2020-2021学年湖南省、河北省高三（上）质检数学试卷（10月份）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年湖南省、河北省高三（上）质检数学试卷（学年湖南省、河北省高三（上）质检数学试卷（10 月月 份）份） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |4Ax x， |23Bxx，则(AB ) A |23xx B | 23xx C |14xx D |14xx 2 （5 分）命题“(0,)x ，21 x ”的否定是( ) A 0 (0,)x， 0 21 x B 0 (0,)x， 0 21 x C(0,)x ，21 x D(0,)x ，21

2、x 3 （5 分）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系声音的强度常用 I（单位：瓦/米 2，即2 /)W m表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分 贝）表示，它们满足换算公式： 0 10(0 I LlgL I ，其中 122 0 1 10/IW m 是人们平均能听 到的声音的最小强度） 若使某小区内公共场所声音的强度水平降低 10 分贝， 则声音的强度 应变为原来的( ) A 1 5 B 1 100 C 1 10 D 1 20 4 （5 分）过点(1,3)P与圆 22 4xy相切的直线方程是( ) A340 xy B340 xy C340 xy D340 xy

3、5 （5 分）已知函数 2 2 log,2 ( ) log (4),2 x x f x x x ，若函数( )yf xk有两个零点，则k的取值 范围是( ) A(,2) B(,1) C(2,) D(1,) 6 （5 分）张衡(78年139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家他的数 学著作有算罔论 ，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五已知正方体 的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡的结论 可得该正方体的外接球的表面积为( ) A30 B10 10 C12 10 D36 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）已知双曲线 2 2 2

4、:1(0) y C xb b 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F的直线分别交 双曲线C的两条渐近线于点M，N两点 若点M是线段 2 F N的中点， 且 12 NFNF， 则(b ) A1 B2 C2 D3 8 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x，都有( )(1)f xfx，且函数(1)f x是奇函数， 若 11 () 42 f ，则 2019 () 4 f的值为( ) A1 B1 C 1 2 D 1 2 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9 （5 分）已知0ab，0cd，则下列不等式成立的是( ) A

5、acbd B ab dc C()() cd abab D a ba b cd 10 （5 分）已知函数( )sin(2) 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的图象关于直线 7 6 x 对称 C( )f x在(,) 4 6 单调递增 D( )() 4 yf xf x 的最小值为2 11 （5 分）朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启蒙是一部在中国乃至世界最早 的科学普及著作 算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及 数列的求和问题现有 100 根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成 纵断面为等腰梯形的“垛

6、” ，要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多 1 根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A4 B5 C7 D8 12 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中点，则( ) 第 3 页（共 20 页） A 1 D DAF B 1 / /AG平面AEF C异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为 10 10 D点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2 倍 三、填空题：三、填空题： 13 （5 分）在ABC中，(0,2)AB ，( 3,1)CB ，则BAC的大小为 14 （5 分）已知0 x ，0y

7、，且420 xxyy，则4xy的最小值为 15 （5 分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼” 作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第 一” 如图，永乐桥摩天轮的直径为110m，到达最高点时，距离地面的高度为120m，能看 到方圆40km以内的景致，是名副其实的“天津之眼” 实际上，单从高度角度来看，天津 之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一永乐桥摩天轮设置有 48 个座舱，开启 后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30min 游客甲坐上摩天轮的座舱， 开始转到tmin后距

8、离地面的高度为Hm， 则转到10min后 距离地面的高度为 m，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为 16 （5 分）已知经过点(1,0)的直线l与抛物线 2 4yx相交于A，B两点，点( 1, 1)C ，且 CACB，则ABC的面积为 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 4 页（共 20 页） 17 （10 分）在2 coscoscosaABbC， 22 (sinsin )sinsinsinBCABC， 2 cos2aBcb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b

9、，c，若10b ，6c ，_，求ABC的 面积S 18 （12 分）已知等比数列 n a的公比大于 1，且满足 35 90aa， 4 27a （1）求 n a的通项公式； （2）记 3 log nn ba，求数列(1) nn a b 的前n项和 n T 19 （12 分）已知函数( )sin(0) 2 f xaxxbx 剟在 3 x 处有极值 （1）求a的值，并判断 3 x 是( )f x的极大值点还是极小值点？ （2）若不等式( )sincosf xxx对于任意的0, 2 x 恒成立，求b的取值范围 20 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，FC 平面ABCD，四

10、边 形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且1ADCDBC， 3 2 CF （1）求证：平面BCM 平面AMC； （2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 且 12 | 4 2FF ， 设A是C上一点，且 1 17 | 3 b AF ， 2 | 3 b AF （1）求椭圆C的方程； （2）若不与y轴垂直的直线l过点(1,0)B，交椭圆C于E，F两点，试判断在x轴的负半 轴上是否存在一点T，使得直线TE与TF斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不 存在，请说明理由

11、 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x e f x x （1）求函数( )f x的单调区间； 第 5 页（共 20 页） （2）在平面直角坐标系xOy中，直线2ykx与曲线 x ye交于P，Q两点，设点P的横 坐标为(0)a a ，OPQ的面积为S （）求证： 12 Sa a ee Sae ； （）当S取得最小值时，求k的值 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年湖南省、河北省高三（上）质检数学试卷（学年湖南省、河北省高三（上）质检数学试卷（10 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：

12、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |4Ax x， |23Bxx，则(AB ) A |23xx B | 23xx C |14xx D |14xx 【解答】解： 2 |4 | 22Ax xxx剟?， |23Bxx， | 22 |23 | 23ABxxxxxx剟? 故选：B 2 （5 分）命题“(0,)x ，21 x ”的否定是( ) A 0 (0,)x， 0 21 x B 0 (0,)x， 0 21 x C(0,)x ，21 x D(0,)x ，21 x 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“(0,)x ，21 x ”的否定是： 0 (0

13、,)x， 0 21 x 故选：B 3 （5 分）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系声音的强度常用 I（单位：瓦/米 2，即2 /)W m表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分 贝）表示，它们满足换算公式： 0 10(0 I LlgL I ，其中 122 0 1 10/IW m 是人们平均能听 到的声音的最小强度） 若使某小区内公共场所声音的强度水平降低 10 分贝， 则声音的强度 应变为原来的( ) A 1 5 B 1 100 C 1 10 D 1 20 【解答】解：设该小区内公共场所声音的强度水平为 1 L， 2 L，相应声音的强度为 1 l， 2 l， 由

14、题意，得 12 10LL， 即 12 00 101010 II lglg II ， 第 7 页（共 20 页） 解得： 21 1 10 II 故选：C 4 （5 分）过点(1,3)P与圆 22 4xy相切的直线方程是( ) A340 xy B340 xy C340 xy D340 xy 【解答】解：根据题意，圆 22 4xy，对于点(1,3)P，有 22 1(3)4 ，即点P在圆 上， 而3 OP k ，所以过点P的切线斜率为 11 33 k ， 则所求切线方程为 1 3(1) 3 yx，即340 xy 故选：A 5 （5 分）已知函数 2 2 log,2 ( ) log (4),2 x x

15、f x x x ，若函数( )yf xk有两个零点，则k的取值 范围是( ) A(,2) B(,1) C(2,) D(1,) 【解答】解：由函数 2 logyx与 2 log (4)yx的图象关于直线2x 对称， 可得( )f x的图象如图所示， 由图可知，当1k 时，直线yk与函数( )yf x的图象有两个交点， 即函数( )yf xk有两个零点 故选：D 6 （5 分）张衡(78年139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家他的数 学著作有算罔论 ，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五已知正方体 的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡

16、的结论 可得该正方体的外接球的表面积为( ) A30 B10 10 C12 10 D36 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为 2 a r ， 正方体的外接球半径R满足： 222 2 ( )() 22 a Ra，则 3 2 Ra， 由题意知： 331 31 222 a Rraa ， 所以2a ，3R ， 该正方体的外接球的表面积为12， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即 2 5 168 ， 所以10， 所以外接球的表面积为12 10 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的左、右焦点分别为 1 F，

17、2 F，过 2 F的直线分别交 双曲线C的两条渐近线于点M，N两点 若点M是线段 2 F N的中点， 且 12 NFNF， 则(b ) A1 B2 C2 D3 【解答】解：因为OM是 12 NF F的中位线，所以 1 / /OMNF， 又由 12 NFNF，得 2 OMNF，从而 2 ONF是等腰三角形， 所以 21 60MOFMONNOF ， 即渐近线ybx的倾斜角为60，因此tan603b 故选：D 第 9 页（共 20 页） 8 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x，都有( )(1)f xfx，且函数(1)f x是奇函数， 若 11 () 42 f ，则 2019 () 4 f的值

18、为( ) A1 B1 C 1 2 D 1 2 【解答】解：因为函数(1)f x是奇函数，所以(1)(1)fxf x ， 又( )(1)f xfx，所以(1)( )f xf x ， 所以(2)(1)( )f xf xf x ， 所以函数( )f x的周期为 2， 所以 2019331 ()(504)( )( ) 4444 ffff 因为 1551 ()(1)(1)( ) 4444 ffff ， 所以 111 ( )() 442 ff ，所以 20191 () 42 f 故选：D 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9 （5 分

19、）已知0ab，0cd，则下列不等式成立的是( ) Aacbd B ab dc C()() cd abab D a ba b cd 【解答】解：0ab，0cd， 由不等式的基本性质，知A和B都正确； 取 1 4 a ， 1 2 b ，则 3 (0,1) 4 ab， 33 ( )( ) 44 cd ，故C错误； 幂函数 a b yx ，在(0,)上是增函数， 当0cd时， a ba b cd ，故D正确 故选：ABD 10 （5 分）已知函数( )sin(2) 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的图象关于直线 7 6 x 对称 C( )f x在(

20、,) 4 6 单调递增 第 10 页（共 20 页） D( )() 4 yf xf x 的最小值为2 【解答】解：( )f x的周期为 2 2 ，故A正确； 7 6 x 时， 5 2 62 x ，此时( )f x有最小值，所以( )f x图象关于 7 6 x 对称，B 正确； (,) 4 6 x 时， 2 2(,) 636 x ，由正弦函数的单调性可得函数( )f x在(,) 4 6 上不 单调，C错误； ( )()sin(2)cos(2)2sin(2) 46612 yf xf xxxx ，所以函数的最小值为 2，故D正确， 故选：ABD 11 （5 分）朱世杰是元代著名数学家，他所著的算学启

21、蒙是一部在中国乃至世界最早 的科学普及著作 算学启蒙中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及 数列的求和问题现有 100 根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成 纵断面为等腰梯形的“垛” ，要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多 1 根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A4 B5 C7 D8 【解答】解：设最上面一层放 1 a根，一共放(2)n n层， 则最下面一层放 1 (1)an根， 于是 1 (21) 100 2 nan ， 整理得 1 200 21an n ， 因为 * 1 aN， 所以n为 200 的因数， 200 (1)

22、2n n 且为偶数， 验证可得5n ，8 满足题意 故选：BD 12 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中点，则( ) 第 11 页（共 20 页） A 1 D DAF B 1 / /AG平面AEF C异面直线 1 AG与EF所成角的余弦值为 10 10 D点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2 倍 【解答】解：对于A，假设 1 D DAF，又 11 / /D DA A，于是 1 AAAF， 显然这是不可能的，所以假设不成立，故A错误； 对于B，取 11 BC的中点Q，连接GQ， 1 AQ， 则/ /GQEF， 1

23、/ /AQAE，于是/ /GQ平面AEF， 1 / /AQ平面AEF， 又 1 GQAQQ，平面 1 / /AGQ平面AEF， 又 1 AG 平面 1 AGQ， 1 / /AG平面AEF，故B正确； 对于C，/ /EFGQ， 1 AGQ为异面直线 1 AG与EF所成的角或其补角， 设正方体的棱长为 2，则 11 5AGAQ，2QG ， 由余弦定理得： 1 52510 cos 10252 AGQ ，故C正确； 对于D，连接GC，交FE于O， 连接GF，则OCEOGF，2 OGGF OCCE ， 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的 2 倍，则D正确 故选：BCD 第 12 页（共 2

24、0 页） 三、填空题：三、填空题： 13 （5 分）在ABC中，(0,2)AB ，( 3,1)CB ，则BAC的大小为 3 【解答】解：由题意，得(0,2)( 3,1)(3,1)ACABBCABCB ， 21 cos 222| AC AB BAC ACAB ，所以， 3 BAC ， 故答案为： 3 14 （5 分）已知0 x ，0y ，且420 xxyy，则4xy的最小值为 8 【解答】解：由420 xxyy，得 21 1 2yx ， 则 2188 4(4)()4428 222 xyxy xyxy yxyxyx （当且仅当1x ，4y 时等号成立） ， 故答案为：8 15 （5 分）摩天轮是一

25、种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼” 作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第 一” 如图，永乐桥摩天轮的直径为110m，到达最高点时，距离地面的高度为120m，能看 到方圆40km以内的景致，是名副其实的“天津之眼” 实际上，单从高度角度来看，天津 之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一永乐桥摩天轮设置有 48 个座舱，开启 后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30min 游客甲坐上摩天轮的座舱， 开始转到tmin后距离地面的高度为Hm， 则转到10min后 距离地面的高度为 185

26、2 m，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为 【解答】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的 直线为x轴，建立直角坐标系 第 13 页（共 20 页） 设0tmin时，游客甲位于点(0, 55)P，以OP为终边的角为 2 ； 根据摩天轮转一周大约需要30min， 可知座舱转动的角速度约为， 由题意可得55sin()6555cos65 15215 Htt ，030t剟 当10t 时， 185 55cos(10)65 152 H 故答案为： 185 2 ，55cos65(030) 15 Htt 剟 16 （5 分）已知经过点(1,0)的直线l与抛物线 2 4y

27、x相交于A，B两点，点( 1, 1)C ，且 CACB，则ABC的面积为 5 5 2 【解答】解：设直线:1l xmy， 设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立 2 4 1 yx xmy ， 所以 2 440ymy，所以 12 4yym， 12 4y y ， 所以 2 12 42xxm， 12 1x x 由题意知0CA CB ，所以 1212 (1)(1)(1)(1)0 xxyy， 展开并代入化简得 2 4410mm ，所以 1 2 m ， 所 以l的 方 程 为220 xy， 点C到l的 距 离 为 | 212| 5 5 ， 22 1212 5 |1()44165

28、4 ABmyyy y， 所以 115 5 |55 222 ABC SdAB 故答案为： 5 5 2 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 14 页（共 20 页） 17 （10 分）在2 coscoscosaABbC， 22 (sinsin )sinsinsinBCABC， 2 cos2aBcb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若10b ，6c ，_，求ABC的 面积S 【解答】解：选择条件：因为2 coscoscosaAcBbC， 由正弦定理得2sincoss

29、incossincosAACBBC， 所以2sincossin()sinAABCA 因为(0, )A， 所以sin0A， 所以 1 cos 2 A 又(0, )A， 所以 3 A 所以 11 sin106sin15 3 223 SbcA 选择条件：因为 22 (sinsin )sinsinsinBCABC， 所以 222 sinsin2sinsinsinsinsinBCBCABC， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理得 222 bcabc ， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为(0, )A， 所以 2 3 A 所以 112 sin106

30、sin15 3 223 SbcA 选择条件：因为2 cos2aBcb， 由正弦定理可得，2sincos2sinsinABCB， 所以2sincos2sin()sinABABB， 即2sincos2sincos2cossinsinABABABB， 所以2cossinsin0ABB 因为(0, )B， 第 15 页（共 20 页） 所以sin0B ， 所以2cos10A ， 所以 1 cos 2 A 因为(0, )A， 所以 2 3 A 所以 112 sin106sin15 3 223 SbcA 18 （12 分）已知等比数列 n a的公比大于 1，且满足 35 90aa， 4 27a （1）求

31、n a的通项公式； （2）记 3 log nn ba，求数列(1) nn a b 的前n项和 n T 【解答】解： （1）设等比数列 n a的公比为(1)q q ， 依题意，得 24 11 3 1 90 27 a qa q a q ， 两式相除，得 2 110 3 q q ，整理得 2 31030qq， 结合1q ，解得3q ， 所以 1 33 2727 1 3 a q ， 所以 1 3n n a ； （2）由（1）知 1 3n n a ，所以 3 log1 nn ban， 从而 1 (1)3n nn a bn ， 所以 0121 1 32 33 33n n Tn ， 两边同乘以 3，得 12

32、3 31 32 33 33n n Tn ， 由得： 0121 1 311 2333333() 3 1 322 n nnnn n Tnnn ， 所以 11 (21) 3 44 n n Tn 19 （12 分）已知函数( )sin(0) 2 f xaxxbx 剟在 3 x 处有极值 （1）求a的值，并判断 3 x 是( )f x的极大值点还是极小值点？ 第 16 页（共 20 页） （2）若不等式( )sincosf xxx对于任意的0, 2 x 恒成立，求b的取值范围 【解答】解： （1）由( )sinf xaxxb，得( )cos1fxax， 由题意，得()0 3 f ，即cos10 3 a

33、，解得2a 当2a 时， 1 ( )2cos12(cos) 2 fxxx ， 由( )0fx，得 1 cos 2 x ，结合0 2 x 剟，解得 3 x 当0 3 x 时，( )0fx； 当 32 x 时，( )0fx， 3 x 是( )f x的极大值点 （2）不等式( )sincosf xxx对于任意的0, 2 x 恒成立， 等价于cossinbxxx对于一切0, 2 x 恒成立 记( )cossing xxxx，则( )maxbg x， ( )1sincos12sin() 4 g xxxx 由0 2 x 剟，得 3 444 x 剟， 所以 2 sin() 1 24 x 剟， 即12sin(

34、)2 4 x 剟， ( ) 0g x 从而( )g x在0, 2 上是减函数， ( )(0)1 max g xg， 故1b 20 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，FC 平面ABCD，四边 形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且1ADCDBC， 3 2 CF （1）求证：平面BCM 平面AMC； （2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值 第 17 页（共 20 页） 【解答】 （1）证明：在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，ADBC， 所以60DAB，ACDCAB ， 又ADCD，所以DACACD ， 所以30DACCAB ， 所以90AC

35、B，所以ACBC 又FC 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以FCBC， 因为ACFCC，AC，FC 平面ACFE， 所以BC 平面ACFE，即BC 平面AMC 又BC 平面BCM，则平面BCM 平面AMC （2）解：由（1）知CA，CB，CF两两垂直， 所以以C为坐标原点， 分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为1BC ，60ABC， 3 2 CF ， 所以3AC ，所以( 3,0,0)A，(0B，1，0)， 33 (,0,) 22 M， 所以(3,1,0)AB ， 33 (,0,) 22 AM 设 1 ( , , )nx y z为平面MAB的一个法向量，

36、由 1 1 0 0 n AB n AM ，得 30 33 0 22 xy xz ， 第 18 页（共 20 页） 解得 3yx zx ，取1x ，则 1 (1, 3,1)n 因为 2 (1,0,0)n 是平面FCB的一个法向量， 设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为， 所以 12 12 |15 cos |55 n n nn 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 且 12 | 4 2FF ， 设A是C上一点，且 1 17 | 3 b AF ， 2 | 3 b AF （1）求椭圆C的方程； （2）若不与y轴垂直的直线l

37、过点(1,0)B，交椭圆C于E，F两点，试判断在x轴的负半 轴上是否存在一点T，使得直线TE与TF斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不 存在，请说明理由 【解答】解： （1）设椭圆C的焦距为2c， 则24 2c ，2 2c ，即 22 8ab 由椭圆的定义，得 12 | 2AFAFa， 由已知，得 12 17 |6 33 bb AFAFb， 所以26ab，即3ab， 联立 22 8ab和3ab，解得3a ，1b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 9 x y （2）由已知直线l过点(1,0)B，设l的方程为1xmy， 则联立方程组 2 2 1 1 9 xmy x y ，消去x并整理得

38、22 (9)280mymy 设 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y，(T t，0)(t，0)， 则 12 2 12 2 2 9 8 9 m yy m y y m ， 所以 2 1212 22 218 ()22 99 m xxm yy mm ， 2 2 12121212 2 99 (1)(1)()1 9 m x xmymym y ym yy m 第 19 页（共 20 页） 又直线TE与TF斜率分别为 1 1 TE y k xt ， 2 2 TF y k xt ， 则 1212 2222 121212 8 ()()()(9)9(1) TETF y yy y kk xt xtx

39、xt xxttmt 因为0t ，所以当3t 时，mR， 1 18 TETF kk 所以在x负半轴上存在定点( 3,0)T ，使得直线TE与TF斜率之积为定值 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x e f x x （1）求函数( )f x的单调区间； （2）在平面直角坐标系xOy中，直线2ykx与曲线 x ye交于P，Q两点，设点P的横 坐标为(0)a a ，OPQ的面积为S （）求证： 12 Sa a ee Sae ； （）当S取得最小值时，求k的值 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为(，0)(0，)， 2 (1)1 ( ) x ex fx x 令( )(1) 1 x g x

40、e x，则( ) x g xxe 由( )0g x，得0 x ，由( )0g x，得0 x ， ( )g x在(,0)上为减函数，在(0,)上为增函数 当0 x 时，( )(0)0g xg，即 2 ( ) ( )0 g x fx x ， 当0 x 时，( )(0)0g xg，即 2 ( ) ( )0 g x fx x 当(x ，0)(0，)时，( )0fx， ( )f x在区间(,0)，(0,)上都是增函数， 因此( )f x的增区间为(,0)，(0,)，没有减区间 （2） （）证明：( ,) a P a e，设( ,) b Q b e（其中0)ab， 由题意，得OPQ的面积 1 2() 2

41、Sbaba，即Sba 由2 a eka，得 2 a e k a ， 由( ,) a P a e及( ,) b Q b e，得 ba ee k ba ， 11112 () Sb ababaa aaaa eeeeeee k Sbaba ebaeeae ， 故 12 Sa a ee Sae 成立 （）解：由（1） ，得 1 ( )(0) S e f SS S 为增函数， 第 20 页（共 20 页） 于是S最小( )f S最小 2 (0) a a e a ae 最小 令 2 ( )(0) a a e h aa ae ，则 2 22 ( ) a a ae h a a e ， 再令（a）22(0) a ae a，则（a）20(0) a ea， 当0a 时，（a）单调递增 又 1 ( 1)0e ， 1 2 1 ()10 2 e ， 存在唯一的 0 1 ( 1,) 2 a ，使得 0 ()0a，即 0 0 220 a ae 当 0 aa时，（a）0，即 2 ( ) ( )0 a a h a a e ； 当 0 0aa时，（a）0，即 2 ( ) ( )0 a a h a a e 0 aa是h（a）的极小值点，也是h（a）的最小值点， 当 0 aa时，( )f S取得最小值，等价于S最小，此时 0 0 220 a ae， 0 0 2 2 a e k a