2021安徽中考数学复习课件：第12讲　二次函数的图象及性质.pptx

1、第第1212讲讲 二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质 第三单元第三单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 二次函数的图象 1.(2020 安徽,10,4分)如图,ABC和DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边 BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合.现将ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F 重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积 为y,则y随x变化的函数图象大致为( ) 答案 A 解析 解法一:如图1所示,当0x2时,过点G

2、作GHBF于H. ABC 和DEF 均为等边三角形, GEJ 为等边三角形. GH= 3 2 EJ= 3 2 x,y=1 2EJ GH= 3 4 x2. 当 x=2 时,y= 3,且抛物线的开口向上. 图1 如图 2所示,2x4时,过点 G作 GHBF于 H. y=1 2FJ GH= 3 4 (4-x)2,函数图象为抛物线的一 部分,且抛物线开口向上.故选 A. 图2 解法二:C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高 为 3 2 x,面积为 y=x 3 2 x 1 2 = 3 4 x2. B 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为(4-x),高为 3 2 (4-x),

3、面积为 y=(4-x) 3 2 (4-x) 1 2 = 3 4 (4-x)2, 两个三角形重合时面积正好为 3. 由二次函数图象的性质可判断答案为 A, 故选 A. 2.(2015 安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相 交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为( ) 答案 A 解析 由于一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交 点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相 等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个不同的交点,且都在x

4、 轴的正半轴上,故选A. 命题点2 二次函数的性质 3.(2019 安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个 交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m0) (a0) 开口方向 开口向上 开口向下 考点二 二次函数图象及其性质(高频考点) 1.二次函数图象及其性质(10年6考) 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 对称轴 直线 x=- b 2a 顶点坐标 - b 2a , 4ac-b2 4a 增减性 当 x- 2时,y随 x的 增大而增大 当 x- 2时,y随 x的增

5、大 而减小 最值 当 x=- 2时, y有最小 值 4-2 4 当 x=- 2时, y有最大 值 4-2 4 2.二次函数图象与系数的关系 字母 字母的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0(b与a同号) 对称轴在y轴左 侧 ab0 与y轴正半轴相交 c0 与x轴有两个交点 b2-4ac0) 平移后的解析式 简记 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 左加 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k 右减 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 上加 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m 下减 考点五 二次函数与一元二次方程(低频考点) 二次函数与一

6、元 二次方程的转化 根的判别 式的情况 实数根的情况 二次函数 y=ax2+bx+c(a0),当y=0 时,得一元二次方程 ax2+bx+c=0 b2-4ac0 抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).x1,x2是 方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根 b2-4ac=0 b2-4ac4ac B.abc0 C.a-c0,c0,=b2-4ac0,b24ac,故A选项不合题意, - =-1,b=2a0, abc0,故B选项不合题意; 当x=-1时,y0,a-b+c0, -a+c0,故C选项符合题意; 当x=m时,y=am2+bm+c(m为任意实数), 当x=-1时,y有最小值为a-

7、b+c, am2+bm+ca-b+c, am2+bma-b,故D选项不合题意. 2 方法总结 二次函数的图象是一条抛物线,一般来说,确定其顶点、对称轴、 开口方向后,就可以画出抛物线的大致形状.画抛物线常用的方法是五点作 图法,即作出顶点和关于对称轴对称的另外四个点,可以大致作出抛物线的 草图. 对应练1(2020 江苏南京)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的 结论:该函数图象与函数y=-x2的图象形状相同;该函数的图象一定经 过点(0,1);当x0时,y随x的增大而减小;该函数图象的顶点在函数 y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是_. 答案 解析 二次函数y

8、=-(x-m)2+m+1(m为常数)与函数y=-x2的二次项系数 相同,该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同,故结论正确; 在函数y=-(x-m)2+m2+1中,令x=0,则y=-m2+m2+1=1,该函数的图象 一定经过点(0,1),故结论正确; y=-(x-m)2+m2+1,抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当xm时,y随x 的增大而减小,故结论错误; 抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,该函数的图象的顶 点在函数y=x2+1的图象上.故结论正确,故答案为. 对应练2(2020 福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列

9、命题正确的是( ) A.若|x1-1|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,x=1为对称轴,|x-1|表示为x到1的距离, 由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同 时,对应的y值也相同,当抛物线上的点到x=1的距 离越大时,对应的y值也越大,由此可知A,C正确. 当a1)经过点(2,0), 其对称轴是直线x= .有下列结论: abc0; 关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不相等的实数根; a- . 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 1 2 答案 C 解析 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0),对称轴是直线x=

10、, 抛物线经过点(-1,0). 当x=-1时,0=a-b+c,c=-2a; 当x=2时,0=4a+2b+c,a+b=0,ab1,abc0, 关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故正确; c1,c=-2a1,a0,当开口向下时,a0,交于y轴负半轴c0,交于原点c=0;抛物 线的对称轴和a的符号共同决定b的符号,抛物线的对称轴在y轴左侧,- 0;当x=1时,二次函数的函数值为 y=a+b+c;函数的图象在x轴上方时,y0,函数的图象在x轴下方时,y0时,抛物线与x轴有2个不同的交点,当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有1 个交点,当b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点. 2

11、 2 对应练3(2020 四川成都)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D.y的最小值为-9 答案 D 解析 对称轴为直线x=-1在y轴的左侧,故A选项错误;图象与y轴的交点为 (0,-8),故选项B错误;x2+2x-8=0的解为x1=2,x2=-4,y=x2+2x-8与x轴交点坐 标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误;配方可得y=(x+1)2-9,所以y的最小值为-9. 对应练4(2020 浙江杭州)设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,

12、a0),当x=1 时,y=1;当x=8时,y=8,( ) A.若h=4,则a0 C.若h=6,则a0 答案 C 解析 当 x=1 时,y=1;当 x=8 时,y=8;代入函数式得 1 = (1-) 2 + , 8 = (8-) 2 + , a(8-h)2-a(1-h)2=7, 整理得 a(9-2h)=1. 若 h=4,则 a=1,故 A 错误; 若 h=5,则 a=-1,故 B 错误; 若 h=6,则 a=-1 3,故 C 正确; 若 h=7,则 a=-1 5,故 D 错误. 故选 C. 考法3二次函数表达式的确定 例3(2020 贵州安顺)2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测

13、的要求.防 疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生 进入考点的累计人数y(单位:人)与时间x(单位:分钟)的变化情况,数据如下表:(表中915 表示9x15) 时间x/分钟 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数y/人 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识 求出y与x之间的函数关系式; (2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考 生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人?全

14、部考生都完成体温检测需要多少时间? (3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增 加几个检测点? 解 (1)由表格中数据的变化趋势可知, 当0 x9时,y是x的二次函数, 当x=0时,y=0, 二次函数的表达式可设为y=ax2+bx, 二次函数表达式为y=-10 x2+180 x; 当9x15时,y=810. y与x之间的函数关系式为: 由题意可得 170 = + , 450 = 9 + 3,解得 = -10, = 180, y= -10 2 + 180(0 9), 810(9 15). (2)设第x分钟时的排队人数为w人, 由题意可得: 当0 x9时

15、, w=-10 x2+140 x=-10(x-7)2+490; 当x=7时,w的最大值=490; 当9x15时,w=810-40 x,w随x的增大而减小,210w450, 排队人数最多时有490人. 要全部考生都完成体温检测,根据题意得810-40 x=0,解得x=20.25. 答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟. w=y-40 x= -10 2 + 140(0 9), 810-40(9 15). (3)设从一开始就应该增加 m 个检测点,由题意得 12 20(m+2)810,解得 m11 8 . m 是整数,m11 8 的最小整数是 2, 一开始就应该至少

16、增加 2 个检测点. 方法总结 求二次函数的表达式,通常分三种情况:一般式:y=ax2+bx+c, 常用于已知图象上的三个点的坐标或者三对对应值求表达式;顶点 式:y=a(x-h)2+k,常用于已知抛物线的顶点求表达式;交点式:y=a(x-x1)(x- x2),常用于已知抛物线与x轴两个交点的横坐标时使用. 对应练5(2020 上海) 在平面直角坐标系xOy中,直线y=- x+5与x轴,y轴分别 交于点A,B(如图).抛物线y=ax2+bx(a0)经过点A. (1)求线段AB的长; (2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C, 且BC= ,求这条抛物线的表达式; (3)如果抛物线

17、y=ax2+bx的顶点D位于AOB内,求a的取值范围. 1 2 5 解 (1)针对于直线 y=-1 2x+5, 令 x=0,y=5,B(0,5). 令 y=0,则-1 2x+5=0, x=10,A(10,0). AB= 52+ 102=5 5. (2)设点 C ,- 1 2 + 5 .B(0,5),BC= 2+ - 1 2 + 5-5 2 = 5 2 |m|. BC= 5, 5 2 |m|= 5,m=2. 点 C 在线段 AB 上,m=2,C(2,4), 将点 A(10,0),C(2,4)代入抛物线 y=ax2+bx(a0)中,得 100 + 10 = 0, 4 + 2 = 4, 解得 = -

18、 1 4 , = 5 2 , 抛物线 y=-1 4x 2+5 2x. (3)点 A(10,0)在抛物线 y=ax2+bx 上, 得 100a+10b=0,b=-10a, 抛物线的解析式为 y=ax2-10ax=a(x-5)2-25a,抛物线的顶点 D 坐标为 (5,-25a). 将x=5代入y=-1 2x+5中,得y=- 1 2 5+5= 5 2.顶点D位于AOB内,0-25a 5 2, - 1 10a0. 对应练6(2020 山东泰安)若一次函数y=-3x-3的图象与x轴,y轴分别交于A,C, 两点,点B的坐标为(3,0),二次函数y=ax2+bx+c的图象过A,B,C三点,如图(1). (

19、1)求二次函数的表达式; (2)如图(1),过点C作CDx轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧),若 BC恰好平分DBE.求直线BE的表达式; (3)如图(2),若点P在抛物线上 (点P在y轴右侧),连接AP交BC 于点F,连接BP,SBFP=mSBAF. 当m= 时,求点P的坐标; 求m的最大值. 图(1) 图(2) 1 2 解 (1)令-3x-3=0,得x=-1.令x=0时,y=-3. A(-1,0),C(0,-3). 抛物线过点C(0,-3),c=-3. 则y=ax2+bx-3,将A(-1,0),B(3,0)代入 二次函数表达式为y=x2-2x-3. 得 0 = -3, 0 = 9

20、 + 3-3,解得 = 1, = -2. (2)设BE交OC于点M. B(3,0),C(0,-3), OB=OC,OBC=OCB=45. CDAB,BCD=45.OCB=BCD. BC平分DBE,EBC=DBC. 又BC=BC,MBCDBC(ASA). CM=CD.由条件得D(2,-3). CD=CM=2.OM=3-2=1. M(0,-1).B(3,0), 直线BE的表达式为y= x-1. 1 3 图(1) 由得 m= 4 . m=-( 2-2) 4 = -2+3 4 = -(2-3) 4 = 1 4 - - 3 2 2 + 9 4 = 1 4 - 3 2 2 + 9 16. m有最大值为 9

21、 16. (3)SBFP=1 2SBAF,PF= 1 2AF. 过点P作PNAB交BC于点N,则ABFPNF.AB=2NP. AB=4,NP=2.直线BC的表达式为y=x-3, 设P(t,t2-2t-3),t2-2t-3=xN-3.xN=t2-2t. PN=t-(t2-2t),则t-(t2-2t)=2,解得t1=2,t2=1. 点P(2,-3)或P(1,-4). 图(2) 考法4二次函数存在性问题 例4(2020 山东枣庄) 如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点, 与y轴交于点C,连接AC,BC.M为线段OB上的一个动点, 过点M作PMx轴,交抛物线于点P,

22、交BC于点Q. (1)求抛物线的表达式; (2)过点P作PNBC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式 表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少? (3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三 角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)将点 A,B 的坐标代入抛物线表达式得 9-3 + 4 = 0, 16 + 4 + 4 = 0,解得 = - 1 3 , = 1 3 , 故抛物线的表达式为 y=-1 3x 2+1 3x+4. (2)由抛物线的表达式知,点C(0,4), 由点B,C的

23、坐标得,直线BC的表达式为y=-x+4. 设点 M(m,0),则点 P ,- 1 3 2+ 1 3 + 4 ,点 Q(m,-m+4), PQ=-1 3m 2+1 3m+4+m-4=- 1 3m 2+4 3m. OB=OC,故ABC=OCB=45, PQN=BQM=45, PN=PQsin 45= 2 2 - 1 3 2+ 4 3 =- 2 6 (m-2)2+2 2 3 . - 2 6 0,故当 m=2 时,PN 有最大值为2 2 3 . (3)存在,理由如下: 点 A,C的坐标分别为(-3,0),(0,4),则 AC=5. 当 AC=CQ时,过点 Q作 QEy轴于点 E, 则 CQ2= EQ2

24、+CE2,即 m2+4-(-m+4)2=25, 解得 m=5 2 2 (舍去负值), 故点 Q 5 2 2 , 8-5 2 2 ; 当AC=AQ时,则AQ=AC=5. 在RtAMQ中,由勾股定理得m-(-3)2+(-m+4)2=25,解得m=1或0(舍去0),故 点Q(1,3); 当 CQ=AQ时,则 2m2=m-(-3)2+(-m+4)2,解得 m=25 2 (舍去). 综上,点 Q的坐标为(1,3)或 5 2 2 , 8-5 2 2 . 对应练7(2020 四川宜宾) 如图,已知二次函数图象的顶点在原点,且点(2,1)在 二次函数的图象上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二 次函数的图象于

25、M,N两点 (1)求二次函数的表达式; (2)P为平面内一点,当PMN时等边三角形时,求点P的坐标; (3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和点 N,且与直线y=-1相切,若存在,求出点E的坐标,并求E的半径;若不存在,说 明理由. 解 (1)二次函数的顶点是原点, 设二次函数的解析式为 y=ax2(a0). 将(2,1)代入 y=ax2,1=a 22,解得 a=1 4, 二次函数的解析式为 y=1 4x 2. (2)如图,将 y=1 代入 y=1 4x 2,得 1=1 4x 2, 解得 x=2,M(-2,1),N(2,1), MN=4,PMN 是等边三角形, 点

26、P 在 y 轴上且 PM=4, PF=PM cos 30=2 3. F(0,1),P(0,1+2 3)或 P(0,1-2 3). (3)假设在二次函数的图象上存在点 E 满足条件. 设点 Q 是 FN 的中点,即 Q(1,1),点 E 在 FN 的垂直平分线上, 点 E 是 FN 的垂直平分线 x=1 与 y=1 4x 2 的图象的交点,即 y=1 4 1 2=1 4, E 1, 1 4 . EN= (2-1) 2 + 1- 1 4 2 = 5 4,EF= (1-0) 2 + 1- 1 4 2 = 5 4, 点 E 到直线 y=-1 的距离为 1 4 -(-1) = 5 4. 点 E 1, 1

27、 4 满足条件,且半径为 5 4. 对应练8(2020 新疆建设兵团) 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线 y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O逆时针旋转90 后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于 点C. (1)求抛物线的解析式; (2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与OAB的 边分别交于M,N两点,将AMN以直线MN为对称轴翻折,得到AMN. 设点P的纵坐标为m. 当AMN在OAB内部时,求m的取值范围; 是否存在点P,使SAMN= SOAB,若存在,求出满足m的值;若不存在,请说明理由. 5 6 解

28、(1)如图,作ADy轴于点D,作BEx轴于点E, ADO=BEO=90. 将OA绕点O顺时针旋转90后得到OB,OA=OB,AOB=90. AOD+AOE=BOE+AOE=90, AOD=BOE,AODBOE(AAS), AD=BE,OD=OE.顶点A为(1,3), AD=BE=1,OD=OE=3, 点B的坐标为(3,-1). 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(a0),把点B代入,得a(3-1)2+3=-1, a=-1,抛物线的解析式为y=-(x-1)2+3,即y=-x2+2x+2. (2)P是线段AC上一动点,m3, AMN在OAB内部,当点A恰好与点C重合时,如图. 点 B 为(3

29、,-1),直线 OB 的解析式为 y=-1 3x.令 x=1,则 y=- 1 3, 点 C 的坐标为 1,- 1 3 . AC=3- - 1 3 = 10 3 .P 为 AC 的中点, AP=1 2 10 3 = 5 3,m=3- 5 3 = 4 3, m 的取值范围是4 3m0时x的 取值范围. (2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所 对应的二次函数的表达式. 解 (1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1. y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,A(2,1). 抛物线的对称轴是直线x=2,B,C两点关于直线x=2对称,C

30、(3,0). 当y0时,1x0)个单位长度得到 (2)把y=ax2+bx+c沿x轴向左(右)平移m(m0)个单位长度得到 注意:按平移规律“左加右减,上加下减”进行平移.左右平移时只变“x”,即只 给x加减,切记给每一个“x”都要加减;上下平移时,只变“c”,即只给c加减. y=ax2+bx+c+m(或 y=ax2+bx+c-m). y=a( + )2+b(x+m)+c(或 y=a(- - ) 2 +b(x-m)+c. 方法2:可将二次函数的解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式,再按照下列 方式变换: 对应练9(2020 陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m

31、1)沿 y轴向下平移3个单位长度.则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 y=x2-(m-1)x+m= - -1 2 2 +m-(-1) 2 4 , 该抛物线顶点坐标是 -1 2 ,- (-1)2 4 , 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是 -1 2 ,- (-1)2 4 -3 . m1,m-10,-1 2 0. m-(-1) 2 4 -3=4-( 2-2+1)-12 4 = -(-3)2-4 4 =-(-3) 2 4 -10, 点 -1 2 ,- (-1)2 4 -3 在第四象限.故选 D. 对应练10(2020 内蒙古包头)在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是 抛物线y=x2+bx+1上的两点,将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n(n是正 整数)个单位长度,使平移后的图象与x轴没有交点,则n的最小值为 _. 答案 4 解析 A,B的纵坐标一样, A,B是对称的两点, b=-4. y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3. 抛物线顶点(2,-3).满足题意n的最小值为4. 对称轴 x=-1+5 2 =2,即- 2 = - 2 =2,