福建省泉州市2017—2018学年高一上学期期末考试数学试题及答案.doc

1、 泉州市泉州市 20172017- -20182018 学年度上学期高中教学质量跟踪监测学年度上学期高中教学质量跟踪监测 高一数学试题高一数学试题 评分说明：评分说明： 1 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论 后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 2对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部

2、分的判 分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给 分分 3 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 4只给整数分数选择题和只给整数分数选择题和填空题不给中间分填空题不给中间分 第第卷（共卷（共 6 60 0 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，

3、只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 设合集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设合集， ，根据集合的补集的概念得到 故答案为：B。 2. 若,三点共线，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】因为,三点共线，故每两点间连线构成的斜率相等，即 故答案为：C。 3. 已知自然对数的底数，在下列区间中，函数的零点所在区间为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数是单调递增函数，根据零点存在定理得到 故零点存在于之间。 故答案为：C。 4. 已知圆，圆，则两圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交

4、 D. 外离 【答案】A 【解析】圆 x 2+y2=1 的圆心 O（0，0） ，半径 r=1， 圆（x3） 2+（y4）2=16，圆心 A（3，4） ，半径 R=4， 两圆心之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r， 两圆相外切 故答案为：A。 5. 某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ） A. 与相交 B. 与平行 C. 与平行 D. 与异面 【答案】B 【解析】根据题意得到立体图如图所示： A与是异面直线，故不相交； B与平行，由立体图知是正确的； C 与位于两个平行平面内，故不正确； D与是相交的。 故答案为：B。 6. 下列函数中，既是偶函数且在区间上单调递增的函数是（

5、 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A 是奇函数，故不满足题意； B是增函数，且为奇函数，故不满足条件； C 是偶函数但是为减函数，故得到不满足条件； D，是偶函数且为增函数，满足条件。 故答案为：D。 7. 在正方体中， 为线段的中点，则直线与 所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设正方体边长为 2，和直线是平行的，故可求与和的夹角，三角形 边长为，由余弦定理得到和的夹角的余弦值为。 故答案为：D。 8. 如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇 国之宝”的美誉后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下

6、承中空柱足 ，造型厚 重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证 右图为鼎足近似模型的三视图（单位 :） 经该鼎青铜密度为 （单位：） ，则根据三 视图信息可得一个“柱足”的重量约为（重量=体积密度，单位 :） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由三视图得到原图是一个圆柱形的物体，中间再挖去一个小圆柱，剩下的部分。剩 余体积为 ，根据质量的计算公式得到 故答案为：C。 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由条件可得 ， 故 故得到. 故答案为：A。 点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有： 先估算一下每个数值，看

7、能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和 0， 1，-1 比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。 10. 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，故可设 则。 故答案为：B。 11. 已知直线，动直线，则下列结论错误 的是（ ） A. 存在 ，使得 的倾斜角为 B. 对任意的 ， 与 都有公共点 C. 对任意的 ， 与 都不 重合 D. 对任意的 ， 与 都不垂直 【答案】D 【解析】 A. 不存在 ， 使得 的倾斜角为 90； 因为动直线 斜率为， 故选项不

8、正确。 B 直线过定点，直线过定点 ，故 B 是正确的。 C 直线 斜率不可能为 1 ，故选项正确。 D 根据 A 选项的判断过程知道 D 是正确的。 故答案为：A。 12. 在直角坐标系中，动圆 经过点，且圆心在抛物线上.记圆 被 轴 所截得的弦长为,则随着的增大，的变化情况是（ ） A. 恒为定值 B. 一直减小 C. 一直增大 D. 先减小，再增大 【答案】A 【解析】设圆心，动圆 经过点，则得到 这是圆 C 的方程，令，化简得到，故得到此时 PQ 的长度为 4. 故得到弦长为定值。 故答案为：A。 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结 合来解

9、决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转 化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知集合，则_ 【答案】 【解析】集合 ， 两者取交集为. 故答案为：。 14. 已知函数则_ 【答案】4 【解析】根据函数的表达式得到=3，此时两者之和为 4。 故答案为：4. 15. 两平行直线，若两直线之间的距离为 1，则_ 【答案】 【解析】根据两平行直线间的距离公式得到 故

10、答案为：。 16. 在三棱锥中，正三角形中心为 ，边长为，面，垂足 为的中 点，与平面所成的角为 45.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上， 则此球的 表面积为_ 【答案】 【解析】根据题意得到将 Q 点竖直向上提起，从 SA 的中点 M 做一条中垂线，两者的交点即球 心，根据长度关系得到三角形 AMH 和三角形 OHQ 是相似三角形，OA 即是半径，根据勾股定理 得到半径为 10，故得到球的面积为. 故答案为：。 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切 点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系，或只画内

11、切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何 体已知量的关系，列方程(组)求解. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤. .） 17. 已知直线，直线 经过点且与 垂直，圆. (I)求 方程； ()请判断 与 的位置关系，并说明理由 【答案】() (II) 直线 与圆 相离. 【解析】试题分析： （1）根据题意得到直线 斜率为，直线 经过点，通过这两点可 得到直线方程； （2）求出圆心到直线的距离，直线 与圆 相离。 解析： ()直线 的斜

12、率为 2 ， 故直线 的斜率为， 因为直线 经过点， 所以直线 的方程为：，即. (II)由圆整理得， 所以圆 的圆心坐标为，半径为 1. 设点 到直线 距离， 因为， 所以直线 与圆 相离. 18. 已知函数的两零点为. ()当时，求的值； ()恒成立，求 的取值范围 【答案】(I) (II) 【解析】试题分析： （1）令，得，可求出两根，进而求得； （2） 图象是开口向上，对称轴为为抛物线，讨论轴和区间的关系，得到函数的最值即可。 解析： (I)令，得， 不妨设，解得， ， 所以. (II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线， (1)当即时，符合题意； (2)当，即时， ，故； 综合(1)(

13、2)得. 19. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，. ()求证：； ()若,点 为线段的中点请在线段上找一点 ,使平面，并说明 理由. 【答案】(I)见解析(II) 线段的中点即为所求的点 【解析】试题分析： （1）证明线线垂直，可先证明线面垂直平面平面 ，故； （2）线段的中点即为所求的点 ，根据平行四边形，得到线线平行， 进而得到线面平行。 解析： (I)在直四棱柱中， 平面平面， , 又, 平面. 平面，. (II)线段的中点即为所求的点 或：过作（或者）平行线交于点 . 理由如下：取线段的中点 ，连结. , , 又, . 又在梯形中，, 四边形是平行四边形 , 又, 延长必过,四点共面

14、， 不在平面内，即平面, 又平面， 平面. 20. 某公司为了研究年宣传费 （单位：千元）对销售量 （单位：吨）和年利润 （单位：千 元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费 和年销售量数据： 1 2 3 4 5 6 7 8 38 40 44 46 48 50 52 56 45 55 61 63 65 66 67 68 ()请补齐表格中 8 组数据的散点图， 并判断与中哪一个更适宜作为年销 售量 关于年宣传费 的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由） ()若()中的，且产品的年利润 与 ， 的关系为 ，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x 应为何值？ 【答案】(I)见解析，(II) 当即投入

15、的年宣传费千元时，年利润取到最大 值（最大值为 889). 【解析】试题分析： （1）画出散点图，根据散点图的走向，可选出合适的模型； （2）根据题 意得到，经过换元求得函数的最值问题。 解析： (I)补齐的图如下： 由图判断，更适宜作为年销售量 关于年宣传费 的函数表达式. (II)依题意得， 化简得， 设， 则有. （答）故当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为 889). 21. 如图，是边长为 2 的正三角形，平面,分别为的中点， 为 线段 上的一个动点 ()当 为线段中点时，证明：平面； ()判断三棱锥的体积是否为定值？（若是，需求出该定值；若不是，需说明理由 ） 【答

16、案】(I)见解析(II) 【解析】试题分析： （1）证明线面垂直，可找线线垂直，进而得到线面 垂直； （2）根据三棱锥的体积轮换得到 ，进而求得体积是定值。. 解析： (I)在中，分别为的中点. 平面平面, , 在正中， 为线段中点，, , 又, 平面. (II)三棱锥的体积是定值. 理由如下： 平面,平面， AD 线上的点到平面 BEF 的距离都相等 又平面 ABD 且, 三棱锥的体积为. 22. 在直角坐标系中，圆 与 轴相切于点，且圆心 在直线上. ()求圆 的标准方程； (II)设为圆 上的两个动点，,若直线和的斜率之积为定值 2，试探求 的最小值 【答案】(I)见解析(II) 当时，

17、 最小值为. 【解析】试题分析： （1）根据直线和圆的位置关系得到圆心和半径，得到圆的方程； （2）根 据题意得到，通过换元求得函数的最值即可。 解析： (I)因为圆 C 与 y 轴相切于点，所以圆心 的纵坐标. 因为圆心 在直线上，所以, 又由圆 与 轴相切，可得圆的半径为 2 . 所以 的方程为：. (II)依题意，知心不与 重合， 故不妨设直线方程为：. 因为圆心 到直线的距离为. 因为直线和的斜率之积为定值-2， 所以直线的斜率为：， 同的求解方法，可得， 所以， 化简得. 考察， 令，得. 由有正数解，且， 得， 解得. 故. 因为当时，可解得， 所以当时， 最小值为. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是 一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最 终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一， 尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.