有理数的加减法（基础）知识讲解.doc

1、 1 有理数的加减法有理数的加减法（基础基础） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的加法有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法 2.法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大

2、的绝对值减去较小的绝 对值互为相反数的两个数相加得 0； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数 要点诠释：要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则 (2)确定和的符号(是“+”还是“”) (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减) 3.运算律： 有 理数 加法 运算 律 加 法交换 律 文字语 言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语 言 a+bb+a 加 法结合 律 文字语 言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 不变 符号语 言 (a+b)+ca+(b+c)

3、要点诠释：要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号 【高清课堂：有理数的加减【高清课堂：有理数的加减 382681382681 有理数的减法有理数的减法】 要点二、要点二、有理数的减法有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数， 求另一个加数的运算， 叫做减法， 例如： (-5)+?7， 求？， 减法是加法的逆运算 要点诠释：要点诠释： （1）任意两个数都可以进行减法运算 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字即数的绝对值 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()abab 要点诠释：要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变

4、是减法变加法；二变是把减数变为它 的相反数” 如： 要点三、要点三、有理数有理数加减混合运算加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 2 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数的加法运算类型一、有理数的加法运算 1计算： (1)(+20)+(+12)； (2) 12 23 ； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0 【答案与解析】 （1） （2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3） （4）属于同一类，用的是加 法法则的第二条； （5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得 0；

5、 （6）用的是法则的第三条 (1)(+20)+(+12)+(20+12)+3232； (2) 12121 1 23236 (3)(+2)+(-11)-(11-2)-9 (4)(-3.4)+(+4.3)+(4.3-3.4)0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)0； (6)(-5)+0-5 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号， 再计算绝对值 举一反三：举一反三： 【变式变式 1】计算： 11 33 43 【答案】 11111 3333 433412 【变式变式 2】计算： （1） (+10)+(-11)； （2） 1212 -1+ -1+ -

6、 2323 【答案】 （1） (+10)+(-11)=(11-10)=1； （2 2） 12123411212341 -1+ -= - 1+= - 1+= -2-1+ -= - 1+= - 1+= -2 23236662323666 类型二、有理数的减法运算类型二、有理数的减法运算 2 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25) 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进 行计算 【答案与解析】法一： 3 法二： （1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37； （2）原式=2+25=27 【总结升华】算式中的“+”或“-”既

7、可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按 多重符号化简进行计算. 类型三、有理数的加减混合运算类型三、有理数的加减混合运算 3计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ； （2） （+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) 2111121111 -1+1+ +7+ -2+ -8-1+1+ +7+ -2+ -8 3243232432 (4) 11 3.587( 5)5( 7)3( 1.587) 24 （5） 13 2.25321.875 84 （6） 1355 3546 24618 【答案与解析】 （1） 26-18+5-16 =(+26)+(-1

8、8)+5+(-16) 统一成加法 =(26+5)+(-18)+(-16) 符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3 （2） （+7）+（-21）+（-7）+（+21） = (+7)+(-7) +(-21)+(+21) 互为相反数的两数先加 =0 （3） 2111121111 -1+1+ +7+ -2+ -8-1+1+ +7+ -2+ -8 3243232432 2111121111 -1+ -2+ 1+ -8+7-1+ -2+ 1+ -8+7 3322433224 同分母的数先加 1 1 -4 +-7 +7-4 +-7 +7 4 4 3 3 -3-3 4 4 （4） 11 3.587( 5

9、)5( 7)3( 1.587) 24 11 3.5875573( 1.587) 24 统一成加法 4 11 3.587( 1.587)(57)53 24 整数、小数、分数分别加 31 2 1285 44 （5） 13 2.25321.875 84 (2.252.75)(3.125 1.875)统一同一形式（小数或分数） ，把可凑整的放一起 0.5 54.5 （6） 1355 3546 24618 1355 3546 24618 1355 ( 3546)() 24618 整数，分数分别加 182730 10 0 36 29 36 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化

10、为加法运算； （2）观察各加 数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换 举一反三：举一反三： 【高清课堂：有理数的加减【高清课堂：有理数的加减 382681382681 简便方法计算简便方法计算】 【变式变式】用简便方法计算： (1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2) 3 2 4( 8 3 ) 6 5 () 8 5 1( 4 3 【答案】 (1) 原式=(-3.8)+ (-4.2)+ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4

11、）+（ 3 4 - 5 8 - 5 6 + 3 8 - 2 3 ）=-3+ 6 8 - 5 8 + 3 8 +(- 5 6 - 4 6 )=-3-1=-4 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用 4小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负， 爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地 O？为什么？ (2) 小虫离开 O 点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行 1 cm 奖励 1 粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【思

12、路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分， 表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的 绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小. 【答案与解析】 5 解： （1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10) =(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0 0 表示最后小虫又回到了出发点 O 答：小虫最后回到了出发地 O. （2） (+5)+(-3)+2； (+5)+(-3)+(+10)+12； (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+4； (+5)+(-3

13、)+(+10)+(-8)+(-6)2； (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+10； (+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)0. 因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开 O 点最远时是向右 12cm; (3) 531086121054 （cm）, 所以小虫爬行的总路程是 54 cm， 由1 5454 （粒） 答：小虫一共可以得到 54 粒芝麻. 【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观 察、大胆分析和设想 举一反三：举一反三： 【变式变式 1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行

14、答题游戏，每组的基本分为 100 分，答对一题 加 50 分，答错一题扣 50 分，游戏结束后各组的得分如下表： 第 1 组 第 2 组 第 3 组 第 4 组 第 5 组 10 0 15 0 35 0 -4 00 -1 00 (1)第一名超过第二名多少分? (2)第一名超过第五名多少分? 【答案】由表看出：第一名 350 分，第二名 150 分，第五名-400 分 (1) 350-150200(分) (2) 350-(-400)350+400750(分) 答：第一名超过第二名 200 分；第一名超过第五名 750 分 【变式变式 2】某产粮专业户出售粮食 8 袋，每袋重量(单位：千克)如下： 197，202，197，203，200，196，201，198 计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】法一：以 200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数 的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)-6 2008+(-6)1594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克 法二：197+202+197+203+200+196+201+1981594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克