1、 1(2018 高考全国卷)已知函数 f(x)1 3x 3a(x2x1) (1)若 a3，求 f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点 解：(1)当 a3 时，f(x)1 3x 33x23x3，f(x)x26x3. 令 f(x)0 解得 x32 3或 x32 3. 当 x(，32 3)(32 3，)时，f(x)0； 当 x(32 3，32 3)时，f(x)0，所以 f(x)0 等价于 x3 x2x13a0. 设 g(x) x3 x2x13a，则 g(x) x2（x22x3） （x2x1）2 0，仅当 x0 时 g(x)0，所以 g(x) 在(，)单调递增 故 g(x)至多有一个零
2、点， 从而 f(x)至多有一个零点 又 f(3a1)6a22a1 36? ? ? ? a1 6 2 1 60， 故 f(x)有一个零点 综上，f(x)只有一个零点 2(2018 唐山模拟)已知 f(x)1 2x 2a2ln x，a0. (1)若 f(x)0，求 a 的取值范围； (2)若 f(x1)f(x2)，且 x1x2，证明：x1x22a. 解：(1)由题意知，f(x)xa 2 x （xa）（xa） x . 当 x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增 当 xa 时，f(x)取得最小值 f(a)1 2a 2a2ln a. 令1 2a 2a2ln a0，解得 0a. 要证 x1x22a
3、即 x22ax1，则只需证 f(x2)f(2ax1) 因 f(x1)f(x2)，则只需证 f(x1)f(2ax1) 设 g(x)f(x)f(2ax)，0g(a)0. 又由题意得 00，即 f(x1)f(2ax1) 因此 x1x22a. 3(2018 石家庄质量检测(二)已知函数 f(x)xaxln x(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)xaxln x 存在极大值，且极大值点为 1，证明：f(x)e xx2. 解：(1)由题意 x0，f(x)1aaln x. 当 a0 时，f(x)x，函数 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a0 时，函数 f(x)1aaln x
4、 单调递增，f(x)1aaln x0?xe 1 1 a0， 故当 x(0，e 1 1 a)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(0，e1 1 a)上单调递减，在(e1 1 a，)上单调递增； 当 a0， 故当 x(0，e 1 1 a)时，f(x)0，当 x(e1 1 a，)时，f(x)0， 则 h(x)e x2xln x. 令 g(x)h(x)， 则 g(x)e x21 x0， 所以函数 h(x)e x2xln x 在(0，)上单调递增， 又 h? ? ? ? 1 e e 1 e2 e10， 故 h(x)e x2xln x 在? ? ? 1 e，1 上存在唯一零点 x0，即e x02x 0ln
5、 x00. 所以当 x(0，x0)时，h(x)0，所以函数 h(x)在(0，x0) 上单调递减，在(x0，)上单调递增， 故 h(x)h(x0)e x0x2 0x0x0ln x0， 所以只需证 h(x0)e x0x2 0x0x0ln x00 即可， 由e x02x 0ln x00， 得 e x02x 0ln x0， 所以 h(x0)(x01)(x0ln x0)， 又 x010， 所以只要 x0ln x00 即可， 当 x0ln x00 时，ln x0x0?x0e x0?ex0x 00， 所以e x0x 0x0ln x00 与e x02x 0ln x00 矛盾； 当 x0ln x00 时，ln
6、x0x0?x0e x0?ex0x 00， 得e x02x 0ln x00，故 x0ln x00 成立， 得 h(x0)(x01)(x0ln x0)0， 所以 h(x)0，即 f(x)e xx2. 4(2018 郑州质量检测(二)已知函数 f(x)exx2. (1)求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程； (2)求证：当 x0 时，e x（2e）x1 x ln x1. 解：(1)由题意得，f(x)ex2x， 则 f(1)e2，f(1)e1， 所以曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y(e2)x1. (2)证明：f(x)ex2x，令 h(x)ex2x， 则 h(x)ex2， 易知 f(x)
7、在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增， 所以 f(x)f(ln 2)22ln 20， 所以 f(x)在(0，)上单调递增 又曲线 yf(x)过点(1，e1)， 且曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y(e2)x1， 所以可猜测：当 x0，x1 时，f(x)的图象恒在切线 y(e2)x1 的上方 下证：当 x0 时，f(x)(e2)x1. 设 g(x)f(x)(e2)x1exx2(e2)x1，x0， 则 g(x)ex2x(e2)，令 (x)g(x)， 则 (x)ex2， 易知 g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，又 g(0)3e0，g(1) 0，00；当 x(x0，1)时，g(x)0. 又 xln x1，所以e x（2e）x1 x ln x1，当且仅当 x1 时等号成立
