湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考 数学.doc

1、 1 2020 年秋季黄冈市部分普通高中协作体年秋季黄冈市部分普通高中协作体 12 月份联考月份联考 高三数学试卷高三数学试卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1.已知集合ln(1)Mx yx， 2 20Nxxx，则MN=（） A.(0,) B.(2,) C.(0,1) D.(1,2) 2.复数 z 在复平面内对应点的点是( 1,1)，则复数 1 i z （i 是虚数单位）的虚部为（） A. 2 5 i B. 2 5 C. 1 5 D. 1 5 i 3.ABC中， “ 6 B ”是“ 1 sin 2 B ”的

2、（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 2 log 5a ， 1 3 2 log 1 2 b ， 3 log 6c ，则（） A.cba B.cab C.bca D.bac 5.公差不为 0 的等差数列 n a中，它的前 31 项的平均值是 12，现从中抽走 1 项，余下的 30 项的平 均值仍然是 12，则抽走的项是（） A. 12 a B. 14 a C. 16 a D. 18 a 6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm（不含杯脚） ，已知水的高度是 4cm， 现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠

3、放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍 珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（） 2 A.98 颗 B.106 颗 C.120 颗 D.126 颗 7.已知函数 1 2 2,0 ( ) log (| 1),0 x a x f x xa x ()aR在 R 上没有零点，则实数 a 的取值范围是（） A.(1,)0 B.(0,) C.(,0 D.(,1 8.已知 F 是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，若直线ykx与椭圆相交于 A，B 两点，且 120AFB，则椭圆离心率的取值范围是（） A. 3 ,1 2 B. 3 0, 2 C. 1 ,1 2 D. 1 0, 2 二

4、、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N 分别为棱 11 C D， 1 C C的中点，其中正确的结论为（） A.直线AM与 1 C C是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与 1 MB是异面直线 D.直线MN与AC所成的角为 60 10.已知 n S是公比 q 的正项等比数列 n a的前 n 项和，若 12 3aa， 24 16a a ，则下列说法正确 的是（） A.2q B.数列1 n

5、 S 是等比数列 C. 8 255S D.数列lg n a是公差为 2 的等差数列 3 11.已知函数( )(|sin|cos )(sincos )f xxxxx，xR，则（） A. f x在0, 3 上单调递减 B. f x是周期为2的函数 C. f x有对称轴 D.函数 f x在(0,2 )上有 3 个零点 12.已知函数( )aln x f xex，其中正确结论的是（） A.当1a 时， f x有最大值 B.对于任意的0a，函数 f x是(0,)上的增函数 C.对于任意的0a，函数 f x一定存在最小值 D.对于任意的0a，都有 0f x . 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分

6、，共 20 分） 13.已知向量a，b的夹角为 60，| 2a ，| 1b ，则2ab_. 14.已知直线yxm与圆 22 4xy相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，0OA OB且AOB的 面积为3，则实数 m=_. 15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部 C 在同一水 平面的 A、B 两点（B 在 A 的正西方向） ，在 A 点测得樟树根部 C 在西偏北 30的方向上，步行 40 米到 B 处， 测得树根部 C 在西偏北 75的方向上， 树梢 D 的仰角为 30， 则这棵樟树的高度为_ 米. 16.四棱锥PABCD各顶点都在球心为 O 的球面上

7、，且PA 平面ABCD，底面ABCD为矩形， 4 2PAAB，4AD ，则球 O 的体积是_；设 E、F 分别是PB、BC中点，则平面AEF被 球 O 所截得的截面面积为_. 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知 1 3sin, 2 2 x m ， 2 cos,12cos 22 xx n ，函数( )f xm n. （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）将函数 yf x的图象上的各点_得到函数 yg x的图象，当, 6 4 x 时，方程 g xa有解，求实数 a 的取值范围. 在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解

8、答，如果、都做，则按给分. 向左平移 3 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半； 纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 4 个单位. 18.已知等差数列 n a的前 n 项和为 2 n Spnnq，p，qR，n N，且 3 6a .数列 n b满 足 2 2log nn ab. （1）求 p、q 的值； （2）设数列( 1)n nn ab的前 2n 项和为 2n T，证明： 2 3 n T. 19.在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且满足 2 2sincos21 2 BC A ， （1）求角 A 的大小； （2）若7a ，3BA AC，A的平

9、分线交边BC于点 T，求AT的长. 20.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，60BAD，PAD为正三角形，平 面PAD 平面ABCD，且 E，F 分别为AD，PC的中点. 5 （1）求证：/DF平面PEB； （2）求直线EF与平面PDC所成角的正弦值. 21.如图， 点 C 为某沿海城市的高速公路出入口， 直线BD为海岸线， 4 BAC ，BDAB，BC 是以 A 为圆心，半径为 1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线CPPQ，其 中 P 为BC上异于 B，C 的一点，PQ与AB平行，设0 4 PAB . （1）证明：观光专线CPPQ的总长度随的增大而减

10、小； （2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍.当取何值时，观光专线 CPPQ的修建总成本最低?请说明理由. 22.已知曲线( )(3)(2ln) x f xxeaxx（其中 e 为自然对数的底数）在1x 处的切线方程为 (1)ye xb. （1）求 a，b 值； （2）证明：( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 6 25 5 ef x . 6 参考答案： 2020 年秋季黄冈市部分普通高中协作体年秋季黄冈市部分普通高中协作体 12 月份联考月份联考 高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案 1.D(1,)M ，(0,2)N ，(1,2)MN 2.B1zi

11、， ( 2)12 12( 2)( 2)55 iiii i ziii ，虚部为 2 5 3.B ABC中， 1 sin 26 BB 或 5 6 B ，“ 6 B ”是“ 1 sin 2 B ”的充分不必要 条件. 4.D 2 2log 53， 1 3 2 log 1 3 2 ， 3 1log 62.bac 5.C 131 3116 31 3131 12 2 aa Sa ， 16 12a，从中抽走 1 项，余下的 20 项的平均值仍然 是 12，则抽走的项 16 31 12 30 1212a. 6.D 作出在轴截面图如图，由题意， 8OP， 1 4OP ，3OA，设 11 O Ax，则 4 83

12、x ，即 3 2 x . 则最大放入珍珠的体积 2 2 113 38421 332 V 一颗珍珠的体积是 3 41 326 .由 21 126 6 .最多可以放入珍珠 126 颗. 7 7.A 设 1 2 2 ,0 ( ) log (1),0 x x g x xx ，图象如图， 已知问题可以转化为( )g x图象与函数ya图象没有交点， 数形结合可得1a 或0a 8.C 连接 A，B 与左右焦点 F， F 的连线，由120AFB， 由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF为平行四边形，60FAF， 在三角形AFF中， 2 222 2cos3FFAFAFAF AFFAFAFAFAF AF， 所以

13、2 2 2 33 2 AFAF AFAFFFAF AF ，即 2 2 1 4 AFAFFF 即 22 1 44 4 ac，可得 1 2 c e a ，所以椭圆的离心率 1 ,1 2 e 9.CD 在 A 中，直线AM与 1 C C是异面直线，故 A 错误；在 B 中，直线AM与BN是异面直线，故 B 错误；在 C 中，直线BN与 1 MB是异面直线，故 C 正确； 1 /MN CD， 1 ACD是等边三角形， 直线MN与AC所成的角为 60，D 正确 10.ABC 公比 q 为正数 3 4a， 2 1 4a q ，又 11 3aa q，解得 1 1a ，2q . 1 2n n a ， 1 1

14、2 21 1 2 n n n S .12n n S ， 数 列1 n S 是 公 比 为2的 等 比 数 列. 8 8 21255S .lg(1)lg2 n an，数列lg n a是公差为lg2的等差数列. 11.BD 作出函数 cos2 ,22 ( ) 1 sin2 ,222 xkxk f x xkxk 的图象， 8 由图， 函数( )f x在0, 3 上单调递增， 故 A 错误；(2 )( )f xf x， 所以函数( )f x的周期为2， 故 B 正确；无对称轴，C 错误，在(0,2 )上有 3 个零点，D 正确 12.BC 当1a 时，( )ln x f xex，易知函数( )f x在

15、(0,)上单调递增，无最大值，故 A错 误， 对于任意的0a，函数( )f x是(0,)上的增函数，当0 x时，1 x e ，lnx，故 ( )f x ，故 B 正确，D 错误，对于任意的0a，( ) x a fxe x ，易知( )fx在(0,)单调 递增， 当x 时，( )fx ，当0 x时，( )fx ，存在 0 0fx， 当 0 0 xx时，( )0fx，函数单调递减， 0 xx ，( )0fx，函数单调递增， min0 ( )f xf x，故 C 正确 13.2 222 |2 |44444 2 1 cos604ababa b ，|2 | 2ab. 14.2 1 2 2 sin3 2

16、AOB SAOB ， 3 sin 2 AOB，0OA OB， 120AOB， 圆心 O 到直线yxm的距离2sin301d ，即 | 1 2 m ，2m 15. 20 6 3 根据图形知，ABC中，30BAC，753045ACB，40AB ， 9 由正弦定理得， 40 sin30sin45 BC ，解得 1 40 2 20 2 2 2 BC ， 在RtBCD中，30BDC，所以 320 6 tan3020 2 33 CDBC . 16.8 6n（第一空 2 分） ，14 3 （第二空 3 分） 由题设知球心O 为PC中点， 故球 O的直径 222 22242 66RR， 故 8 6V 球 ，

17、设球心到平面AEF的距离为 d，截面圆的半径为 r，由题设球心 O 到平面AEF的距离等于点 B 到 平面AEF的距离，在三棱锥BAEF中，由等体积法得 2 3 3 d ， 222 414 6 33 rRd， 故截面面积为14 3 17.解： （1） 2 1 ( )3sincoscos 2222 xxx f xm n 31 sincos1sin1 226 xxx 故函数的最小正周期为2. （2）将( )sin1 6 f xx 的图象按照变换：向左平移 3 2 个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半， 可得 3 ( )sin 211 cos 2 266 yg xxx 的图象， 10

18、当, 6 4 x 时， 2 2, 663 x ， 1 cos 2,1 62 x ， 3 ( )0, 2 g x ， 若方程( )g xa有解，则 3 0, 2 a . 将( )sin1 6 f xx 的图象按照变换：纵坐标保持不变， 横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 4 个单位， 可得( )sin 21sin 21 263 yg xxx 的图象， 当, 6 4 x 时， 2 2, 336 x ， 1 sin 21, 32 x ， 3 ( )0, 2 g x ， 若方程( )g xa有解，则 3 0, 2 a . 18.解： （1） 11 1aSpq ， 221 42(1)31aSSpqpqp

19、 ， 332 51aSSp， 3 651ap，解得1p . 由 213 2aaa得2426q，解得0q . 1p，0q . （2）等差数列 n a的公差 21 422daa，22(1)2 n ann. 2 2log nn ab， 2 22log n nb，解得2n n b . ( 1)( 1)2( 2) nnn nn abn . 数列( 1)n nn ab的前2n项和 2 2( 1 2)( 34)( 21 2 ) n Tnn 11 2 21 22 2 1 ( 2) 22 2( 2)( 2)22 1 ( 2)3 n n n nn 2n T关于 n 递增， 22 2243 n TT. 19.解：

20、（1） 2 2sincos21 2 BC A ，即为cos2cos()0ABC， 可得 2 2coscos10AA ，解得 1 cos 2 A 或cos1A（舍去） ， 由0A，可得 3 A ； （2）3BA AC，即为 2 cos3 3 cb ，可得6bc ， 由 2222 2cos()27abcbcAbcbcbc， 可得73 65bc ， 由 ABCABTACT SSS 得， 111 sin60sin30sin30 222 bcb ATc AT 3 6 sin606 3 2 1 ()sin305 5 2 bc AT bc （1）证明：取PB中点 G，因为 F 是PC中点，/FG BC，且

21、1 2 FGBC E 是AD的中点，则/DE BC，且 1 2 DEBC./FG DE，且FGDE. 四边形DEGF是平行四边形，/DF EG 又DF 平面PEB，EG 平面 PEB，/DF平面PEB. （2）解：E是正三角形PAD边为AD的中点，PEAD. 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE 平面PAD， PE平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60BAD， 正三角形BAD中，BEAD， 以 E 为原点，EA，EB，EP分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 12 不妨设菱形ABCD的边长为 2，则1AEED，2PA， 3PE ， 22 3BEABAE， 则点(0

22、,0,0)E，( 1,0,0)D ，( 2, 3,0)C ， (0,0, 3)P， 33 1, 22 F ， ( 1, 3,0)DC ，(1,0, 3)DP ， 设平面PDC的法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 n DC n DP ，即 30 30 xz xy ，解得 3 3 xy xz ， 不妨令1z ，得(3, 1,1)n ； 又 33 1, 22 EF ，设EF与平面PDC所成角为， 36 sin|cos,| 55 5 2 EF n EF与平面PDC所成角的正弦值为 6 5 . 21.（1）证明：由题意， 4 CAP ，所以 4 CP , 又cos1 cosPQABAP ，

23、 观光专线的总长度 13 ( )1 coscos1 44 f ，0 4 ， 当0 4 时，( )1 sin0f ，( )f在0, 4 上单调递减， 即观光专线CPPQ的总长度随的增大而减小. （2）解：设翻新道路的单位成本为(0)a a ，则总成本 ( )22cos2cos2 44 gaa ，0 4 ，.g（0） =a（ ( )( 12sin )ga ， 令( )0g，得 1 sin 2 ，因为0 4 ，所以 6 ， 当0 6 时，( )0g，( )g单调递减； 当 64 时，( )0g，( )g单调递增， 所以，当 6 时，( )g取得最小值， 故当 6 时，观光专线CPPQ的修建总成本最低

24、. 22.解： （1）( )(3)(2ln) x f xxeaxx， 2 ( )(2)1 x fxxea x 故(1)1feae ，解得：1a ， 故( )(3)2ln x f xxexx，(1)21fe ， 故切线方程是：(1)2ye xe ，故2be ； （2）证明： 1 ( )(2) x fxxe x ，(0)x ， 令 1 ( ) x h xe x ，显然( )h x在(0,)递增， 而 1 0 2 h ，(1)0h，故 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0h x， 14 即 0 0 1 x e x ，则 00 lnxx ， 故 0 0,xx时， ( )0fx，( )f x递增， 0,2 xx时， ( )0fx，( )f x递减， (2,)x时， ( )0fx，( )f x递增，故 0 x是( )f x唯一的极大值点， 且 0 000000 00 33 32ln131 235 x f xxexxxx xx 令 3 ( )13g xx x ， 1 ,1 2 x ，则 2 2 3 1 ( )0 x g x x ， ( )g x在 1 ,1 2 递增，故 16 ( )6.52 25 g xge ， 综上，( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 6 25 5 ef x . 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org