2021年高中数学人教A版（新教材）必修第一册课件：2.2 基本不等式.ppt

1、数学 基本不等式 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1基本不等式：基本不等式： aba b 2 (1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：等号成立的条件：当且仅当当且仅当_时取等号时取等号 (3)其中其中_称为正数称为正数 a，b 的算术平均数的算术平均数，_称为正数称为正数 a，b 的几何平的几何平 均数均数 ab ab 2 ab 点拨点拨 应用基本应用基本不等式求最值要注意：不等式求最值要注意： “一正、二定、三相等一正、二定、三相等” ” 忽略某个条件忽略某个条件，就就 会出

2、错会出错 2利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 已知已知 x0，y0，则则 (1)如果积如果积 xy 是定值是定值 p， 那么当且仅当那么当且仅当_时时， xy 有最小值是有最小值是_ (简简 记：积定和最小记：积定和最小) (2)如果和如果和 xy 是定值是定值 s， 那么当且仅当那么当且仅当_时时， xy 有最大有最大值是值是_ (简简 记：和定积最大记：和定积最大) xy 2 p xy s2 4 点拨点拨 在利用不等式求最值时在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次 使用使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致则一定

3、要保证它们等号成立的条件一致 常用结论常用结论 几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号 (2)ab ab 2 2(a， ，bR)，当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号 (3)a 2 b2 2 ab 2 2(a， ，bR)，当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号 (4)b a a b 2(a，b 同号同号)，当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号 二、教材衍化二、教材衍化 1设设 x0，y0，且且 xy18，则则 xy 的最大值为的最大值为 ( ) A80 B77 C81 D82 解析：解析：选选 Cxy xy 2 2

4、 18 2 2 81，当且仅当当且仅当 xy9 时等号成立时等号成立，故选故选 C 2若把总长为若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是则矩形场地的最大面积是_ 解析：解析：设矩形的长为设矩形的长为 x m，宽为宽为 y m，则则 xy10，所以所以 Sxy xy 2 2 25，当且仅当且仅 当当 xy5 时取等号时取等号 答案：答案：25 m2 一、思考辨析一、思考辨析 判断正判断正误误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)函数函数 yx1 x的最小值是 的最小值是 2. ( ) (2)ab ab 2 2成立的条件是

5、成立的条件是 ab0. ( ) (3)“x0 且且 y0”是是“x y y x 2”的充要条件的充要条件 ( ) (4)若若 a0，则则 a3 1 a2的最小值是 的最小值是 2 a. ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)忽视不等式成立的条件 忽视不等式成立的条件 a0 且且 b0； (2)忽视定值存在；忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件忽视等号成立的条件 1若若 x0，则则 x1 x ( ) A有最小值有最小值，且最小值为且最小值为 2 B有最大值有最大值，且最大值为且最大值为 2 C有最小值有最小值，且最小值为且最小值为2 D有最大值有最大值，且最大值为且最大值

6、为2 解析：解析：选选 D因为因为 x0，x 1 x 2 12，当且仅当当且仅当 x1 时时，等号等号 成立成立，所以所以 x1 x 2. 2若若 x1，则则 x 4 x1的最小值为 的最小值为_ 解析：解析：x 4 x1 x1 4 x1 1415. 当且仅当当且仅当 x1 4 x1， ，即即 x3 时等号成立时等号成立 答案：答案：5 3设设 0x1，则函数则函数 y2x(1x)的最大值为的最大值为_ 解析：解析：y2x(1x)2 x1x 2 2 1 2. 当且仅当当且仅当 x1x，即即 x1 2时 时，等号成立等号成立 答案：答案：1 2 考点一考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求

7、最值(基础型基础型) 复习复习 指导指导 探索并了解基本不等式的证明过程 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大(小小)值问值问 题题 核心素养：核心素养：逻辑推理逻辑推理 角度一角度一 通过配凑法求最值通过配凑法求最值 (1)已知已知 0x1，则则 x(43x)取得最大值时取得最大值时 x 的值为的值为_ (2)已知已知 x5 4， ，则则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 的最大值为_ 【解析解析】 (1)x(43x)1 3 (3x)(4 3x)1 3 3x（43x） 2 2 4 3， ， 当且仅当当且仅当 3x43x， 即即 x2 3

8、时 时，取等号取等号 (2)因为因为 x0， 则则 f(x)4x2 1 4x5 (54x 1 54x) 32（54x） 1 54x 323 1. 当且仅当当且仅当 54x 1 54x， ，即即 x1 时时，等号成立等号成立 故故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 的最大值为 1. 【答案答案】 (1)2 3 (2)1 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值利用拼凑法求解最值 应注意以下几个方面的问题：应注意以下几个方面的问题： (

9、1)拼凑的技巧拼凑的技巧，以整式为基础以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等做到等 价变形；价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 角度二角度二 通过常数代换法求最值通过常数代换法求最值 已知已知 a0，b0，ab1，则则 11 a 11 b 的最小值为的最小值为_ 【解析解析】 11 a 11 b 1a b a 1a b b 2b a 2a b 52 b a a b 549.当且仅当当且仅

10、当 ab1 2时 时，取等号取等号 【答案答案】 9 【迁移探究迁移探究 1】 (变问法变问法)若本例中的条件不变若本例中的条件不变，则则1 a 1 b的最小值为 的最小值为_ 解析：解析：因为因为 a0，b0，ab1， 所以所以1 a 1 b a b a a b b 2b a a b 22 b a a b 4，即即1 a 1 b的最小值为 的最小值为 4，当且仅当当且仅当 ab1 2时等号成立 时等号成立 答案：答案：4 【迁移探究迁移探究 2】 (变条件变条件)若本例条件变为：已知若本例条件变为：已知 a0，b0，4ab4，则则 11 a 11 b 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：由由

11、 4ab4 得得 ab 4 1， 11 a 11 b 1 ab 4 a 1 ab 4 b 2 b 4a 5 4 a b 5 2 2a b 5b 16a 1 4 11 4 2 5 8 11 4 10 2 .当且仅当当且仅当 4 2a 5b 时取等号时取等号 答案：答案：11 4 10 2 常数代换法求最值的步骤常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值(常数常数)； (2)把确定的定值把确定的定值(常数常数)变形为变形为 1； (3)把把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；进而构造和或积

12、的形式； (4)利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值 角度三角度三 通过消元法求最值通过消元法求最值 若正数若正数 x，y 满足满足 x26xy10，则则 x2y 的最小值是的最小值是 ( ) A2 2 3 B 2 3 C 3 3 D2 3 3 【解析】【解析】 因为正数因为正数 x，y 满足满足 x26xy10，所以所以 y1 x2 6x .由由 x0， ， y0，即 即 x0， 1x2 6x 0， 解得解得 0x0，y0， 4x x3y 3y x 4x x3y x 3y x 12 4x x3y x3y x 1413(当且仅当当且仅当 x3y 时等号成立时等号成立) 3已知已知 x0

13、，y0，且且 x16yxy，则则 xy 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：已知已知 x0，y0，且且 x16yxy. 即即16 x 1 y 1，则则 xy(xy) 16 x 1 y 16116y x x y 172 16y x x y 25，当且仅当且仅 当当 x4y20 时等号成立时等号成立， 所以所以 xy 的最小值为的最小值为 25. 答案：答案：25 考点二考点二 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题(应用型应用型) 复习复习 指导指导 利用基本不等式解决实际问题 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数列出函

14、数 关系关系，然后利用基本不等式求最值然后利用基本不等式求最值 某单位在国家科研部门的支持下某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关进行技术攻关，采用了新工艺采用了新工艺，把二氧化碳把二氧化碳 转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨吨，最多为最多为 600 吨吨，月处理成本月处理成本 y(元元)与月处理量与月处理量 x(吨吨)之间的函数关系可近似地表示为之间的函数关系可近似地表示为 y1 2x 2 200 x 80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价

15、值为 100 元元 (1)该单位每月处理量为多少吨时该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补 贴多贴多少元才能使单位不亏损？少元才能使单位不亏损？ 【解】【解】 (1)由题意可知由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为二氧化碳每吨的平均处理成本为 y x 1 2x 80 000 x 2002 1 2x 80 000 x 200200， 当且仅当当且仅当1 2x 80 000 x ，即即 x400

16、时等号成立时等号成立，故该单位月处理量为故该单位月处理量为 400 吨时吨时，才能使才能使 每吨的平均处理成本最低每吨的平均处理成本最低，最低成本为最低成本为 200 元元 (2)不获利设该单位每月获利为不获利设该单位每月获利为 S 元元，则则 S100 xy100 x 1 2x 2 200 x80 000 1 2x 2 300 x80 0001 2(x 300)235 000， 因为因为 x400， 600， 所以所以 S80 000， 40 000故该单位每月不获利故该单位每月不获利，需要国家每需要国家每月至少补贴月至少补贴 40 000 元才能不亏损元才能不亏损 应用基本不等式解决实际问

17、题的基本步骤应用基本不等式解决实际问题的基本步骤 (1)理解题意理解题意， 设出变量设出变量， 建立相应的函数关系式建立相应的函数关系式， 把实际问题抽象为函数的最值问题；把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题还原为实际问题，写出答案写出答案 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的泳池平方米的泳池，池的池的 深度为深度为 1 米米， 池的四周墙壁建造单价为每米池的四周墙壁建造单价为每米 400 元元， 中间一条隔壁建造单价为每米中间一

18、条隔壁建造单价为每米 100 元元，池底建造单价每平方米池底建造单价每平方米 60 元元(池壁厚忽略不计池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时则泳池的长设计为多少米时，可可 使总造价最低使总造价最低 解：解：设泳池的长为设泳池的长为 x 米米，则宽为则宽为200 x 米米，总造价总造价 f(x)400 2x2200 x 100200 x 60200800 x225 x 12 0001 600 x 225 x 12 00036 000(元元)，当且仅当当且仅当 x 225 x (x0)，即即 x15 时等号成立即泳池的长设计为时等号成立即泳池的长设计为 15 米时米时，可使总造价最低可使总造价最低 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放