1、第七章随机变量及其分布 7.5 正态分布 课后篇巩固提升 基础达标练 1.关于正态分布 N(,2),下列说法正确的是( ) A.随机变量落在区间长度为 3的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为 6的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在-3,3之外是一个小概率事件 D.随机变量落在-3,+3之外是一个小概率事件 答案 D 2.(2020 山东高三期末)已知随机变量 服从正态分布 N(1,2),若 P(4)=0.9,则 P(-24)=1-P(4)=0.1, 根据对称性可知,P(4)=0.1, 故 P(-21)=0.5-P(-2)=0.5-0.1=0.4. 答案 C 3.已知
2、XN(0,1),则 X在区间(-,-2)内取值的概率为( ) A.0.954 5 B.0.045 5 C.0.977 3 D.0.022 75 解析由题知对应的正态曲线的对称轴为 x=0, 所以 P(X110)= - =0.2,故估计该班学生数学成绩在 110分以上的人数为 0.250=10. 答案 10 7.已知某地农民工年均收入 X 服从正态分布,其正态曲线如图所示. (1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式; (2)求此地农民工年均收入在 8 0008 500 元之间的人数所占的百分比. 解设此地农民工年均收入 XN(,2), 结合题图可知,=8 000,=500. (1)此地农民工
3、年均收入的密度函数解析式为 f(x)= - - ,xR. (2)P(7 500X8 500) =P(8 000-500X8 000+500)0.682 7, P(8 000X8 500)= P(7 500X8 500)0.341 35=34.135%. 故此地农民工年均收入在 8 0008 500元之间的人数所占的百分比为 34.135%. 8.设 XN(4,1),证明 P(2X6)=2P(2X4). 证明因为 =4,所以正态曲线关于直线 x=4对称,所以 P(2x4)=P(4X6). 又因为 P(2X6)=P(2X4)+P(4X6), 所以 P(2X6)=2P(2p2 B.p11)=p,则
4、P(-10)=( ) A. +p B.1-p C.1-2p D. -p 解析由已知得 P(-10)= P(-11)= -p. 答案 D 3.(2019 山东菏泽一中高二月考)设随机变量 服从正态分布 N(3,7),若 P(a+2)=P(a+2)=P(a-2),a+2+a-2=6,解得 a=3. 答案 C 4.已知 XN(4,2),且 P(2X6)0.682 7,则 = ,P(|X-2|4)= . 解析XN(4,2), =4. P(2X6)0.682 7, - =2. P(|X-2|4)=P(-2X6) =P(-2X5)= =0.841 35. 对于第二个方案有 XN(7,12),其中 2=7,
5、2=1, P(X5)= =0.977 25. 显然第二个方案“利润超过 5 万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案. 素养培优练 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直 方图如图所示. (1)求这 500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表). (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(,2),其中 近似为样本平均数 ,2 近似为样本方差 s2. 利用该正态分布,求 P(187.8Z212.2); 某用户从该企业购买了 100件这种产品,记 X表示这 100
6、 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求 E(X). 附: 12.2. 若 ZN(,2),则 P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5. 解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2分别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150. (2)由(1)知,ZN(200,150), 从而 P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7. 由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 7, 依题意知 XB(100,0.682 7),所以 E(X)=1000.682 7=68.27.
