1、 1 高高 2021 级第五期期末复习专项训练级第五期期末复习专项训练 专题三立体几何（一）专题三立体几何（一） 一、选择题 1.若平面 平面 ，m 是 内的任意一条直线，则下列结论正确的是（ ） A任意直线 l，都有 l B存在直线 l，使得 l C任意直线 l，都有 lm D存在直线 l，使得 lm 2.棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 PCBD1，则动点 P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A3 B32 C 3 2 D1 3. 已知正方体 1111 ABCD ABC D-,O为地面ABCD的中心，,M N分别为棱 111 ,AD CC
2、的中点，则异面 直线 1 B M与ON所成角的余弦值（ ） 5 . 5 A 10 . 5 B 15 . 15 C 2 5 . 15 D 4.已知ABC 是面积为93 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上若球 O 的体积为32 3 ，则 O 到 平面 ABC 的距离为（ ） A1 B3 2 C3 D 3 2 5.（多选题）如图，正方形 SG1G2G3的边长为 1，E，F 分别是 G1G2，G2G3的中点，SG2交 EF 于 D， 现沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为 G， 则在四面体 SGEF 中必有（ ） ASG平面 E
3、FG B设线段 SF 的中点为 H，则 DH平面 SGE C四面体 SGEF 的体积为 1 12 D四面体 SGEF 的外接球的表面积为3 2 6.（多选题） 九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” ；底面为矩形， 一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马” ；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑” 如图在 堑堵 ABCA1B1C1中， ACBC， 且 AA1AB2 下列说法正确的是 （ ） A四棱锥 BA1ACC1为“阳马” B四面体 A1C1CB 为“鳖臑” C四棱锥 BA1ACC1体积最大为2 3 D过 A 点分别作 AEA1B 于点 E，AFA1C 于点 F，
4、则 EFA1B 二、填空题 7.已知正方体棱长为 2，以正方体的一个顶点为球心，以 22为半径作球面，则该球面被正方体表面所 截得的所有的弧长和为 8.如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、 OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面体的外接球的体积为 （ 8题 图 ） （9 题图） 2 3 9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数 （0 且 1）的点的轨 迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题： 如图，在长方
5、体 ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA16，点 E 在棱 AB 上，BE2AE，动点 P 满 足 BP= 3PE若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 ；若点 P 在长方 体 ABCDA1B1C1D1内部运动，F 为棱 C1D1的中点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的 最小值为 三、解答题 10.如图 1，在平面四边形 ABDC 中，AB2，AC1，CD= 5，A90，cosBCD= 1 5 （1）求 sinD； （2）将BCD 沿 BC 折起，形成如图 2 所示的三棱锥 DABC，AD2 （）三棱锥 DABC 中，证明：点 D 在平
6、面 ABC 上的正投影为点 A； （）三棱锥 DABC 中，点 E，F，G 分别为线段 AB，BC，AC 的中点，设平面 DEF 与平面 DAC 的交线为 l，Q 为 l 上的点求 DE 与平面 QFG 所成角的正弦值的取值范围 11.在如图所示的四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BCE 为边长为 2 的等边三角形， ABAE，点 F，O 分别为 AB，BE 的中点，OF 是异面直线 AB 和 OC 的公垂线 （1）证明：平面 ABE平面 BCE； （2）记 OCDE 的重心为 G，求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值 高高 2021 级第五期期末复习专项训练（
7、五）级第五期期末复习专项训练（五） 专题三立体几何（一）参考答案专题三立体几何（一）参考答案 一、一、选择题选择题 4 1. B 2. C 解：连接 AB1，AC，B1C，则可证 BD1平面 ACB1， 故 P 点轨迹围成图形为AB1C，又 ACAB1B1C= 2， S 1= 3 4 （2）2= 3 2 3. C 4. A 解：SABC= 3 4 2= 93 4 ，AB3， V球= 4 3 （OA）3= 32 3 ，OA2， 设ABC 的中心为 O1，则 OO1平面 ABC， 由正弦定理可得 2O1A= =23，O1A= 3， OO1= 2 12=1，即 O 到平面 ABC 的距离为 1 5.
8、 ABD 解： （1）SGFG，SGEG，EGFGG，SG平面 EFG，故 A 正确； （2）由题意可易知 D 是 EF 的中点，又 H 是 SF 的中点，则 DHSE， 又 SE平面 SGE，DH平面 SGE，DH平面 SGE，故 B 正确； （3）EGFG，EGFG= 1 2，SGEF= 1 2 1 2 1 2 = 1 8， 又 SG平面 GEF，SG1，VSGEF= 1 3 1 8 1 = 1 24，故 C 错误； （4）SG，EG，FG 两两垂直，且 EGFG= 1 2，SG1， 三棱锥 SGEF 的外接球可看作棱长分别为1 2， 1 2，1 的长方体的外接球， 故外接球的直径 2r=
9、1 4 + 1 4 + 1 = 6 2 ，r= 6 4 ， 外接球的表面积为：4r2= 3 2 ，故 D 正确 6. ABD 解：A 四边形 A1ACC1为矩形，BC平面 A1ACC1四棱锥 BA1ACC1为 “阳马” ， 故 A 正确； B四面体 A1C1CB 中，A1C1C、A1BC、A1BC1、BCC1都是直角三角形， 四面体 A1C1CB 为“鳖臑” ，故 B 正确； CACBC= 2时，四棱锥 BA1ACC1体积为：11= 1 3 2 2 2 = 4 3 2 3，故 C 错误； D过 A 点分别作 AEA1B 于点 E，AFA1C 于点 F，BCAC，BCAA1，ACAA1A， BC
10、平面 AA1C1C，又 AF平面 AA1C1C，BCAF， A1CBCC，AF平面 A1BC，AFA1B，AEAFA，A1B平面 AEF， EF平面 AEF，EFA1B，故 D 正确 二、填空题 5 7. 3 解：如图，不妨以 D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以 D1 为圆心，以 2 为半径的四分之一圆周， 则弧长11 = 1 4 2 2 = ， 该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为 3 8. 86 解：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 的正三棱锥 OACD，如图， 取 CD 中点 E，连结 AE，作 OF平面 ABC，交
11、AE 于 F，则 F 是ACD 的重心， 由题意知 AE= 16 4 =23，AF= 2 3 = 43 3 ，OF=(22)2 (4 3 3 )2= 26 3 ， 设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R，则 G 在直线 OF 上， 且 OGAGR， 由 AG2AF2+GF2，得： R2（43 3 ）2+（ 26 3 R）2，解得 R= 6， 以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面体的外接球表面积为 V= 4 3R 386 9. 23，9 4解：若点 P 在平面 ABCD 内运动时，如图以 A 为原点距离平面直角坐标系， 可得 E（2，0） ，B（6，0） 设 P（x，y） ，由 BP=
12、 3PE 可得 BP23PE2 即 3（x2）2+3y2（x6）2+y2，x2+y212 则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 23，圆心为 A， 若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动，由可得点 P 在半径为 23，球心为 A 球上 如图建立空间直角坐标系，可得 A（3，0，0） ，F（0，3，3） ，C（0，6，0） ，B1（3，6，3） 则 = (0，3， 3)，1 = (3，3，0)， = (3，6，0) 设面 FB1C 的法向量为 = (，)， = 3 3 = 0 1 = 3 + 3 = 0 ，可得 = (1， 1， 1) A 到面 FCB1的距离为 d= | | | |
13、= 9 3 = 33 则 P 到面 FCB1的距离的最小值为 33 23 = 3， M 为 CP 的中点，M 到面 FCB1的距离的最小值为 3 2 6 则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为1 3 1 3 2 = 1 3 3 4 (32)2 3 2 = 9 4 三、解答题 10.解： （1）在 RtABC 中： = 2+ 2= 5， 在BCD 中由余弦定理： = = 5， = 2+22 2 = 1 5， 所以 = 22，在BCD 中由正弦定理： = ； = 26 5 ， 所以 = 15 5 （2） （）证明：在DAB 中，因为 = 2， = 2， = 22， 所以 BD2AB2+AD2，AD
14、AB， 在DAC 中，因为 = 1， = 2， = 5， 所以 CD2AC2+AD2，ADAC， 又因为 ABACA，所以 AD平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 上的正投影为点 A （）因为 EFAC，EF平面 DAC，AC平面 DAC， 所以 EF平面 DAC，平面 DEF 与平面 DAC 的交线为 l，所以 lAC， 以 A 坐标原点，分别以 AB、AC、AD 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 所以(0，0，0)，(0，0，2)，(1，0，0)，(1， 1 2 ，0)，(0， 1 2，0)， 设 Q（0，t，2） ，设平面 QFG 的法向量 = (，)， 因为 =
15、 (，) (1， 1 2 ，2) = 0， = (，) (0， 1 2 ，2) = 0， 所以 + ( 1 2) + 2 = 0 ( 1 2) + 2 = 0 ，取 y2，解得 = 0， = 1 2 ， 所以，平面 QFG 的一个法向量为 = (0，2， 1 2 )， 因为 = (1，0， 2)，设 DE 与平面 QFG 所成角为 ， 所以， = | | | | = |12| 5(1 2) 2+4， 若 = 1 2，则 sin0；若 1 2，则 = 25 5 1 1+ 4 (1 2) 2 25 5 ， 7 所以 DE 与平面 QFG 所成角的正弦值的取值范围为0， 25 5 ) 11.（1）证
16、明：O 为 BE 的中点，等边BCE 中，OCBE， 又OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，OCOF 又 OFBEO，OF，BE平面 ABE，OC平面 ABE OC平面 BCE，平面 ABE平面 BCE； （2）解：F，O 为中点，OFAE， 又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，OFAB，AEAB ABE 是等腰直角三角形 连接 AO，ABAE= 2，OA1 OABE，OA平面 ABE，平面 ABE平面 BCE；平面 ABE平面 BCEBE OA平面 BCE建立如图所示的空间直角坐标系 A（0，0，1） ，B（1，0，0） ，C（0，3，0） ，E（1，0，0） ， 四边形 ABCD 为平行四边形，设 D（a，b，c） ， = ，（1，3，0）（a，b，c1） ，D（1，3，1） 设平面 ABCD 的一个法向量为 =（x，y，z） ， =（1，0，1） ， =（1，3，0） = =0， x+z0，x+3y0，取 =（3，1，3） 由 C，E，D 的坐标可得CED 的重心 G（2 3， 23 3 ，1 3） ， =（2 3， 23 3 ， 2 3） ， 设直线 AG 与平面 ABCD 所成角为 ，则 sin|cos ， |=| | | | | = 23 725 3 = 3105 35
