1、 1 圆锥曲线与方程(选择题、填空题) 一、单选题一、单选题 1(安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学(理)椭圆 22 1xmy的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) A 1 4 B 1 3 C 1 2 D4 【答案】A 【解析】由题意 2 2 1 1 y x m ,所以 2 1 a m , 2 1b ,所以 1 22 1 24 m , 1 4 m 故选 A 2(江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初)抛物线 2 1 4 yx的焦点坐标是( ) A 1 ,0 16 B1,0 C 1 -,0 16 D0,1 【答案】D 【解
2、析】 2 1 4 yx即 2 4xy,所以其焦点在 y 轴正半轴,坐标为0,1,故选 D 3(云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学(理)抛物线 2 2(0)ypx p 的焦点到双曲线 22 1xy的渐近线的距离为 2 2 ,则p ( ) A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点为(,0) 2 p ,双曲线的渐近线为0 xy,所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线 的距离为 22 22 2 11 p d ,又因为 0p ,所以 2p ,故选 C 4(四川省仁寿第二中学 2020-2021 学年高三 9 月月考数学 (理) ) 若双曲线 22 :1 3
3、xy C m 的离心率为3, 则 C 的虚轴长为( ) A4 B2 3 C2 6 D2 2 【答案】C 【解析】因为双曲线 22 :1 3 xy C m 的离心率为3,故 3 3 3 m , 解得6m,所以虚轴长为2 6故选 C 5(江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020 学年高二上学期 10 月月考)椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 ( ) A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】因为椭圆 22 1 94 xy 中3a ,2b,所以 22 5cab , 得 5 3 c e a ,故选 B 6(安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学
4、期开学考试数学(文)椭圆 22 1xmy的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) A 1 4 B8 C2 D4 【答案】A 【解析】由题意 2 2 1 1 y x m , 22 1 ,1ab m 且 1 2 1 m , 1 4 m 故选 A 7(江苏省泰州中学 2020-2021 学年高二上学期期初检测)已知椭圆 22 1 2516 xy 上的点P到椭圆一个焦点 的距离为 7,则P到另一焦点的距离为( ) A2 B3 C5 D7 【答案】B 【解析】根据椭圆定义可知,P到两个焦点的距离之和为22 5 10a= ?,所以P到另一个焦点的距离为 10 73 故选 B 8(湖北
5、省武汉为明学校 2019-2020 学年高二上学期 12 月月考)空间直角坐标系中,O 为坐标原点,已知 两点坐标为 A(3,1,0),B(1,3,0),若点 C 满足OCOAOB,其中,R, 3 1,则点 C 的轨迹为 A平面 B直线 C圆 D线段 【答案】B 【解析】设点 C 的坐标为( , , )x y z,由题意可得 ( , , )(3,3 ,0)x y z , 再由1 可得,250 xy,故点 C 的轨迹方程为250 xy,故选 B 9 (四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试数学 (文) ) 已知点2,0A 、3,0B, 动点,P x y 满足 2 PA PBx ,则点
6、P的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【答案】D 【解析】动点,P x y满足 2 PA PBx , 2 23x, yx, yx , 22 23xxyx ,解得 2 6yx,点P的轨迹是抛物线故选 D 10(陕西省西安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期模拟调研考试数学(理)已知F为抛物线 2 :8C yx的焦点,M为C上一点,且4MF ,则M到x轴的距离为( ) A4 B4 2 C8 D16 【答案】A 【解析】因为F为抛物线 2 :8C yx的焦点,所以2,0F,设 11 ,M x y,由抛物线的性质得: 1 422x , 2 11 8 2164yy ,故M到x的距
7、离为 4故选 A 11(江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初)双曲线的方程为 22 1 32 xy ,则以双曲线右准线 为准线的抛物线的标准方程是( ) A 2 12 5 5 yx B 2 12 5 5 yx C 2 12 5 5 xy D 2 12 5 5 xy 【答案】B 【解析】由双曲线 22 1 32 xy ,得 2 3a , 2 2b ,则 22 5cab ,双曲线的右准线方程为 4 2 33 5 55 a x c ,可知抛物线的准线方程为 3 5 5 x ,则焦点坐标为 3 5 ,0 5 F ,设抛物线方程为 2 2(0)ypx p ,则 3 5 25 p , 1
8、2 5 2 5 p ,则抛物线的标准方程是 2 12 5 5 yx ,故选 B 12(吉林省通化市梅河口五中 2020 届高三高考数学(文科)六模)已知第四象限内抛物线 2 16yx上的 一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的 1 5 ,则点M的坐标为( ) A1, 8 B1, 4 C1, 8 2 D 2, 4 2 【答案】B 【解析】设( , )M x y,则根据题意及抛物线的定义可得: 1 (4) 5 xx,解得1x , 代入抛物线方程得:4y ,又点M在第四象限,所以 4y ,故(1, 4)M故选 B 13(吉林省长春市长春八中 2020 届高三毕业班第一次诊断性检测数学(理)已知抛
9、物线 2 4yx的焦 点为F,,M N是抛物线上两个不同的点若5MFNF,则线段MN的中点到y轴的距离为( ) A3 B 3 2 C5 D 5 2 【答案】B 【解析】由抛物线方程 2 4yx,得其准线方程为1x,设 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy, 由抛物线的性质得, 12 11=5MFNFxx ,MN中点的横坐标为 3 2 , 线段MN的中点到y轴的距离为 3 2 故选 B 14(四川省成都七中 2020-2021 学年高三入学考试数学文科试题)抛物线 2 :4W yx的焦点为F,点A 在抛物线上,且点A到直线3x 的距离是线段AF长度的 2 倍,则线段AF的长度为( )
10、 A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】依题意,得 F(1,0),抛物线的准线为 x1,线段 AF 的长等于点 A 到准线 x1 的距离, 因为点A到直线3x的距离是线段AF长度的 2 倍,所以,点A到直线3x的距离是点 A 到准线 x 1 的距离的 2 倍,设 A 点横坐标为 0 x,是 0 x32( 0 x1),解得: 0 x1,所以,AF1( 5 1)2,故选 B. 15(云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学(文)抛物线 2 4yx的焦点 到双曲线 22 1xy的渐近线的距离为( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D2 【答案】B 【解析】因为抛
11、物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线为0 xy, 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 22 10 2 2 11 d ,故选 B 16(河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考)双曲线 22 1 102 xy 的焦距为( ) A3 2 B4 2 C3 3 D4 3 【答案】D 【解析】由双曲线 22 1 102 xy 方程得 22 10,2,ab 222 10212,2 3,24 3cabcc即焦距为4 3,故选 D 17(江西九江市第一中学 2019-2020 学年度高二下学期期末考试数学(文)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab ,
12、过E的右焦点F作其渐近线的垂线, 垂足为P, 若O P F的面积为 3 4 ac, 则E的离心率为( ) A3 B 2 3 3 C2 D 2 【答案】C 【分析】 先求出焦点F到渐进线的距离为b, 由勾股定理求出RT OFP的边长OPa, 再由面积得到 , a c 的关系,从而求出离心率 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的渐近线方程为 b yx a , 6 过E的右焦点F作其渐近线的垂线,垂足为P,则 22 bc PFb ab , 所以在RT OFP中,, 2 OPFFPb OFc ,所以OPa, 则 13 24 OPF ac Sab,即23bc, 所以 22
13、43bc,即 222 43cac,所以 22 4ac ,故2 c e a ,故选 C 18(安徽省皖南八校 2020-2021 学年高三上学期摸底联考理科)已知双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的 两条渐近线互相垂直,且焦距为2 6,则抛物线 2 2ybx的准线方程为( ) A3x B 3 2 x C3y D 3 2 y 【答案】B 【分析】根据双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直,得到ab,然后利用焦距为2 6, 求得 b,进而得到抛物线的方程求解 【解析】因为双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直, 所以ab,又焦
14、距为2 6,所以 2 22 2 6 6 2 ab ,解得3ab, 所以 2 2 3yx,所以抛物线的准线方程是 3 2 x ,故选 B 19(云南师范大学附属中学 2021 届高三高考适应性月考卷 (一) 数学 (理) ) 双曲线 :C 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为3,0F,且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1,则双曲线 C 的离心率为( ) 7 A 2 B 3 2 4 C 2 3 3 D2 3 【答案】B 【分析】先由题意,得到3c ,渐近线方程为0bxay,根据点到直线距离公式,求出1b,得出a, 即可求出离心率 【解析】因为双曲线的右焦点为3,0F,
15、即3c ,双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为 0bxay ;又 点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1, 所以 22 3 1 b ba , 即 3 1 b c , 所以 1b, 则 22 2 2acb , 因此 3 2 4 c e a 故选 B 20(江西省南昌市 2021 届高三摸底测试数学(理)若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率 1,3e,则m的 取值范围为( ) A0,4 B0,8 C1,9 D8, 【答案】B 【分析】利用双曲线的离心率可以建立不等式113m,然后直接求解即可 【解析】由已知得,0m,双曲线 2 2 1 y x m 的离心率 1,3e,又
16、由 1em ,则113m, 化简得08m,故m的取值范围为0,8,故选 B. 21 (河 南省 2020-2021 学年上 学期 高中毕业 班阶段 性测 试(一) 理科 ) 已知 双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,离心率为 2,且经过点 3,2,点P在C上, 12 60FPF,则点P到x轴的距离为( ) A 3 2 B 6 2 C 3 D6 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为 2,可知双曲线为等轴双曲线,a b,将点 3,2代入双曲线方程得 8 1ab,根据对称性,不妨设P点在第一象限,P到x轴的距离为h, 12 2 2FF , 12
17、 2PFPF, 由余弦定理得 222 121212 02cos6FFPFPFPFPF 2 1212 PFPFPFPF,所以 12 4PFPF , 由三角形面积公式得 12 1 sin60 2 PFPF 12 1 2 FFh,得 6 2 h 故选 B 22(安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考)椭圆的焦距为 8,且椭圆 的长轴长为 10,则该椭圆的标准方程是( ) A 22 1 259 xy B 22 1 259 xy 或 22 1 259 yx C 22 1 10036 xy D 22 1 10036 xy 或 22 1 10036 yx 【答案】B 【
18、解析】根据题意,椭圆的焦距为 8,长轴长为 10,则28c ,210a , 即4c ,5a,则 22 3bac , 若椭圆的焦点在x轴上,则其标准方程为 22 1 259 xy , 若椭圆的焦点在y轴上,则其标准方程为 22 1 259 yx , 故要求椭圆的标准方程为 22 1 259 xy 或 22 1 259 yx ,故选 B 23(安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考)若0mn,则方程 0mxyn 与 22 nxmymn所表示的曲线可能是图中的( ) A B 9 C D 【答案】C 【分析】0mxyn即为直线y mxn , 22 nxmymn即为
19、曲线 22 1 xy mn ,0mn,再逐项判 断即可 【解析】0mxyn即为直线y mxn , 22 nxmymn即为曲线 22 1 xy mn ,0mn对于 A 选项,由直线方程可知,0m,0n,则曲线 22 1 xy mn ,0mn表示圆或椭圆,A 选项错误;对于 B 选项,由直线方程可知,0m,0n,则曲线 22 1 xy mn ,0mn不存在,B 选项错误;对于 C 选项, 由直线方程可知,0m,0n,则曲线 22 1 xy mn ,0mn表示焦点在x轴上的双曲线,C 选项正确; 对于 D 选项,由直线方程可知,0m,0n,则曲线 22 1 xy mn ,0mn表示焦点在y轴上的双曲
20、线, D 选项错误故选 C 24(重庆市第八中学 2020 届高三下学期第五次月考数学(文)椭圆 2 2 1 4 x y的焦点为 1 F, 2 F点P 为椭圆上的动点若 12 FPF为钝角,点P的横坐标的取值范围为( ) A 66 , 33 B 2 6 2 6 , 33 C 2 2 , 3 3 D 1 1 , 3 3 【答案】B 【分析】根据椭圆方程,得到 1 3,0F , 2 3,0F,设 00 ,P x y,根据 12 FPF为钝角,推出 1 2 0PFPF,再由集合椭圆的方程,即可求出结果 【解析】因为 1 F, 2 F为椭圆 2 2 1 4 x y的两焦点,则 1 3,0F , 2 3
21、,0F, 设 00 ,P x y,则 1 00 3,PFxy , 200 3,PFxy, 因为 12 FPF为钝角,所以 222 1 200000 3330PFPFxxyxy , 10 又 2 2 0 0 1 4 x y, 22 2 00 12 0 3 3 120 44 xx PFPFx , 0 2 62 6 33 x 故选 B 25(安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学(文)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 y 轴 上,且短轴的长为 2,离心率等于 2 5 5 ,则该椭圆的标准方程为( ) A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y
22、x D 2 2 1 5 x y 【答案】C 【解析】设椭圆C标准方程为 22 22 10 yx ab ab 短轴长为2,22b, 解得:1b离心率 2 5 5 c e a ,又 2222 1abcc , 2 5a, 椭圆C的标准方程为 2 2 1 5 y x故选C 26 (2020 届重庆市第一中学高三下学期 6 月模拟数学(文)已知P为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上 一点,O为坐标原点, 1 F, 2 F为椭圆C的左右焦点,若 2 |OPOF,且 21 tan2PF F, 12 PFF的面 积为 4,则该椭圆的标准方程为( ) A 22 1 94 xy B 22 1 9
23、5 xy C 22 1 83 xy D 22 1 84 xy 【答案】A 【分析】由已知条件可得 12 PFF为直角三角形,若设 12 ,PFm PFn,则结合椭圆的定义和直角三角 形的性质,已知条件得,8mn, 2 222 12 4mnFFc,2m na,2mn,从而可求出,a b的值, 进而可求出椭圆的方程 【解析】设 12 ,PFm PFn,因为 2 |OPOF,所以 21 |OPOFOF,所以 12 PFF为直角三角 11 形,即 12 90FPF,因为 21 tan2PF F,所以 2mn,因为 12 PFF的面积为 4,所以 1 4 2 mn , 即8mn,因为 12 90FPF,
24、所以 2 222 12 4mnFFc,由椭圆的定义可得2mna,所以 222 24mnmna,所以解得 2 4b , 4,2mn ,所以3a ,所以所求椭圆方程为 22 1 94 xy , 故选 A. 27 (江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初)设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F, 2 F,上顶点为B,若 212 2BFFF则该椭圆的方程为( ) A 22 1 43 xy B 2 2 1 3 x y C 2 2 1 2 x y D 2 2 1 4 x y 【答案】A 【解析】因为 212 2BFFF,所以2,1ac,由 222 abc 可得
25、 2 3b , 所以椭圆方程是: 22 1 43 xy 故选 A 【点睛】本题考查了椭圆定义及椭圆的简单性质,属于简单题,解题中需要注意椭圆性质 222 abc的准 确应用 28(江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初)已知椭圆G: 22 22 1 xy ab (0ab)的右焦点为 3,0F,过点F的直线交椭圆于A,B两点若AB的中点坐标为1, 1,则G的方程为( ) A 22 1 4536 xy B 22 1 3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy 【答案】D 【解析】设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 22 11 22 22
26、22 22 1 1 xy ab xy ab , 两式相减并化简得 2 1212 2 1212 yyyyb axxxx , 12 又过点F的直线交椭圆于A,B两点,AB的中点坐标为1, 1, 所以 12 12 2 2 xx yy , 12 12 01 3 1 AB yy k xx , 即 22 22 22 01111 2 13 122 bb ab aa , 由于 222 abc且3c ,由此可解得 2 18a , 2 9b , 故椭圆E的方程为 22 1 189 xy 故选 D 29(河南省 2020 届高三(6 月份)高考数学(文科)质检)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab
27、的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F, B 为椭圆的上顶点, 若 12 BFF的外接圆的半径为 2 3 b , 则椭圆 C 的离心率为 ( ) A 2 2 B 3 2 C 1 2 D 2 3 【答案】C 【分析】设 O 为坐标原点, 12 BFF的外接圆的圆心必在线段OB上,则有 22 2 22 33 cbbb ,求 出 22 3bc,进而得2ac,故可得椭圆的离心率 【解析】设 O 为坐标原点, 12 BFF的外接圆的圆心必在线段OB上, 且有 22 2 22 33 cbbb ,得 22 3bc,即 222 3acc,所以 22 4ac, 所以2ac,即椭圆 C 的离心率为 1 2 c e
28、 a 故选 C 30(河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考)椭圆 22 1xmy的焦点在 y 轴上,长 轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为() A2 B C4 D 【答案】D 【解析】 22 1xmy 2 222 1111 1,1,12 1 4 y xababm mmm m 13 31(河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考)焦点在 x 轴上的椭圆 22 2 1 25 xy a 焦距 为 8,两个焦点为 12 ,F F,弦 AB 过点 1 F,则 2 ABF的周长为( ) A20 B28 C2 41 D4 41 【答案】D 【解析】
29、因为焦点在 x 轴上的椭圆 22 2 1 25 xy a 焦距为 8,所以 22 254a ,解得 41a ; 如图,根据椭圆的定义可得 12 2AFAFa, 12 2BFBFa,所以 2 221122 44 41 ABF CABAFBFAFBFAFBFa,故选 D. 32(福建省泰宁第一中学 2019-2020 学年高二上学期第一阶段考试)“4m”是“椭圆 22 1 5 xy m 焦距为 2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当4m时, 22 5,4,22 542abc,即4m时,椭圆 22 1 5 xy m 焦距为2,当6
30、m 时, 22 6,5,2652abc, 即“4m”是“椭圆 22 1 5 xy m 焦距为2”的充分不必要条件, 故选 A 33 (黑龙江省大庆实验中学 2020 届高三综合训练(五)数学(文)已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F, 准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若 4PFMF ,则MN ( ) A 3 2 B 9 2 C3 D9 14 【答案】B 【分析】由 4PFMF ,可得 3PMMF ,结合抛物线的定义和三角形的性质,求得直线MN的斜率, 进而得到MN的方程,将其与抛物线的方程联立,求得交点的横坐标,再利用抛物线的定义,即可求解 【解析】由题意,抛物线
31、2 :4C yx的焦点为 (1,0)F ,因为 4PFMF ,可得 3PMMF , 如 图 所 示 , 过 点M作MQ 直 线l于 点Q, 则M FM Q, 所 以 在 直 角PQM中 , 1 c o s 3 M QM F P Q M P MP M ,所以tan 2 2PQM,所以直线MN的方程为2 2(1)yx,联 立 2 2 2(1) 4 yx yx ,整理得 2 2520 xx ,解得2x或 1 2 x , 由抛物线的定义可知 19 22 22 MN 故选 B 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,以及平面向量的线性运算等知识的综 合应用,其中解答中熟练运用抛物线的
32、定义是解答的关键,着重考查推理与运算能力 34(广东省广州市执信、广雅、六中三校 2021 届高三上学期 8 月联考)已知抛物线 2 2ypx( 0p ) 的准线与圆 22 40 xyy相交所得的弦长为2 3,则 p的值为( ) A 1 2 B1 C2 D4 【答案】C 15 【解析】抛物线 2 2ypx( 0p )的准线方程为 2 p x , 圆 22 40 xyy的标准方程为 2 2 24xy,圆心坐标为0,2,半径为 2, 圆心到准线的距离为 2 p ,所以有 2 2 2 32 2 p ,解得 2p 故选 C 35(四川省内江市第六中学 2020 届高三强化训练 (一) 数学 (文) )
33、 已知双曲线C : 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是2yx,过其左焦点3,0F 作斜率为 2 的直线l交双曲线C于A,B两点,则 截得的弦长AB ( ) A2 5 B4 5 C10 D10 2 【答案】C 【分析】根据渐进线方程得出2 b a ,再根据焦点得出 3c ,结合 222 cab,可求出双曲线的标准 方程,然后根据点斜式得出直线方程,联立方程组求出 12 4 3xx, 12 7x x,最后由弦长公式 2 2 121 2 14ABkxxx x 即可求出截得的弦长AB 【解析】双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是2yx, 2 b
34、 a ,即 2ba ,左焦点3,0F ,3c 2222 33caba, 2 1a , 2 2b , 双曲线方程为 2 2 1 2 y x ,直线l的方程为 23yx, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y由 2 2 23 1 2 yx y x , 消y可得 2 4 370 xx , 12 4 3xx, 12 7x x, 2 2 121 2 141 4482852010ABkxxx x 故选 C 36(云南省曲靖市宣威市 2019-2020 学年高二下学期期末数学(文)已知双曲线 22 2 10 4 xy b b 的 16 焦点与椭圆 22 1 2516 xy 的焦点重合,则该双曲线的焦
35、点到其渐近线的距离等于( ) A4 2 B5 C3 D 5 【答案】D 【分析】根据两个曲线的焦点重合即可求得b的值,从而求得双曲线的渐近线方程,然后利用焦点到渐近 线的距离公式求得结果 【解析】 2 425 16b, 2 5b ,5b ,因此该双曲线的一条渐近线的方程为 5 2 yx,即 520 xy又焦点为3,0或3,0,可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 3 5 2 5 5 1 4 d 故 选 D 37(湘豫名校 2020 届高三下学期数学(理)联考)已知 1 ,0Fc、 2 ,0F c是双曲线 22 22 :1 xy C ab 的 左、右焦点, 1 F关于双曲线的一条渐近线的对称点为
36、P,且点P在抛物线 2 4ycx上,则双曲线的离心率 为( ) A 2 1 B2 C 5 D 51 2 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式得出点 1 F到0 b xy a 的距离,从而得出 1 2PFb, 2 2PFa, 12 cos a FF P c ,结合抛物线的定义得出 122212 cosFFPFPFFF P,化简得 22 caca,利用离心 率公式得出 2 10ee ,求解即可得出答案 【解析】由题意可得过一三象限的渐近线方程为 b yx a ,则点 1 F到0bxay的距离为 22 bc b ab , 所以在 12 FPF中, 1 2PFb, 2 2PFa, 12 2FFc
37、, 12 cos a FF P c 17 由抛物线的定义可知,点P到准线xc的距离等于点P到 2 F的距离, 122212 cosFFPFPFFF P, 12 222 coscaaFF P,即 22 caca, 2 10ee , 51 2 e (负值舍去)故选 D. 38 (湘豫名校 2020 届高三联考 (6 月) 数学 (文) ) 已知 O 为直角坐标系的坐标原点, 双曲线 C: 22 22 1 xy ab (0ba)上有一点5,Pm(0m),点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点,过点 P 作 双曲线 C 两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为 A,B,若平行四边形P
38、AOB的面积为 3 4 ,则 双曲线的标准方程是( ) A 2 2 1 4 y x B 22 1 23 xy C 22 1 19 22 xy D 22 1 37 22 xy 【答案】C 【解析】据题意,双曲线的半焦距5c ,可设一条平行线方程为 5 b ymx a ,由 5 b yx a b ymx a ,解得 5 2 A amb x b ,则 2 2 5 1 2 bmab OA ab ,又点 P 到直线 b yx a 的距离 22 5bam d ab , 222 2 2 22 55 53 1 224 bmabm a b mab abab ab , 18 又 2 22222 22 5 15 m
39、 ba ma b ab , 3 2 ab ,又 5c ,解得 2 2 a , 3 2 2 b ,所以双曲线的标 准方程是 22 1 19 22 xy ,故选 C 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程,属于中档题求 解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶 点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联 系 39(江苏省南通如皋、盐城射阳 2020-2021 学年高三上学期期初联考)设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab
40、 的左右焦点,过 1 F的直线l与 222 :O xya相切,l与C的渐近线在第一象限 内的交点是P,若 2 PFx轴,则双曲线的离心率等于( ) A3 B2 C2 2 D4 【答案】A 【解析】由于直线l与双曲线 22 22 :1 xy C ab 的渐近线的交点在第一象限, 故其渐近线方程为 b yx a ,由 2 PFx轴, 2( ,0) F c,设 0 ,P c y, 则 0 bbc yc aa ,即, bc P c a ,设直线的倾斜角为,0, 2 , 根据直线l与圆O相切,设切点为M,由原点O到l的距离为半径a,且 1 |OFc, 19 在直角 1 OMF中, 22 1 MFcab,
41、则 1 | tan OMa MFb , 又在直角 12 PFF中,2 12 tan 22 bc PFb a FFca ,则 22 2ba, 由双曲线性质可得: 222 cab,可得: 22 3ca, 故双曲线的离心率为3 c e a ,故选 A 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方 法,方法一:求出 , a c ,代入公式 c e a ;方法二:只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式,转化 为 , a c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值(范围) 40(安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上
42、学期第一次月考)已知 F 是椭圆 2 2 x Cy1 2 :的左焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,点Q 4,3,则PQPF的最大值为( ) A5 2 B3 2 C34 D4 2 【答案】A 【分析】由题意,设椭圆 C 的右焦点为F 1,0,由已知条件推导出PQPFPQ2 2PF,利用 Q,F,P 共线,可得PQ PF取最大值 【解析】由题意,点 F 为椭圆 2 2 x Cy1 2 :的左焦点,F1,0, 点 P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐标为4,3,设椭圆 C 的右焦点为F 1,0, PQPFPQ2 2PF2 2PQPF,PQPFQF3 2, PQPF5 2,即最大值为 5 2,此时
43、 Q,F,P 共线,故选 A 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记椭圆的标准 20 方程、定义和简单的几何性质,合理应用是解答的关键,着重考查了转化思想以及推理与运算能力 41(江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020 学年高二上学期 10 月月考)已知椭圆 22 1 10036 xy 上的 一点P到左焦点 1 F的距离为6,点M是线段 1 PF的中点,O为坐标原点,则|OM A3 B4 C7 D14 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义求出 2 |PF的长度,再利用中位线定理求出|OM|的长度 【解析】由椭圆的定义得 1212 220,6
44、,14.PFPFaPFPF 因为 121 ,OFOFMFPM,所以 2 1 7. 2 OMPF故答案为 C. 【点睛】(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推 理能力(2)在圆锥曲线里,看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题,这是一个一般的规律 42 (安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学(文)已知点 1 F, 2 F分别是椭圆 1 C和双曲线 2 C 的公共焦点,1e, 2 e分别是 1 C和 2 C的离心率, 点 P 为 1 C和 2 C的一个公共点, 且 12 2 3 FPF , 若 2 2e , 则 1 e的值是( ) A
45、 5 5 B 5 4 C 2 5 7 D 2 5 5 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程 222 12 43caa,由此得到关于离心率的方程求 得结果 【解析】设椭圆长半轴长为 1 a,双曲线实半轴长为 2 a,焦点坐标为 1 ,0Fc , 2 ,0F c, 不妨设P为第一象限内的点,则 121 2PFPFa, 122 2PFPFa,则 22 1212 PF PFaa, 由余弦定理得: 2222 2 12121212 2 42cos 3 cPFPFPF PFPFPFPF PF , 222222 11212 443caaaaa , 22 12 31 4 ee ,又
46、2 2e , 2 1 4 5 e, 21 1 2 5 5 e故选D 【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解,关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义,利用余 弦定理构造等量关系,配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程 43(云南省红河州 2020 届高三高考数学(理科)一模试题)已知 1 F、 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点, 且 12 3 FPF , 记椭圆和双曲线的离心率分别为 1 e, 2 e, 则 1 2 1 2e e 的最大值为 ( ) A 3 2 B 3 3 C 2 3 3 D1 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为 22 11 22 11 1(0) xy a
47、b ab ,双曲线方程为 22 22 22 1 xy ab 22 (0,0)ab,点P在第 一象限, 由椭圆和双曲线的定义得: 121 2PFPFa, 122 2PFPFa, 解得 112 PFaa, 212 PFaa, 在 12 FPF中,由余弦定理得: 222 12121212 2cosFFPFPFPF PFFPF, 即: 22 2 12121212 4caaaaaaaa,整理得: 222 12 34aac, 所以 2 22 1 31 4 ee , 22 121 2 132 3 eeee ,即 1 2 2 3 4 e e ,当且仅当 12 13 ee 时,等号成立 故 1 2 13 23e e ,所以 1 2 1 2e e 的最大值为 3 3 .故选 B. 44(四川省江油中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学(理)设命题 2 :,20pxR xx ; 命题 :q 若1m ,则方程 22 1 21 xy mm 表示焦点在x轴上的椭圆,那么,下列命题为真命题的是( ) Ap q B pq Cp q Dp
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