1、第六章计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 1 课时 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若 x1,2,3,y5,7,9,则 x y的不同取值的个数是( ) A.2 B.6 C.9 D.8 解析求 x y需分两步.第 1步,x的取值有 3 种;第 2 步,y 的取值有 3种,故共有 33=9(个)不同的值. 答案 C 2.有 5 个不同的棱柱、3 个不同的棱锥、4 个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出 2个几何体,使 多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是( ) A.14 B.23 C.48 D.120 解析分两步:第 1步,取多面体,有 5+3=8(种)不同的取法;第 2
2、 步,取旋转体,有 4+2=6(种)不同的取法. 所以不同的取法种数是 86=48. 答案 C 3.若 x,yN,且 1x3,x+y0,所以 f(x)=3x2+m0; 故 f(x)=x3+mx+n 在 R 上单调递增, 若函数 f(x)=x3+mx+n 在区间1,2上有零点, 则只需满足条件 f(1)0且 f(2)0. 所以 m+n-1且 2m+n-8, 所以-2m-8n-m-1, 当 m=1时,n取-2,-4,-8; 当 m=2时,n取-4,-8,-12; 当 m=3时,n取-4,-8,-12; 当 m=4时,n取-8,-12; 共 11 种取法,而 m有 4种选法,n 有 4种选法, 则函
3、数 f(x)=x3+mx+n 有 44=16(种)情况, 故函数 f(x)=x3+mx+n 在区间1,2上有零点的概率是 ,故选 C. 答案 C 6.(2020 江苏南京高二期中)为了进一步做好社区疫情防控工作,从 6名医护人员中任意选出 2人分别 担任组长和副组长,则有 种不同的选法. 解析首先从 6人中选 1 人担任组长,共有 6 种不同的选法;然后从剩余 5 人中选 1 人担任副组长,共有 5 种不同的选法.根据分步乘法计数原理,从 6名医护人员中任意选出 2人分别担任组长和副组长共 有 65=30(种)不同的选法. 答案 30 7.某体育彩票规定:从 01至 36 共 36个号中抽出
4、7个号为一注,每注 2元,某人想从 01至 10 中选 3个 连续的号,从 11 至 20中选 2 个连续的号,从 21 至 30中选 1 个号,从 31至 36中选 1个号组成一注,此 人想把这种特殊要求的号买全,需要花 元. 解析分四步:第 1步,从 01至 10 中选 3个连续的号码有 01,02,03;02,03,04;08,09,10,共 8 种不同的 选法; 第 2步,同理,从 11 至 20中选 2个连续的号码有 9 种不同的选法; 第 3步,从 21 至 30中选一个号码有 10种不同的选法; 第 4步,从 31 至 36中选一个号码有 6 种不同的选法. 共可组成 89106
5、=4 320(注),所以需要花费 24 320=8 640(元). 答案 8 640 8.现有 5幅不同的国画,2 幅不同的油画,7幅不同的水彩画. (1)从中任选 1 幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选 1幅画布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中任选出 2 幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法? 解(1)利用分类加法计数原理,知共有 5+2+7=14(种)不同的选法. (2)国画有 5种不同的选法,油画有 2种不同的选法,水彩画有 7种不同的选法.由分步乘法计数原 理,知共有 527=70(种)不同的选法. (3)三类分别为选国画与油画、油画
6、与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法 计数原理,知共有 52+27+57=59(种)不同的选法. 素养培优练 用 0,1,2,3,4,5可以组成多少个符合下列要求的无重复数字的数? (1)四位整数; (2)比 2 000大的四位偶数. 解 (1)分步解决: 第 1步,千位数字有 5种选取方法; 第 2步,百位数字有 5种选取方法; 第 3步,十位数字有 4种选取方法; 第 4步,个位数字有 3种选取方法. 由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位整数 5543=300(个). (2)(方法一)按个位是 0,2,4分为三类: 第 1类,个位是 0的有 443=48(个);第 2 类,个位是 2 的有 343=36(个);第 3类,个位是 4 的有 343=36(个). 则由分类加法计数原理知,有 48+36+36=120(个)无重复数字的比 2 000大的四位偶数. (方法二)按千位是 2,3,4,5分四类: 第 1类,千位是 2的有 243=24(个); 第 2类,千位是 3的有 343=36(个); 第 3类,千位是 4的有 243=24(个); 第 4类,千位是 5的有 343=36(个). 由分类加法计数原理知,有 24+36+24+36=120(个)无重复数字的比 2 000 大的四位偶数.
