1、 1 全国全国 T8 学校学校 2021 届高三第一次联考届高三第一次联考 数学试题数学试题 考试时间：考试时间：20202020 年年 1212 月月 3030 日上午日上午 8:008:0010:00 10:00 试卷满分试卷满分 150150 分分 考试用时考试用时 120120 分钟分钟 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1若 3 1 12 i zi i ，则 z 的虚部为 A 1 5 B 1 5 i C 3 5 D 3
2、5 i 2已知集合 2 |430Ax xx， |Bx xm，若 |1ABx x，则 Am1 B1m3 C1m3 D1m3 3斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1， 2，3，5，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 90的圆弧， 这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线 自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案， 例 如向日葵、鹦鹉螺等下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形 做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 A 13 2 B13 8 C 13 4 D13 2 4设 22 543 ,(1) ( ) 2 23,(1)
3、1 xaaxax f x xx x ，若( )f x的最小值为 f(0)，则 a 的值为 A0 B1 或 4 C1 D4 5 已知 ABC 中， AB=1， AC=3， 1 cos 4 A ， 点 E 在直 线 BC 上，且满足 ： 2()BEABACR，则|AE A34 B3 6 C3 D6 6设双曲线 2 2 1 3 y x 的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与双曲线的左支交于点 A， 与双曲线的渐近线在第一象限交于点 B，若 12 BFBF，则ABF2的周长为 A4 32 B4 32 C42 3 D42 3 2 7已知ABC 中，角 A，B 满足sincos 2 ABAB ，
4、则下列结论一定正确的是 Asin Acos B Csin Bcos A Dsin C1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，函数 127 ( )f xx xaxaxa，若(0)1f ，则 Alg an为单调递增的等差数列 B0q1 成立的 n 的最大值为 6 12在直三棱柱 111 ABCABC中，ABC=90，AB=BC=2，AA1=2，M 是 BC 的中点，N 是 A1C1的中点，点 P 在线段 B1N 上，点 Q 在线段 AM 上，且 2 3 AQAM，S 是 AC1与 A1C 的 交点，若 PS/面 B1AM，则 APS/B1Q BP 为 B1N 的中点 CACPS
5、 D三棱锥 P-B1AM 的体积为 2 3 3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13设随机变量 1 ( , ) 4 XB n，Y=2X+1，若 E(Y)=4，则 n=_ 14 武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动， 在活动中他们会被随机 分配到 A、B、C 三个社区若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到 A 社 区，共有_种不同的分配方案11 15我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂， 并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
6、一 为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a （其中 S 为三 角形的面积， a,b,c 为三角形的三边） 在非直角ABC 中， a,b,c 为内角 A,B,C 所对应的三边， 若 a=3，且(cos3cos)acBC，则ABC 的面积最大时，c=_ 16已知函数( )ln2(0) 2 x a f xaea x ，若( )0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知an为等
7、差数列，bn为等比数列，bn的前 n 项和为 Sn，且 11 1ab， 233 aab， 332 aSb. （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 1 12 nn n nn a b c aa ，Tn为数列cn的前 n 项和，求数列 5 52 n T 的前 n 项和 n S 18 （12 分）已知函数( )sin()(0,0)f xAxA的图像是由2sin() 3 yx 的图像 向右平移 3 个单位得到的 （1）若 f(x)的最小正周期为 ，求 f(x)的与 y 轴距离最近的对称轴方程； （2）若 f(x)在, 2 上仅有一个零点，求 的取值范围 4 19 （12 分）如图所示为一个半圆柱
8、，E 为半圆弧 CD 上一点，5CD （1）若2 5AD ，求四棱锥 E-ABCD 的体积的最大值； （2）有三个条件：4DE DCEC DC；直线 AD 与 BE 所成角的正弦值为 2 3 ； sin6 sin2 EAB EBA . 请你从中选择两个作为条件，求直线 AD 与平面 EAB 所成角的余弦值 20 （12 分）国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了生活垃圾分类制度实施 方案 ，规定 46 个城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达 35%以 上截至 2019 年底，这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%武 汉市在实施
9、垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的 320 个社区中随机抽取 50 个社 区，对这 50 个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并 将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过 28 吨/天的确定为“超标”社区： 垃圾量 X 12.5,15.5) 15.5,18.5) 18.5,21.5) 21.5,24.5) 24.5,27.5) 27.5,30.5) 30.5,33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值x（精确到 0.1） ； （2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分
10、布 2 ,N ，其 中 近似为（1）中的样本平均值x，2近似为样本方差 s2，经计算得 s=5.2请利用正态分 布知识估计这 320 个社区中“超标”社区的个数 （3）通过研究样本原始数据发现，抽取的 50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区，市政 府决定对这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这 8 个“超标”社区中任 取 5 个先进行跟踪调查，设 Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为 30.5 吨的社区个数，求 Y 的 分布列与数学期望 （参考数据：()0.6827:(22 )0.9545PXPX； (33 )0.9974)PX 5 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 与抛物线 2 :4Myx有公共的焦点，且抛物 线的准线被椭圆截得的弦长为 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点作一条斜率为 k(k0)的直线交椭圆于 A,B 两点，交 y 轴于点 E，P 为弦 AB 的中点，过点 E 作直线 OP 的垂线交 OP 于点 Q，问是否存在一定点 H，使得 QH 的长度为定值？若存在，则求出点 H，若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 2 ln ( ) xm f x x （1）当 m=1 时，求 f(x)的最大值； （2）讨论关于 x 的方程( )lnf xmx的实根的个数
