2020-2021学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知复数满足13zi ，则( | z z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 2 （5 分）设aR，则“ 2 aa”是“| 1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充

2、分又不必要条件 3 （5 分）函数 (22 ) ( ) 2cos xx x f x x 的部分图象大致为( ) A B C D 4 （5 分）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段某医院在成为 新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天， 每个检测对象从接受检测到检测报告 生成平均耗时( )t n（单位：小时）大致服从的关系为 0 0 0 0 0 0 , ( )( , t nN n t nt t n N N ， 0 N为常数） 已 知第 16 天检测过程平均耗时为 16 小时，第 64 天和第 67 天检测过程平均耗时均为 8 小时， 那么可得到第 49 天检测过程平均耗

3、时大致为( ) A16 小时 B11 小时 C9 小时 D8 小时 5 （5 分）已知函数( )sin(2)f xx，其中为实数，若( )|()| 6 f xf 对xR恒成立，且 ()( ) 2 ff ，则( )f x的单调递增区间是( ) A 3 k ，() 6 kkZ Bk，() 2 kkZ C 6 k ， 2 () 3 kkZ D 2 k ，()kkZ 第 2 页（共 18 页） 6 （5 分）已知两定点( 2,0)A ，(1,0)B，如果动点P满足|2 |PAPB，点Q是圆 22 (2)(3)3xy上的动点，则|PQ的最大值为( ) A53 B53 C32 3 D32 3 7 （5 分

4、）已知等差数列 n a的前n项和 n S，若 7 0a ， 8 0a ，则下列结论正确的是( ) A 78 SS B 1516 SS C 15 0S D 13 0S 8 （5 分） 已知点(3,4)A是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别是双曲线C 的左、右焦点，若以 12 F F为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为( ) A2 B2 C5 D5 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是分，在每小题给出的选项中，有多项是 符合题目要求的全部选对的得符合

5、题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知向量( 2,1)a ，(cosb，sin )(0)剟，则下列命题正确的是( ) A若ab，则tan2 B若b在a上的投影为 1 2 ，则向量a与b的夹角为 2 3 C存在，使得| |abab Da b的最大值为3 10 （5 分）已知( )f x是定义域为R的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)fxfx， 当02x剟时， 2 ( )f xxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 4 B( )f x的图象关于直线2x 对称 C当04x剟时

6、，函数( )f x的最大值为 2 D当68x剟时，函数( )f x的最小值为 1 2 11 （5 分）在ABC中，已知coscos2bCcBb，且 111 tantansinABC ，则( ) Aa、b、c成等比数列 Bsin:sin:sin2:1:2ABC C若4a ，则7 ABC S DA、B、C成等差数列 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分）已知 111 20lnxxy， 22 22260 xyln，记 22 1212 ()()Mxxyy， 则( ) AM的最小值为16 5 B当M最小时， 2 14 5 x CM的最小值为 4 5 D当M最小时 2 12 5 x 三、填空题（本大

7、题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填写在答题卡相应位置上）分把答案填写在答题卡相应位置上） 13（5分） 求经过点( 5,2)A 且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的 2 倍的直线方程 14 （5 分）函数sin3cosyxx的图象可由函数sin3cosyxx的图象至少向右平移 个单位长度得到 15 （5 分）ABC的三个顶点都在抛物线 2 :32E yx上，其中(2,8)A，ABC的重心G是 抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 16 （5 分）已知0ab，则 41 a abab 的最小值为 四、解答题（共四、解答题（共 70 分，解答

8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在条件sinsin 2 BC baB ，sincos() 6 aBbA 中任选一个，补充到下 面问题中，并给出问题解答 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ， _ 求ABC 的面积 18 （12 分）已知集合 2 2 |log ( 4159)Ax yxx，xR， | 1Bx xm，xR （1）求集合A； （2）若:p xA，:q xB，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 19 （12 分）已知函数( ) x ax f x e （1）当0a 时，求( )f

9、 x的最小值； （2）若对存在 0 xR，使得 0 1 () 3 f x e ，求实数a的取值范围 20 （12 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足 * 2(1)() nn Sna nN，且 1 2a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设(1)2 n a nn ba，数列 n b的前n项和 n T，求证： 20 9 n T 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点与抛物线 2 4 3yx的焦点重合， 且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为 1 （）求椭圆C的标准方程； （）直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中

10、点为(1, )Mt，直线m是线段AB的垂直 平分线，试问直线m是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 22 （12 分）设函数 2 ( )()f xln xax （）若当1x 时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性； （）若( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 2 e ln 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷学年山东省枣庄市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40

11、 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知复数满足13zi ，则( | z z ) A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 【解答】解：因为13zi ，所以 2 2 | |( 1)32z 则 13 |2 zi z 故选：D 2 （5 分）设aR，则“ 2 aa”是“| 1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解： 2 aa，解得01a， | 1a ，解得11a ， 01a是| 1a 的充分不必要条件， 故

12、选：A 3 （5 分）函数 (22 ) ( ) 2cos xx x f x x 的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解：根据题意，对于函数 (22 ) ( ) 2cos xx x f x x ， 有 ()(22 )(22) ()( ) 2cos()2cos xxxx xx fxf x xx ，即函数( )f x为奇函数，排除A、B； 当0 x 时，有 (22 ) ( )0 2cos xx x f x x ，排除D； 第 6 页（共 18 页） 故选：C 4 （5 分）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段某医院在成为 新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天

13、， 每个检测对象从接受检测到检测报告 生成平均耗时( )t n（单位：小时）大致服从的关系为 0 0 0 0 0 0 , ( )( , t nN n t nt t n N N ， 0 N为常数） 已 知第 16 天检测过程平均耗时为 16 小时，第 64 天和第 67 天检测过程平均耗时均为 8 小时， 那么可得到第 49 天检测过程平均耗时大致为( ) A16 小时 B11 小时 C9 小时 D8 小时 【解答】解：由第 64 天和第 67 天检测过程平均耗时均为 8 小时知， 0 16N ， 所以 0 16 16 t ，解得 0 64t 又 0 64 8 N ，解得 0 64N ， 所以

14、64 ,64 ( ) 8,64 n t nn n ， 故当49n 时， 6464 (49)9 749 t， 故选：C 5 （5 分）已知函数( )sin(2)f xx，其中为实数，若( )|()| 6 f xf 对xR恒成立，且 ()( ) 2 ff ，则( )f x的单调递增区间是( ) A 3 k ，() 6 kkZ Bk，() 2 kkZ C 6 k ， 2 () 3 kkZ D 2 k ，()kkZ 【解答】解：若( )|()| 6 f xf 对xR恒成立， 则() 6 f 为函数的函数的最大值或最小值， 即2 62 k ，kZ， 则 6 k ，kZ， 第 7 页（共 18 页） 又(

15、)( ) 2 ff ，sin()sinsin(2)sin ，sin0 令1k ，此时 5 6 ，满足条件sin0， 令 5 22 62 xk ，2 2 k ，kZ， 解得： 6 xk ， 2 () 3 kkZ 则( )f x的单调递增区间是 6 k ， 2 () 3 kkZ 故选：C 6 （5 分）已知两定点( 2,0)A ，(1,0)B，如果动点P满足|2 |PAPB，点Q是圆 22 (2)(3)3xy上的动点，则|PQ的最大值为( ) A53 B53 C32 3 D32 3 【解答】解：设点( , )P x y， 由| 2|PAPB，得 2222 (2)2 (1)xyxy， 所以P的轨迹方

16、程为 22 40 xyx，即 22 (2)4xy 又点Q是圆 22 (2)(3)3xy， 如图， 由图可知，圆 22 (2)4xy上， 当P为(2, 2)时，P到(2,3)距离最大为 5， 又圆 22 (2)(3)3xy的半径为3， |PQ的最大值为53 故选：B 第 8 页（共 18 页） 7 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和 n S，若 7 0a ， 8 0a ，则下列结论正确的是( ) A 78 SS B 1516 SS C 15 0S D 13 0S 【解答】解：根据题意可知数列为递减数列，前 7 项的和为正，从第 8 项开始为负， 故数列 n S中 7 S最大，故A不正确，

17、当 87 | |aa时， 11578 15 () 15() 15 0 22 aaaa S ，故C不正确， 113 137 () 13 130 2 aa Sa ，故D正确 16 0a， 161516 SSa， 1516 SS，故B不正确 故选：D 8 （5 分） 已知点(3,4)A是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别是双曲线C 的左、右焦点，若以 12 F F为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为( ) A2 B2 C5 D5 【解答】解：由已知得 12 AFAF，所以 12 | 2| 10FFAO， 所以5c ， 又 2222 (35)4(

18、35)42a， 所以5a ， 所以双曲线C的离心率 5 5 5 c e a ， 故选：C 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是分，在每小题给出的选项中，有多项是 符合题目要求的全部选对的得符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知向量( 2,1)a ，(cosb，sin )(0)剟，则下列命题正确的是( ) A若ab，则tan2 B若b在a上的投影为 1 2 ，则向量a与b的夹角为 2 3 C存在，使得| |ab

19、ab Da b的最大值为3 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：若ab，则2cossin0a b，则tan2 ，故A错误； 若b在a上的投影为 1 2 ，且| 1b ，则 1 |cos, 2 ba b ， 2 cos, 3 a b ，故B正确； 若 222 ()2ababa b， 222 (|)|2|ababa b， 若| |abab，则|cos,|a ba ba ba b， 即cos,1a b，故0，| |abab，故C正确； 2cossin3sin()a b，因为0 剟，0 2 ，则当 2 时，a b的 最大值为3，故D正确， 故选：BCD 10 （5 分）已知( )f x是定义域为R

20、的函数，满足(1)(3)f xf x，(1)(3)fxfx， 当02x剟时， 2 ( )f xxx，则下列说法正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 4 B( )f x的图象关于直线2x 对称 C当04x剟时，函数( )f x的最大值为 2 D当68x剟时，函数( )f x的最小值为 1 2 【解答】解：对任意实数x满足(1)(3)f xfx， 可得函数( )f x关于2x 对称轴， 又(1)(3)f xf x， (4)( )f xf x 即函数( )f x是周期函数，周期为 4 (4)(4)fxf x， 那么()( )fxf x 函数( )f x是偶函数， 又当02x剟时， 2 ( )

21、f xxx 函数( )f x在区间 1 2 ，2上单调递增 函数( )f x在区间0， 1 2 上单调递减 第 10 页（共 18 页） 当04x剟时，函数( )f x的最大值为 2 函数( )f x的周期为 4 当68x剟时，函数 22 ( )(7)(7)1556f xxxxx， 当7.5x 时，取得最小值 1 2 ，则D选项正确 故选：ABCD 11 （5 分）在ABC中，已知coscos2bCcBb，且 111 tantansinABC ，则( ) Aa、b、c成等比数列 Bsin:sin:sin2:1:2ABC C若4a ，则7 ABC S DA、B、C成等差数列 【解答】 解： 将c

22、oscos2bCcBb， 利用正弦定理化简得：sincossincos2sinBCCBB， 即sin()2sinBCB， sin()sinBCA， sin2sinAB， 利用正弦定理化简得：2ab， 又 111 tantansinABC ，即 coscossincossincossin()sin1 sinsinsinsinsinsinsinsinsin ABBAABABC ABABABABC ， 2 sinsinsinABC，由正弦定理可得 2 abc， 2ac， 1 : :2:1:2 22 a a b caa，故A错误， 由正弦定理可得sin:sin:sin2:1:2ABC ，故B正确； 若

23、4a ，可得2b ，2 2c ，可得 16483 cos 2424 C ，可得 7 sin 4 C ，可得 17 427 24 ABC S ，故C正确； 若A、B、C成 等 差 数 列 ， 且ABC，2BAC， 可 得 3 B ， 由 于 22 2 222 5 21 24 cos 2282 aa a acb B acac ，故D错误 故选：BC 第 11 页（共 18 页） 12 （5 分）已知 111 20lnxxy， 22 22260 xyln，记 22 1212 ()()Mxxyy， 则( ) AM的最小值为16 5 B当M最小时， 2 14 5 x CM的最小值为 4 5 D当M最小时

24、 2 12 5 x 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 点A在函数2ylnxx的图象上，点B在直线242 20 xyln上， 22 1212 ()()Mxxyy的 最 小 值 转 化 为 函 数2yl n xx的 图 象 上 的 点 与 直 线 22260 xyl n上点距离最小值的平方 由2ylnxx，得 1 1y x ，与直线22 260 xyln平行的直线的斜率为 1 2 k 令 11 1 2x ，得2x ，则切点坐标为(2,2)ln， 切点(2,2)ln到直线22 260 xyln的距离 |22 22 26|4 5 55 lnln d 即 22 12

25、12 ()()Mxxyy的最小值为16 5 又过(2,2)ln且与22 260 xyln垂直的直线为22(2)ylnx，即2420 xyln ， 联立 22 260 2420 xyln xyln ，解得 14 5 x ， 即当M最小时， 2 14 5 x 故选：AB 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填写在答题卡相应位置上）分把答案填写在答题卡相应位置上） 13 （5 分）求经过点( 5,2)A 且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的 2 倍的直线方程 250 xy或210 xy 【解答】解：当截距为 0 时，设直线方程为yk

26、x， 则52k， 2 5 k 直线方程为250 xy 当截距不为 0 时，设直线方程为1 2 xy aa 由题意， 52 1 2aa ， 1 2 a 第 12 页（共 18 页） 210 xy 综上，250 xy或210 xy 14 （5 分）函数sin3cosyxx的图象可由函数sin3cosyxx的图象至少向右平移 2 3 个单位长度得到 【解答】解：( )sin3cos2sin() 3 yf xxxx ，sin3cos2sin() 3 yxxx ， ()2sin()(0) 3 f xx ， 令2sin()2sin() 33 xx ， 则2() 33 kkZ ， 即 2 2() 3 kkZ

27、 ， 当0k 时，正数 2 3 min ， 故答案为： 2 3 15 （5 分）ABC的三个顶点都在抛物线 2 :32E yx上，其中(2,8)A，ABC的重心G是 抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为 4400 xy 【解答】解：由题意知，抛物线 2 32yx的焦点为(8,0)F； 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 由重心坐标公式得 12 1 (2)8 3 xx， 12 1 (8)0 3 yy， 所以 12 22xx， 12 8yy ； 因为三个顶点在抛物线上， 所以 2 11 32yx， 2 22 32yx； 两式相减可得：斜率为 12 1212 32 4 yy

28、 k xxyy ； 又BC的中点坐标为(11, 4)M， BC的方程是44(11)yx ，即4400 xy 故答案为：4400 xy 16 （5 分）已知0ab，则 41 a abab 的最小值为 3 2 【解答】解：由于0ab， 第 13 页（共 18 页） 所以 414141 223 2 2222 abababab a abababababab 当且仅当 2 2 2 ab ab ，即 3 2 2 a ， 2 2 b 时，等号成立 故答案为：3 2 四、解答题（共四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）

29、在条件sinsin 2 BC baB ，sincos() 6 aBbA 中任选一个，补充到下 面问题中，并给出问题解答 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ， _ 求ABC 的面积 【解答】解：若选： 由正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB ， 因为0B，所以sin0B ， 所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA， 所以cos2sincos 222 AAA ， 因为0A，0 22 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ， 所以 3 A 又 2222 ()3abcbcbcbc，2 6a ，6bc， 所以4bc

30、， 所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 若选： 由正弦定理得：sinsinsincos() 6 ABBA 因为0B， 所以sin0B ，sincos() 6 AA ， 第 14 页（共 18 页） 化简得 31 sincossin 22 AAA， 即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A 又因为 222 2cos 6 abcbc ， 所以 2222 ()6(2 6) 2323 bca bc ，即2412 3bc ， 所以 111 sin(2412 3)63 3 222 ABC SbcA 18 （12 分）已知集合 2 2 |log ( 4159)Ax yxx，xR，

31、 | 1Bx xm，xR （1）求集合A； （2）若:p xA，:q xB，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）集合A即为函数 2 2 log ( 4159)yxx定义域，即需 2 41590 xx， 即(3)(43)0 xx，解得 3 ( ,3) 4 A ； （2） 由| 11x mx m 厖或1xm， 即1x m或1x m， 则1Bm，)(， 1m， 因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 则 3 131 4 mm或剟，解得 1 4 4 mm或剠， 所以实数m的取值范围是 1 (,4,) 4 19 （12 分）已知函数( ) x ax f x e （

32、1）当0a 时，求( )f x的最小值； （2）若对存在 0 xR，使得 0 1 () 3 f x e ，求实数a的取值范围 【解答】 解：（1） (1) ( ) x ax fx e ，0a ，(1,)x 时，( )0fx；(0,1)x时，( )0fx 函数( )f x在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减 1x时，函数( )f x取得极小值即最小值f（1） a e （2）对a分类讨论：若0a ，则( )0f x ，不存在 0 xR，使得 0 1 () 3 f x e 成立 若0a ，则 1 111 ()1 3 a f ae e ，满足题意 第 15 页（共 18 页） 若0a ，由（1

33、）可知：函数( )f x的最小值为f（1） a e ， 1 3 a ee ，解得 1 3 a 综上可得：实数a的取值范围是(， 1) (0 3 ，) 20 （12 分）已知数列 n a的前n项和 n S满足 * 2(1)() nn Sna nN，且 1 2a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设(1)2 n a nn ba，数列 n b的前n项和 n T，求证： 20 9 n T 【解答】解： （1）因为数列 n a的前n项和 n S满足 * 2(1)() nn Sna nN， 所以： 11 2(2) nn Sna 且 1 2a 得： 11 2(2)(1) nnn anana ， 整理得

34、： 1 (1) nn nana ， 所以 1 1 nn aa nn ， 所以数列 n a n 为常数列 所以 1 2 1 n aa n ， 所以2 n an 证明： （2）由（1） ， 2 ( 2 1 )2( 2 1 )4 nn bnn， 所以 12 1 43 4(21) 4n n Tn ， 231 41 43 4(21) 4n n Tn ， 得： 231 342 (444 )(21) 4 nn n Tn ， 所以 1 1 16 (41) 342(21) 4 4 1 n n n Tn ， 整理得： 1 20(65) 420 999 n n n T 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(

35、0) xy Cab ab 的一个焦点与抛物线 2 4 3yx的焦点重合， 且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为 1 （）求椭圆C的标准方程； （）直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为(1, )Mt，直线m是线段AB的垂直 平分线，试问直线m是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （）抛物线 2 4 3yx的焦点为( 3,0)，准线为3x 则有 22 22 3 1 3 4 1 cab ab ，解得 2 4a ， 2 1b 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （）法一：显然点(1, )Mt在椭圆C内部，故 33 22

36、t ，且直线l的斜率不为 0， 当直线l的斜率存在且不为 0 时，易知0t ，设直线l的方程为(1)yk xt， 代入椭圆方程并化简得： 22222 (1 4)(88)48440kxktkxkktt， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 2 88 2 14 ktk xx k ，解得 1 4 k t 因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线:4 (1)m ytt x ，即：(43)ytx 令430 x ，此时 3 ,0 4 xy，于是直线m过定点 3 ( ,0) 4 当直线l的斜率不存在时，易知0t ，此时直线:0m y ，故直线m过定点 3 ( ,0) 4

37、， 综上所述，直线m过定点 3 ( ,0) 4 法二：显然点(1, )Mt在椭圆C内部，故 33 22 t ，且直线l的斜率不为 0， 当直线l的斜率存在且不为 0 时， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则有 2 21 1 1 4 x y， 2 22 2 1 4 x y， 两式相减得 1212 1212 ()() ()()0 4 xxxx yyyy 由线段AB的中点为(1, )Mt，则 12 2xx， 12 2yyt， 故直线l的斜率 12 12 1 4 yy k xxt 因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线:4 (1)m ytt x ，即：(43)ytx 令43

38、0 x ，此时 3 ,0 4 xy，于是直线m过定点 3 ( ,0) 4 当直线l的斜率不存在时，易知0t ，此时直线:0m y ，故直线m过定点 3 ( ,0) 4 ， 综上所述，直线m过定点 3 ( ,0) 4 22 （12 分）设函数 2 ( )()f xln xax 第 17 页（共 18 页） （）若当1x 时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性； （）若( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 2 e ln 【解答】解： （） 1 ( )2fxx xa ， 依题意有( 1)0f ，故 3 2 a 从而 2 231(21)(1) ( ) 3

39、3 22 xxxx fx xx ( )f x的定义域为 3 (,) 2 ， 当 3 1 2 x 时，( )0fx；当 1 1 2 x 时，( )0fx；当 1 2 x 时，( )0fx 从而，( )f x分别在区间 31 (, 1),(,) 22 单调增加，在区间 1 ( 1,) 2 单调减少 （）( )f x的定义域为(,)a， 2 221 ( ) xax fx xa 方程 2 2210 xax 的判别式 2 48a （）若0，即22a，在( )f x的定义域内( )0fx，函数单调递增，故( )f x无 极值 （）若0，则2a 或2a 若2a ，(2,)x ， 2 ( 21) ( ) 2

40、x fx x 当 2 2 x 时，( )0fx， 当 22 (2,)(,) 22 x 时，( )0fx，所以( )f x无极值 若2a ，( 2,)x， 2 ( 21) ( )0 2 x fx x ，( )f x也无极值 （ ） 若 0， 即2a 或2a ， 则 2 2210 xa x有 两 个 不 同 的 实 根 2 1 2 2 aa x ， 2 2 2 2 aa x 当2a 时， 22 2aa，则 2 2aa 2 2 22 aa ， 2 1 2 0 2 aa xa ， 第 18 页（共 18 页） 1 xa ， 2a ， 22 2aa， 2 2aa 2 2 2 0 2 aa xa ， 2

41、xa ，从而( )fx在( )f x的定义域内没有零点， 故( )f x无极值 当2a 时， 22 2aa， 2 1 2 2 aa x ， 2 2 2 2 aa x 2 1 2 0 2 aa xa ， 2 2 2 0 2 aa xa ， 1 xa ， 2 xa ，( )fx在( )f x的定义域内有两个不同的零点， 由极值判别方法知( )f x在 1 xx， 2 xx取得极值 综上，( )f x存在极值时，a的取值范围为( 2,) 由于 12 xxa ， 12 1 2 x x ， 则( )f x的极值之和为 222 121122 1 ()()()()112 22 e f xf xln xaxln xaxlnalnln