已知函数f(x)=2c

7、os2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4 答案 B 解析 因为 f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=3 1+cos2 2 +1=3 2cos 2x+ 5 2,所 以函数 f(x)的最小正周期为2 2 =.当 cos 2x=1 时,f(x)max=4. 8.(多选)(2020 山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数 f(x)=sin x sin + 3 1 4的 定义域为m,n(mB,则sin Asin B C.若

8、a=8,c=10,B=60,则符合条件的ABC有两个 D.若sin2A+sin2BB,则ab,由正弦定理得sin Asin B成立,故B正确; 2 对于 C,由余弦定理可得 b= 82+ 102-2 8 10 1 2 = 84,只有一解,故 C 不正确; 对于 D,若 sin2A+sin2Bsin2C,由正弦定理得 a2+b2c2,cos C= 2+2-2 2 0, C为钝角,ABC是钝角三角形,故D正确.故选BD. 12.(多选)(2020山东烟台模拟,11)在ABC 中,D 在线段 AB 上,且 AD=5,BD=3, 若 CB=2CD,cosCDB=- 5 5 ,则( ) A.sinCDB

9、= 3 10 B.ABC 的面积为 8 C.ABC 的周长为 8+4 5 D.ABC 为钝角三角形 答案 BCD 解析 因为 cosCDB=- 5 5 ,所以 sinCDB= 1-cos2 = 2 5 5 ,故 A 错误; 设 CD=a,则 BC=2a,在BCD 中,BC2=CD2+BD2-2CD BD cosCDB,解得 a= 5,所以 SDBC=1 2BD CD sinCDB= 1 2 3 5 2 5 5 =3, 所以 SABC=3+5 3 SDBC=8,故 B 正确; 因为ADC=-CDB, 所以 cosADC=cos(-CDB)=-cosCDB= 5 5 , 在ADC 中,AC2=AD

10、2+CD2-2AD DC cosADC,解得 AC=2 5, ABC 的周长=AB+AC+BC=(3+5)+2 5+2 5=8+4 5,故 C 正确; 因为 AB=8 为最大边,所以 cos C= 2+2-2 2 =-3 50, 即C 为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故 D 正确.故选 BCD. 13.(多选)在ABC中,下列命题正确的有( ) A.若A=30,b=4,a=5,则ABC有两解 B.若0tan A tan B1,则ABC一定是钝角三角形 C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形 D.若a-b=c cos B-c cos A,则ABC是

11、等腰或直角三角形 答案 BCD 解析 因为 A=30,b=4,a=5,所以由正弦定理得 sin B=sin = 2 5,ba,所以角 B 只有一个解,故 A 错误; 0tan A tan B1,即 0 sinsin coscos0, 即 cos(A+B)0,所以 A+B 2.故ABC 一定是钝角三角形,故 B 正确; 因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1, 所以A=B=C=60,故C正确; 因为a-b=c cos B-c cos A,所以sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A, 所以s

12、in A-sin Ccos B=sin B-sin Ccos A.又因为sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Bcos C=sin Acos C, 所以sin A=sin B或cos C=0, 所以 A=B 或 C= 2,所以ABC 是等腰或直角三角形,故 D 正确.故选 BCD. 14. (2020全国,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1, AB=AD= ,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB= . 3 答案 -1 4 解析 由题意得

13、 BD= 2AB= 6,BC= 2+ 2=2. D,E,F重合于一点 P, AE=AD= 3,BF=BD= 6, 在ACE中,由余弦定理,得 CE2=AC2+AE2-2AC AEcosCAE =12+( 3)2-21 3cos 30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,得 cosFCB= 2+2-2 2 = 22+12-( 6)2 221 =-1 4. 15.(2020河南实验中学4月模拟,14)如图,为测量出高MN,选择A和另一座山 的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角MAN=60,点C的仰角 CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高 BC=100 m,则

14、山高MN= m. 答案 150 解析 在ABC 中,BAC=45,ABC=90,BC=100 m, AC= 100 sin45 =100 2(m). 在AMC 中,MAC=75,MCA=60,AMC=45, sin = sin ,即 sin60 = 100 2 sin45 , 解得 AM=100 3(m). 在 RtAMN 中,MN=AM sinMAN=100 3 sin 60=150(m). 16.(2020山东,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如 图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切 点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为

15、矩形,BCDG,垂足为 C,tanODC= ,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离 均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 3 5 答案 5 2 +4 解析 作OMCG交CG于点M,APOH交OH于点P,AQCG交CG于点Q, 图略. 设OM=3x,则DM=5x,OP=MQ=7-5x,AP=7-2-3x=5-3x, tanAOP= = 5-3 7-5. 又AOP=HAP, tanHAP= = 12-7 7-2 =1=tanAOP, 5-3 7-5=1,解得 x=1. AOP= 4,AP=2,OA=2 2, S阴=S扇AOB+SAOH-1 2 12=1 2 - 4 (2 2) 2+1 2 2 2 2 2 1 2 =3+4- 2 = 5 2 +4.