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1、2020年12月27日 高中数学必修四课件全册 （人教A版） 任意角的概念任意角的概念 角的度量方法角的度量方法 （角度制与弧度制）（角度制与弧度制） 弧长公式与弧长公式与 扇形面积公式扇形面积公式 任意角的任意角的 三角函数三角函数 同角公式同角公式 诱导公式诱导公式 两角和与差的两角和与差的 三角函数三角函数 二倍角的二倍角的 三角函数三角函数 三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）（化简、求值、证明） 三角函数的三角函数的 图形和性质图形和性质 正弦型函数的图象正弦型函数的图象 xAysin 已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角 知识网络结构 1. 1.角的概

2、念的推广角的概念的推广 （1）正角，负角和零角正角，负角和零角. .用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含 角在内）的集合为. Zkk,360 （4）角在“到”范围内，指. 3600 （2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. 一、基本概念：一、基

3、本概念： 一、任意角的三角函数 1、角的概念的推广角的概念的推广 正角正角 负角负角 o x y 的终边 的终边 ),( 零角零角 二、象限角： 注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。 三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合： |360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制） （弧度制） 例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角 036002到 195012 2 （）、 19 （ ）、 3 48 129 1 3 原点原点 x轴的非负半轴轴的非负半轴 一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。 角的终边（除端点

4、外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。 1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别 Zkkk2 ,2 x y O x y O x y O x y O 3 3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式垂直的两条直线上”的一般表示式 Zkk2Zkk Zk k 2 三、终边相同的角 (1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:

5、 1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法 | =2k + , k Z. (2)象限角、象限界角象限角、象限界角( (轴线角轴线角) ) 象限角象限角 第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角: (2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 2 3 第四象限角第四象限角: 2 (2k + 2k +2 , k Z 或 或 2k - - 2k , k Z ) 2 3 一、角的基本概念一、角的基本概念 轴线角轴线角 x 轴的非负半轴轴的非负半轴: =k 360 (2k )(k Z); x 轴的非正半轴轴

6、的非正半轴: =k 360 +180 (2k + )(k Z); y 轴的非负半轴 轴的非负半轴: =k 360 +90 (2k + )(k Z); 2 y 轴的非正半轴 轴的非正半轴: =k 360 +270 (2k + ) 或或 =k 360 - -90 (2k - - )(k Z); 2 3 2 x 轴轴: =k 180 (k )(k Z); y 轴 轴: =k 180 +90 (k + )(k Z); 2 坐标轴坐标轴: =k 90 ( )(k Z). 2 k 例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合： （2）、终边落在y轴上的角度集合： （3）、终边落在象限平分线上的角度集合： |,k

7、kZ |, 2 kkZ |, 42 k kZ 典型例题 各个象限的半角范围可以用下图记各个象限的半角范围可以用下图记 忆忆，图中的图中的、分别指第分别指第 一一、二二、三三、四象限角的半角范围；四象限角的半角范围； 例例1 1. .若若是第三象限的角是第三象限的角，问问/2 2是哪个象限的是哪个象限的 角角? ?2 2是哪个象限的角是哪个象限的角? ? .D;.C ;.B;.A)( 2 2 cos 2 cos )90( 1 第四象限第四象限第三象限第三象限 第二象限第二象限第象限第象限角属于角属于 则则 ， 角是第二象限且满足角是第二象限且满足设设 年，上海年，上海例例 C 点评点评: 本题先

8、由本题先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的的 余弦符号确定结论余弦符号确定结论. 例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度： 解：分针所转过的角度 480360 60 20 1 例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） （2） 2 3 评析：评析： 在解选择题或填空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断. 四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。 O A B r r 2r O A B r （3）角度与弧度的换算.只要记住，就可 以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的 度数和弧度数. 在书写

9、时注意不要同时 混用角度制和弧度制 rad 1180180 rad 180 1 30.57 180 1 rad （4）弧长公式和扇形面积公式. rl r n r n l 180 2 360 rlrrS 2 1 2 1 2 22 22 360360 r n r n S 度 弧度 0 0 30 6 45 4 3 60 2 120 3 2 135 4 3 150 6 5 270 2 3 180360 2 90 2、角度与弧度的互化角度与弧度的互化 3602 180 180 1 185730.57) 180 (1 , 弧度 特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表 略解：解： 例3

10、已知角和满足 求角的范围. 43 ,0 7 , 44312 解： .,. 33 例例4 4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？ .625)25(50)2100( 2 1 2 1 22 rrrrrlrS )(2,50,25rad r l lr扇形面积最大值为625. 例例7 7. .已知一扇形中心角是已知一扇形中心角是，所在圆的半径是所在圆的半径是R R. . 若若6060，R R1010cmcm，求扇形的弧长及该弧求扇形的弧长及该弧 所在的弓形面积所在的弓形面积. . 若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C C( (C C0 0)

11、 )，当当为多少为多少 弧度时弧度时，该扇形的面积有最大值该扇形的面积有最大值? ?并求出这一最大并求出这一最大 值值? ? 指导指导: :扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制 两种给出的方式两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易但其中用弧度制给出的形式不仅易 记记，而且好用而且好用. .在使用时在使用时，先要将问题中涉及到的角度先要将问题中涉及到的角度 换算为弧度换算为弧度. . 解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓 弓。 。 10 60,10,() 33 Rlcm 22 11013 1010sin6050)

12、 23232 SSScm 弓扇 （）（ （2） 扇形周长扇形周长C=2R+l=2R+ R rrclrs)2( 2 1 2 1 2 0 c r 正弦线：正弦线： 余弦线：余弦线： 正切线：正切线： （2）当角）当角的终边在的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一 个点；当角个点；当角的终边在的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在。正切线不存在。 2.正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线 x y O P T M A 有向线段有向线段MP 有向线段有向线段OM 有向线段有向线段AT 注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单

13、位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 三角函数三角函数 三角函数线三角函数线 正弦函数正弦函数 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数 正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 y x x O -1 P M A(1,0) T sin =MP cos =OM tan =AT 注意：注意：三角三角 函数线是函数线是有有 向线段向线段！ 余弦线余弦线OM 正切线正切线AT P O M P O M P O M P O M MPMP为角为角 的正弦线的正弦线, ,OM为角为角 的余弦线的余弦线 为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三

14、象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 10）函数函数y=lg sinx+ 的定义域是的定义域是 （A） （A）x|2kx2k+ (kZ) （B）x|2kx2k+ (kZ) （C）x|2kx2k+ (kZ) （D）x|2kx2k+ (kZ) 2 1 cosx 3 3 2 3 三角函数线的应用三角函数线的应用 一、三角式的证明一、三角式的证明 0 4 2、已知：角 为锐角， 试证： 2 sincos 2 1、已知：角 为锐角， 试证：（1） sintan (2)1sincos2 4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形 圆心角是多少？扇形的的面积是多少？ 答：圆心角为-2，面积是

15、 2 )2( 2 1 r 5、用单位圆证明sian tan.(00 900 A T P M O x y 提示：利用三角函数线和三角形面积与 扇形面积大小关系证明。 O O y y x x O O y y x x xxcossin xxcossin 0cossinxx 0cossinxx 例例5 5 已知角的终边经过点 )0()4,3(aaaP sin2cos求值。 0a 5 2 5 3 2 5 4 cos2sin 0a 5 2 5 3 2 5 4 cos2sin 例例6 6 若为第一象限角，利用三角函数线证明： 1cossin若为其它象限角呢？ 例例7 7 求函数 的定义域. xxytanco

16、s Zkkxkx,22 2 4.三角函数的符号三角函数的符号 sincos sin,csc , y r cos ,sec , x r x y o 0 1 -1 0 + + _ _ 1 0 0 -1 x y o + + _ _ 不存在不存在 x y o 0 0 不存在不存在 _ + _ + tan ,cot , y x tan 一、任意角的三角函数定义一、任意角的三角函数定义 x y o P(x,y) r 的终边 y x x r y r x y r x r y cot,sec,csc tan,cos,sin 二、同角三角函数的基本关系式二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： 1 1 1 sec

17、cos cscsin cottan 商关系： sin cos cot cos sin tan 平方关系： 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin 22 yxr 三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦” 平方关系平方关系 倒数关系倒数关系 商式关系商式关系 5.同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系: 1cossin 22 22 tan1sec 22 cot1csc 1cottan 1cossec 1sincsc cos sin tan cos cot sin 神奇的六边形神奇的六边形 1 1 cotta

18、n cos sin seccsc （1）上述几个基本关系中，必须注意：它们 都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1 不一定成立；这几个恒等式都是在所取的角 使等式两边都有意义的前提下成立. （2）同角三角函数的基本关系常用于：已知 角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值； 化简三角函数式；证明三角恒等式 同角三角函数基本关系注意事项同角三角函数基本关系注意事项: 三、典型例题分析三、典型例题分析 例例 1 1 (1)已知 5 4 sin， 并且是第二象限角， 求的其他三角函数值 【解题回顾解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基】已知三角函数值求同角的其它三角函数

19、值是一个基 本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正 切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条 件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解 ），根据），根据角所在象限，角所在象限， 确定正负号的取舍确定正负号的取舍.当给出的当给出的的象限指定唯一，则此时一般有一的象限指定唯一，则此时一般有一 解；当角解；当角的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定的的 象限，此时一般有二解（除轴

20、上角外）；当已知的三角函数值符象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符 号不确定，此时一般有四解（除轴上角号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）外）. (2)(2) 已知 5 4 sin，求的其他三角函数值 (3)(3) 已知msin(|m|0,0) y=Asin(x+)(A0,0) 的图象的对称中心的图象的对称中心 和对称轴方程和对称轴方程 2、函数、函数 的图象（的图象（A0, 0 ) )sin(xAy xysin 第一种变换第一种变换: 图象向左图象向左( ) 或或 向右向右( ) 平移平移 个单位个单位 0 0 | )sin(xy 横坐标伸长横坐标伸长( )或缩短或缩

21、短( )到原来的到原来的 倍倍 纵坐标不变纵坐标不变 1 101 )sin(xy 纵坐标伸长纵坐标伸长(A1 )或缩短或缩短( 0A1 )或缩短或缩短( 0A1 )到原来的到原来的A倍倍 横坐标不变横坐标不变 )sin(xAy )的简图.)的简图.Asin(xAsin(x1.五点法作函数y1.五点法作函数y 的的思思想想. .看看图图说说话话3.3. )的图象.)的图象.Asin(xAsin(x函数y函数y2.通过图象变换得到2.通过图象变换得到 时的的思思想想. .代代点看点看趋趋4.4.势势求求解解析析式式注注意意 sin()yAxB 函数系列要求： 5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形

22、式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式： 并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、 对称中心、对称轴；会判断奇偶性对称中心、对称轴；会判断奇偶性 sin()yAxB 例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小。的大小。 解：900135013802700 又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数 tan13500,|0 , 0)的图象的图象 求其解析式的一般方法：求其解析式的一般方法： 6、已知下图是函数、已知下图是函数 的图象的图象 (1)求求 的值；的值； (2)求函数图象的对称轴方程求函数图象

23、的对称轴方程. sin()yAx 、 O x 2 1 1 2 y 12 11 20 6 2sin(2) 116 2 6 12 yx 2, 62 xk ,() 26 k xkZ （2）函数图象的对称轴方程为 即即 设函数设函数 )2sin()(xxf ),0( （1 1）求）求 ； （2 2）求函数）求函数 的单调递增区间；的单调递增区间； （3 3）画出函数）画出函数 在区间在区间00， 上的图象上的图象. . )(xfy )(xfy 图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线 , 8 x)(xfy 例例3 , 0 解析解析: : （1 1） 图象的一条对称轴图象的一条对称轴, 8 x )2

24、sin()(xxf 是是 1) 8 2sin() 8 ( f 444 3 O y x 24 4 3 4 3 （2 2） ) 4 3 2sin()( xxf Zkkxk,2 24 3 2 2 2 Zkkxk, 8 5 8 函数函数 的单调递增区间为的单调递增区间为 )(xfy Zkkk, 8 5 , 8 x x y y 2 8 4 8 3 8 5 4 3 8 7 o o - -1 1 1 1 2 1 2 3 2 1 ) 4 3 2sin()( xxf x0,x0, （3 3） 5 ) 函数 (A0,0)的一个周期内的图 象如图，则有( ) )sin(xAy ) 3 2sin(3 ) 6 2sin

25、(3 ) 3 sin(3 ) 6 sin(3 xy xy xy xy(A) (B) (C) (D) y x 0 3 - 3 12 12 7 y x 0 2 -2 - 4 如图：根据函数如图：根据函数 y= A sin ( x + ) (A0 , 0) 图象图象 求它的解析式求它的解析式 y x 0 -4 2 3 4 9 4 3 4 3 4 如图：根据函数如图：根据函数y = A sin ( x + ) (A0 , 0) 图象图象 求它的解析式求它的解析式 y x 0 4 4 3 2 -2 如图：根据函数如图：根据函数y = A sin ( x + ) (A0 , 0) 图象图象 求它的解析式求

26、它的解析式 y x 0 1 12 11 2 如图：根据函数如图：根据函数y = 2 sin( x + ) ( 0) 图象图象 求它的解析式求它的解析式 y x 0 1 12 11 2 如图：根据函数如图：根据函数y = 2 sin( x + ) ( 0) 图象图象 求它的解析式求它的解析式 3 y x 根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括锐角包括锐角 ax sin)11( a 4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件

27、的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 2 , 2 )11(sin aax aarcsinaxarcsin 2 , 2 x xasin aarcsin 的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围是 aarcsin 2 , 2 arcsin a )11( a aa )sin(arcsin 4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 练习：练习： （1） 表示什么意思？表示什么意思？ 2 1 arcsin 表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即

28、角 ， 2 , 2 2 1 6 2 1 arcsin 62 1 arcsin 故故 （2）若）若 2 , 2 , 2 3 sin xx，则，则x= 3 ) 2 3 arcsin( （3）若）若 2 , 2 , 7 . 0sin xx ，则，则x= 7 . 0arcsin 4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 aarccos的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围是 aarccos , 0arccos a )11( a aa )cos(arccos 根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找

29、区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括锐角包括锐角 ax cos)11( a y x 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 , 0 )11(cos aax aarccosaxarccos , 0 x xacos 4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角 y=sinx , 的反函数 y=arcsinx , 2 , 2 x 1 , 1x y=cosx, 的反函数y=arccosx, , 0 x 1 , 1x y=tanx, 的反函数y

30、=arctanx, ) 2 , 2 ( xRx 已知角已知角x ( )的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤 2 , 0 x 先确定x是第几象限角 若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角 根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四象限角，即得x= 若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x Rx 反三角函数反三角函数 已知三角函数值求角 已知三角函数值求角x（仅限于0，2 ）的解题步骤： 1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x

31、0； 如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的 锐角x0 ； 2、由函数值的符号决定角x可能的象限角； 3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的角： 如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0 如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0 如果x是第四象限角，那么可以表示为2 x0 说明说明: :三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视. (1)(1)判断角的象限判断角的象限； (2)(2)求对应锐角；求对应锐角； 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1； 如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的

32、锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1. (3)(3)求出求出(0(0，2 2) )内对应的角内对应的角； 如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为x1； 如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1或或x12. (4)(4)求出一般解求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果写出结果. . （三）已知三角函数值求角”的基本步骤（三）已知三角函数值求角”的基本步骤 1、基本步骤、基本步骤 2、表示角的一种方法、表示角的一种方法反三角函数法反三角函数法 1 1、反

33、正弦：、反正弦： 当当 sinsinx xa a( (1 1a a1)1)且且x x 2 ， 2 ，则 ，则x xarcsinarcsina a 这时这时sin(arcsina)=a 2 2、反余弦：、反余弦： 当当 coscosx xa a( (1 1a a1)1)且且x x0 0， ，则 ，则x xarcarccoscosa a 这时这时cos(arccosa)=a 当当 tatan nx xa a( (1 1a a1)1)且且x x( ( 2 ， 2 ) )，则，则x xarcarctatan na a 这时这时tan(arctana)=a 3 3、反正切：、反正切： 三、两角和与差的三

34、角函数 1 1、预备知识：两点间距离公式、预备知识：两点间距离公式 x y o ),( 111 yxp ),( 222 yxp 2 21 2 2121 )()(|yyxxpp ),( 21 yxQ 2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantan tantan )tan( 1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用 )tantan)(tan(tantan 1 公式变形公式变形 3 3、倍角公式、倍角公式 2sinsinsin2 sincoscos2 22 2sin112coscos2 22

35、1sincos 22 tan1 2tan tan2 2 2 cos21 cos 2 2 cos21 sin 2 二、知识点二、知识点 （一）（一） 两角和与两角和与 差公式差公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan （二）（二） 倍角倍角 公式公式 cossin22sin 2 2 22 sin21 1cos2 sincos2cos 2 tan1 tan2 2tan 公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 tan+tan=tan(+)(1-tantan) tan-tan=

36、tan(-)(1+tantan) 注意1、公式的变形如： 注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）. C： S ： C2： S 2： T2： T： 2 sin 3、倍角公式、倍角公式 cossin22sin 22 sincos2cos 22 sin211cos2 1sincos 22 2 tan1 tan2 2tan 注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 2 2cos1 cos 2 2 2cos1 sin 2 返回 和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形 cos,sin )sin(cossin 2222 22

37、 ba a ba b xbaxbxa 其中 其其 它它 公公 式式(1) cos1 cos1 2 tan, 2 cos1 2 cos, 2 cos1 2 sin 222 1、半角公式 cos1 cos1 2 tan, 2 cos1 2 cos, 2 cos1 2 sin sin cos1 cos1 sin 2 tan 2 tan1 2 tan2 tan, 2 tan1 2 tan1 cos, 2 tan1 2 tan2 sin 22 2 2 2、万能公式 十二、两角和与差的正弦、余弦、正切： () :S () :S () :C () :C () T () :T sin()sincoscossi

38、n sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan tantan tan() 1 tantan 注意： 、 的变形式变形式以及运用和差公式时要会拼角拼角 () T () T 如： (),2()() 2()(),2() 36 与互余， + 与互余 44 要 熟 悉 公 式 逆 用 ！ 要 熟 悉 公 式 逆 用 ！ 22 sincossin()abab 十三、一个化同角同函数名的常用方法： 22 cos()ab 如： sin3cos2sin()2cos() 36 sincos2sin()2cos

39、() 44 例7、求 的值 1tan15 1 tan15 十四、二倍角公式： 2 :S 2 :C 2 :T sin22sincos 22 cos2cossin 2 2cos1 2 1 2sin 2 2tan tan2 1tan 2 1 cos cos 22 2 1 cos sin 22 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 降 幂 （ 扩 角 ） 公 式 降 幂 （ 扩 角 ） 公 式 升 幂 （ 缩 角 ） 公 式 升 幂 （ 缩 角 ） 公 式 和差化积公式：和差化积公式： 积化和差公式：积化和差公式： 1 sincossin()sin() 2 1 cossinsin

40、()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 sinsin2sincos 22 coscos2sinsin 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单 角”，利用“升幂公式”。 ) 1cos2)(1cos2( 2 1 coscossinsin 222222 原式 2 1 coscoscoscossinsin 222222 2 1 cossincossinsin 22222 2 1 cos

41、sin 22 2 1 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式” 。 2cos2cos 2 1 )2cos1)(2cos1 ( 4 1 )2cos1)(2cos1 ( 4 1 原式 2cos2cos 2 1 )2cos2cos1 ( 2 1 2 1 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法3：从“名”入手，“异名化同名”。 2cos2cos 2 1 cos)sin1 (sinsin 2222 原式 2cos2cos 2 1 2cossincos 22 )2cos 2 1

42、(sin2coscos 22 ) 2 2cos 2 2cos1 (2cos)2cos1 ( 2 1 2 1 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法4：从“形”入手，利用“配方法”。 2cos2cos 2 1 coscossinsin2)coscossin(sin 2 原式 2cos2cos 2 1 2sin2sin 2 1 )(cos 2 )22cos( 2 1 )(cos 2 2 1 三角解题常规三角解题常规 宏 观 思 路 宏 观 思 路 分析差异分析差异 寻找联系寻找联系 促进转化促进转化 指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差

43、异 利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系 活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一 微 观 直 觉 微 观 直 觉 1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化； 2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切； 3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差； 4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简； 5、见平方想降幂，见“、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂； 6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos； 7、见、见sincos或或 9、见、见coscoscos，先运用，先运用 sin+sin=p cos+cos=q 8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为 的形式的形式 若不行，则化和差若不行，则化和差 10、见、见cos+cos(+)+cos(+2