有理数的加减法（提高）知识讲解.doc

1、 1 有理数的加减法有理数的加减法（提高提高） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想； 3熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理 简 算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的加法有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法 2.法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取

2、绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值互为相反数的两个数相加得 0； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数 要点诠释：要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则 (2)确定和的符号(是“+”还是“”) (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减) 3.运算律： 有 理数 加法 运算 律 加 法交换 律 文字语 言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语 言 a+bb+a 加 法结合 律 文字语 言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 不变 符号语 言

3、 (a+b)+ca+(b+c) 要点诠释：要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号 要点二、要点二、有理数的减法有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数， 求另一个加数的运算， 叫做减法， 例如： (-5)+?7， 求？， 减法是加法的逆运算 要点诠释：要点诠释： （1）任意两个数都可以进行减法运算 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字即数的绝对值 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()abab 要点诠释：要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它 的相反数” 如： 要点三、要点三、有理

4、数有理数加减混合运算加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数的加法运算类型一、有理数的加法运算 2 1计算： （1） 21 3 58 （2） 13 ( 6 )( 2 ) 34 （3） 2 1.1253 5 （4） 2 0( 5 ) 3 （5） 1 3( 3.5) 2 【思路点拨】 （1） （2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条： ； （3） （5）属于同一类，用的是加 法法则的第二条； （4）用的是法则的第三条 【答案与解析】 （1） 212121 3(3)3 585840 ； （2） 1313131 ( 6 )( 2 )

5、(62 )89 34341212 （3） 2 1.12531.125( 3.4)(3.4 1.125)2.275 5 （4） 22 0( 5 )5 33 （5） 1 3( 3.5)3.53.50 2 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号， 再计算绝对值 举一反三：举一反三： 【高清课堂：有理数的加减法【高清课堂：有理数的加减法 382681382681 有理数的加法例有理数的加法例 2 2】 【变式变式 1】计算：(1) -7 2 1 +10 6 1 ; (2) (- 2 1 )+(-7.3); (3) 1 4 1 +(-2 3 1 ); (

6、4) 7 5 1 +(-3.8)+(-7.2) 【答案】 （1）原式= 11112 (107 )(97)(1)2 62623 ； （2）原式=(0.57.3) 7.8 ； （3）原式= 111 (21 )1 3412 ； （4）原式=7.2 7.2 3.8 0 3.83.8 【变式变式 2】计算： 115 11 236 【答案】 115115115 1111( 1 1)1 236236236 【变式变式 3】计算： 11 ( 6)( 3.3)( 3)( 6)( 0.3)( 8)( 6)( 16)6 44 【答案】解法一： 3 11 ( 6)( 3.3)( 3)( 6)( 0.3)( 8)( 6

7、)( 16)6 44 11 ( 6)( 3)( 0.3)( 8)( 6)( 3.3)( 6)( 16)6 44 同号的数一起 先加 ( 23.55)( 31.55)8 解法二： 11 ( 6)( 3.3)( 3)( 6)( 0.3)( 8)( 6)( 16)6 44 11 ( 6)6( 3.3)( 3)( 0.3) ( 6)( 6) ( 16)( 8) 44 同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加 000( 8)8 类型二、有理数的减法运算类型二、有理数的减法运算 2 (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3) 41 3 73 【思路点

8、拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进 行计算 【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算 (1)2-(-3)2+35 (2)原式0+3.72+(-2.72)+4(0+4)+(3.72-2.72)4+15 （3）原式= 411416 ( 3 )(3)2 733721 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按 多重符号化简进行计算. 类型三、有理数的加减混合运算类型三、有理数的加减混合运算 3计算： （1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72； （2）11-12+13-1

9、5+16-18+17； （3） 111 3.76395684.7621 362 （4） 5113 3.4643.8721.543.37 6344 （5） 1355 3546 24618 ； （6） 13 2.25321.875 84 【答案与解析】 （1）观察各个加数，可以发现-3.72 与 3.72 互为相反数，把它们分为一组； 4.18、-2.93 与-1.25 的和为 0，把它们分为一组可使计算简便 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 (-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 0+0-1.23-1.23 （2）把正数和负数分别分为

10、一组 4 解：11-12+13-15+16-18+17 (11+13+16+17)+(-12-15-18) 57+(-45)12 （3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是 29，三个分数通分后也 不难算故把整数、分数、小数分别分为一组 解： 111 3.76395684.7621 362 111 (3.764.76)(521 )( 3968) 362 1 ( 6)2922 （4） 3.46 和 1.54 的和为整数,把它们分为一组； -3.87 与 3.37 的和为-0.5， 把它们分为一组； 5 4 6 与 1 3 易于通分，把它们分为一组； 1 2 4 与 3 4

11、 同分母，把它们分为一组 解： 5113 3.4643.8721.543.37 6344 5113 (3.46 1.54)( 3.873.37)(4)( 2) 6344 11 5( 0.5)4( 1 )4.537.5 22 （5）先把整数分离后再分组 解： 1355 3546 24618 1355 3546 24618 1355 ( 3546)() 24618 182730 10 0 36 29 36 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例 如 11 33 22 （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好可先将小数和分数统一后再考虑分组 解：

12、13 2.25321.875 84 (2.252.75)(3.125 1.875) 0.5 54.5 【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算注意在交 换加数的位置时，要连同符号一起交换. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （1） （2） 5 【答案】 （1） = 42733243327211 ()()()()()11 75957977559955 （2） 11111111 (1 3579)()25(.) 3153563991 33 59 11 115 25(1)25 21111 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用类型四、有理数的加减混合运算在实

13、际中的应用 【高清课堂：有理数的加减法【高清课堂：有理数的加减法 382681382681 有理数加减的应用有理数加减的应用】 4某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自 A 地出发到收工时所 走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5. （1）问收工时距 A 地多远？ （2）若每千米路程耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时共耗油多少升？ 【答案与解析】 （1）求收工时距 A 地多远，应求出已知 10 个有理数的和，若和为正数，则在 A 地前 面，若和为负数，则在 A 地后面；距 A 地的路程均为和的绝对值. 解：(1)

14、 (+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5) =+2+(-2)+(-8)+(+8)+(+10+4+13+12+5)+(-3) =0+0+44+(-3)=41（千米） ； （2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以 0.2 升即可. (|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)0.2=670.2=13.4（升）. 答：收工时在 A 地前面 41 千米，从 A 地出发到收工时共耗油 13.4 升. 【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决

15、很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观 察、大胆分析和设想 举一反三：举一反三： 【变式变式】某产粮专业户出售粮食 8 袋，每袋重量(单位：千克)如下： 197，202，197，203，200，196，201，198 计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】法一：以 200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数 的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)-6 2008+(-6)1594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克 法二：197+202+197+203+200+196+201+1981594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克