2021安徽中考数学复习课件：第13讲　二次函数的应用.pptx

1、第第1313讲讲 二次函数的应用二次函数的应用 第三单元第三单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 二次函数与增长率 1.(2014 安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新 产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研 发资金y(单位:元)关于x的函数关系式为y=_. 答案 a(1+x)2 解析 一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金 与上月相比增长率都是x, 二月份研发资金为a (1+x). 三月份的

2、研发资金为y=a (1+x) (1+x)=a(1+x)2. 命题点2 几何图形与二次函数 2.(2015 安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用 水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网 在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且 这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区 域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围. (2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少? 解 (1)设 AE=a m,由题意,得 AE AD=2BE BC,AD=BC,所以 BE=1 2a,AB= 3 2a. 由题意,得 2x+3a+2 1

3、 2a=80, 所以 a=20-1 2x,y=AB BC= 3 2a x= 3 2 20- 1 2 x, 即 y=-3 4x 2+30 x,其中 0x40. (2)y=-3 4x 2+30 x=-3 4(x-20) 2+300,由于-3 40,抛物线开口向下, 又 0x40,所以当 x=20 时,y 取最大值,最大值为 300. 命题点3 利润与资源的最优化 3.(2018 安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆, 售后统计,盆景平均每盆的利润是160元,花卉平均每盆的利润是19元,调研发现: 盆景每增加1盆,盆景平均每盆的利润减少2元;每减少1盆,盆景平均每

4、盆的利 润增加2元; 花卉平均每盆的利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二 期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利 润是多少? 解 (1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60 x+8 000,W2=19(50-x)=-19x+950. (2)W=W1+W2=-2x2+41x+8 950(0x50,且 x 为整数), -20,抛物线开口向下,- 41 2(-2) = 41 4 , 当 0x41 4

5、 时,y 随 x 的增大而增大; 当41 4 2.43. 球能越过网. 当 x=18 时,y=- 1 60(18-6) 2+2.6=0.20. 球会过界. (3)把 x=0,y=2,代入 y=a(x-6)2+h, 得 a=2- 36 . 当 x=9 时,y=2- 36 (9-6)2+h=2+3 4 2.43. 当 x=18 时,y=2- 36 (18-6)2+h=8-3h0. 由,得 h8 3. 考点梳理整合考点梳理整合 K 考点清单考点清单 考点 二次函数的实际应用(高频考点) (10年7考) 1.解二次函数应用题的步骤及关键点 步骤 关键点 (1)分析问题 明确题中的常量与变量及它们之间的

6、关系, 确定自变量及函数 (2)建立模型,确定函数解析 式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐 标系 (3)求函数解析式 表示变量间的数量关系及自变量的取值范围 (4)应用性质,解决问题 熟记顶点坐标公式或配方法,注意a的正负及 自变量的取值范围 2.应用二次函数解决实际问题的方法 (1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系; (2)根据等量关系列出函数表达式; (3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围 ; (4)利用函数性质解决问题; (5)检验并写出合适的答案. 3.二次函数应用题的常见类型及解法 (1)最值型 列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围; 配方或用

7、公式法求顶点坐标 ; 如果自变量的取值范围是x1xx2,顶点在自变量的取值范围x1xx2 内,则当 .如果顶点不在此范围内,则需根据二次函数增 减性确定最值. x=- 2时,y 最值=4- 2 4 (2)现实生活中的抛物线型 弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实 际条件转化成坐标; 利用待定系数法求出二次函数关系式; 将题目中提出的实际问题转化为函数问题; 利用函数性质求解,并检验结果是否符合实际问题. (3)几何图形面积型 找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量; 找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式; 确定自变量的取值范围; 利用函数性质求解

8、,并检验结果是否符合实际问题. 考法互动研析考法互动研析 考法1二次函数与增长率 例1 (2020 河南)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增 加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我 国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为( ) A.500(1+2x)=7 500 B.5 0002(1+x)=7 500 C.5 000(1+x)2=7 500 D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500 答案 C 解析 设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,由题意得 5 00

9、0(1+x)2=7 500. 故选C. 方法总结 这类题目主要是以增长率公式列出函数表达式,进而用二次函 数的性质等解决问题. 对应练1(2020 安徽淮北一模)据省统计局公布的数据,安徽省2019年第二 季度GDP总值约为7.9千亿元人民币,若我省第四季度GDP总值为y千亿元 人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为x,则y关于x的函数表达式是 ( ) A.y=7.9(1+2x) B.y=7.9(1-x)2 C.y=7.9(1+x)2 D.y=7.9+7.9(1+x)+7.9(1+x)2 答案 C 解析 设平均每个季度GDP增长的百分率为x,第三季度GDP总值约为 7.9(1+x)元,第四季

10、度GDP总值为7.9(1+x)2元,则y关于x的函数表达式 是:y=7.9(1+x)2.故选C. 对应练2(2020 安徽芜湖无为一模)某工厂今年一月份防疫护目镜的产量是 20万件,计划之后两个月增加产量,如果月平均增长率为x,那么第一季度防 疫护目镜的产量y(单位:万件)与x之间的关系式应表示为_. 答案 y=20+20(x+1)+20(x+1)2 解析 y与x之间的关系应表示为y=20+20(x+1)+20(x+1)2. 考法2几何图形面积与二次函数 例2(2020 安徽安庆模拟)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足 够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已

11、知计划中 的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为多 少? 解 设垂直于墙的材料长为x米, 则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x, 则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30 x=-3(x-5)2+75, 答:饲养室的最大面积为75平方米. 方法总结 解决几何图形的面积问题一般是根据几何图形的性质,先找变 量,再确定变量与该图形周长或面积之间的关系,用变量表示出其他边的长, 从而确定二次函数的表达式,再根据题意及二次函数的性质等解决实际问 题. 对应练3(2019 安徽合肥二模)某社区决定把一块长 50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方

12、案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形 状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出 口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化 区较长边为x m,活动区的面积为y m2.为了想知道出口宽度的取值范围,小明同学 根据出口宽度不小于14 m,算出x18. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)求活动区的最大面积; (3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区的此项建造投资费 用不得超过72 000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度? 解 (1)根据题意得,一块绿化区的宽为30-(50-2x)2=x-10. y=503

13、0-4x(x-10)=-4x2+40 x+1 500. 4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m, 12x18, y=-4x2+40 x+1 500(12x18). (2)y=-4x2+40 x+1 500=-4(x-5)2+1 600, a=-40,抛物线的开口向下, 当12x18时,y随x的增大而减小, 当x=12时,y最大=1 404. 答:活动区的最大面积为1 404 m2. (3)设投资费用为w元, 由题意得,w=50(-4x2+40 x+1 500)+404x(x-10)=-40(x-5)2+76 000, 当w=72 000时,解得x1=-5(不符合题意舍去),x2

14、=15, a=-400,LJ=16-2x0, 6x8,a=-40, 当x=7时,y的最大值为4. 故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4 m2. 考法3利润与资源的最优化 例3(2020 四川遂宁)新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室 绿色文化,打造温馨舒适的学习环境,准备到一家植物种植基地购买A,B两 种花苗.据了解,购买A种花苗3盆,B种花苗5盆,则需210元;购买A种花苗4 盆,B种花苗10盆,则需380元. (1)求A,B两种花苗的单价分别是多少元? (2)经九年级一班班委会商定,决定购买A,B两种花苗共12盆进行搭配装扮 教室.种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学

15、提供以下优惠:购 买几盆B种花苗,B种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算 一下,本次购买至少准备多少钱?最多准备多少钱? 解 (1)设A,B两种花苗的单价分别是x元和y元, 答:A,B两种花苗的单价分别是20元和30元. (2)设购买B花苗a盆,则购买A花苗为(12-a)盆,设总费用为w元, 由题意得w=20(12-a)+(30-a)a=-a2+10a+240(0a12), -10.w有最大值,当a=5时,w的最大值为265,当x=12时,w的最小值为 216. 答:本次购买至少准备216元,最多准备265元. 3 + 5 = 210, 4 + 10 = 380,解得 = 20,

16、= 30. 方法总结 利用二次函数解决实际生活中的实际问题,应理清变量所表示的实际意义, 注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全. 对应练5(2020 江苏南京)小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设 小丽出发第x min时,小丽、小明离B地的距离分别为y1m,y2m.y1与x之间函 数表达式是y1=-180 x+2 250,y2与x之间的函数表达式是 y2=-10 x2-100 x+2 000. (1)小丽出发时,小明离A地的距离为_ m. (2)小丽出发至小明到达B地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多 少? 解 (1)y1=-180 x+2 250,y2=-10 x2-100

17、 x+2 000. 当x=0时,y1=2 250,y2=2 000. 小丽出发时,小明离A地的距离为2 250-2 000=250(m). 故答案为:250. (2)设小丽出发第x min时,两人相距s m,则 s=(-180 x+2 250)-(-10 x2-100 x+2 000)=10 x2-80 x+250=10(x-4)2+90, 当x=4时,s取得最小值,此时s=90. 答:小丽出发第4 min时,两人相距最近,最近距离是90 m. 对应练6(2020 四川广元)某网店正在热销一款电子 产品,其成本为10元/件,销售中发现,该商品每天的销 售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/

18、件)之间存在如 图所示的关系: (1)请求出y与x之间的函数关系式; (2)该款电子产品的销售单价为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元; (3)由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中 抽出300元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元,该如何确定 该款电子产品的销售单价? 解 (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 将(20,100),(25,50)代入 y=kx+b, y与x的函数关系式为 y=-10 x+300. (2)设该款电子产品每天的销售利润为w元. 由题意得 w=(x-10) y=(x-10)(-10 x+300)

19、=-10 x2+400 x-3 000=-10(x-20)2+1 000, -100, 当x=20时,w有最大值,w最大值为1 000. 答:该款电子产品销售单价定为20元时,每天销售利润最大,最大销售利润为 1 000元. 得 20 + = 100, 25 + = 50, 解得 = -10, = 300, (3)设捐款后每天剩余利润为z元, 由题意可得 z=-10 x2+400 x-3 000-300=-10 x2+400 x-3 300. 令z=450,即-10 x2+400 x-3 300=450, x2-40 x+375=0,解得x1=15,x2=25. -100, 当该款电子产品的销

20、售单价每件不低于15元,且不高于25元时,可保证捐 款后每天剩余利润不低于450 元. 考法4现实生活的抛物线 例4(2018 浙江衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形 喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物 线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷 出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图所示, 以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水, 为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离 水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施

21、做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的 前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装 饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度. 解 (1)抛物线的顶点为(3,5), 设 y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入得 a=-1 5, y=-1 5(x-3) 2+5, 或者 y=-1 5x 2+6 5x+ 16 5 (0x8). (2)当 y=1.8时,即 1.8=-1 5x 2+6 5x+ 16 5 , 可得 x1=7,x2=-1(舍去). 答:王师傅必须站在离水池中心 7米以内. (3)由 y=-1 5(x-3) 2+5 可得原抛物线与 y 轴的交点

22、坐标为 0, 16 5 , 装饰物的高度不变,新抛物线也经过 0, 16 5 , 喷水柱的形状不变,a=-1 5. 直径扩大到 32 米, 新抛物线也过点(0,16). 设新抛物线为 y新=-1 5x 2+bx+c(0x2.24, 当 x=18 时,y=- 1 50(x-7) 2+2.88=0.460, 故这次发球过网,但是出界了. (2)如图,分别过点作底线、边线的平行线PQ,OQ交于点Q, 在RtOPQ中,OQ=18-1=17. 9-8.4-0.5=0.1, 发球点O在底线上且距右边线0.1米处. 当 y=0 时,y=- 1 50(x-7) 2+2.88=0, 解得 x=19 或-5(舍去-5), OP=19,而 OQ=17,故 PQ=6 2=8.4.