1、 【六年级奥数教程】 第 8 讲 工程问题 工程间题是分数摩用题的特倒， 因此解分数应用题的基本思想和解工程问题是一致的， 工程 问题是研究王作效率、王作时间和工作憨量之间相互关系的一类问题它的基本数量关系式是：工作 效率工作越间工作总量在工程问题中，常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用“每天 完成工作量妁几分之几”来表示 例 1 甲、乙两队合修一条公路甲队单独修要 15 天修完，乙队单独修要 20 天修完，现在两 队同时修了几天后， 由甲队单独修了 8 天修完，求乙队修了几天 思维点拨 把公路全长看做单位“1”，从单位“1”中减去甲队 8 天修的，剩下的就是甲、乙两 队同时修的，用剩下
2、的工作量除以甲、乙两队的工作效率之和，等于甲、乙两队合修的天数，也就是 乙队修的天数 来源:Zxxk.Com 例 2 一项工程，甲、乙两队合作 12 天完成，乙、丙两队合作 18 天完成，甲、丙两队合作需 9 天完成，现在三队合作，需多少天完成？ 思维点拨 根据题意， 甲、 乙两队每天完成这项工程的 1 12 ， 乙、 丙两队每天完成这项工程的 1 18 ， 甲、丙两队每天完成这项工程的 1 9 ( 1 12 1 18 1 9 )就是甲、乙、丙三队合作 2 天共完成了这项工 程的几分之几，容易求出甲、乙、丙每天完成这项工程的几分之几，进而求出三队合作完成这项工程 需要多少天， 例 3 一件工作
3、，甲单独完成需要 20 天，乙单独完成需要 15 天，若甲先做若干天后乙接着做， 共用了 18 天完成，求甲工作了多少天 思维点拨 由于甲的工作效率是 1 20 ，乙的工作效率是 1 15 ，甲比乙的工作效率慢，所以 18 天完 不成这件工作用乙的一天工作量换成甲的一天工作量，则每天又可多完成 1 15 1 20 1 60 这样甲 18 天内完不成的工作量里有几个 1 60 ，乙就应替换甲几天，也就是乙工作的时间 例 4 师徒两人合作一件工作，要 20 天完成，如果让徒弟先做 8 天，剩下的工作由师傅单独做， 还要 26 天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？ 思维点拨 这里可以把“徒
4、弟先做 8 天，剩下的工作由师傅单独做，还要 26 天才能完成”转化 为“师徒两人合作 8 天后，师傅再做 26818(天)才能完成”来考虑 例 5 加工一批零件，甲、乙合作 24 天可以完成，现在由甲先做 16 天，然后乙再做 12 天，还 剩下这批零件的 40%没有完成，已知甲每天比乙多加工 5 个零件，求这批零件共有多少个 来源:Zxxk.Com来源:学科网 ZXXK 思维点拨 甲、乙合作的效率和为 1 24 ，“甲先做 16 天，然后乙再做 12 天”可理解为“甲、乙 合作 12 天后，甲再单独做 16124(天)”，这样甲 4 天完成的工作量为 140% 1 24 12 1 10 ，
5、 于是，可以求出甲的工作效率为 1 10 4 1 40 ，乙的工作效率为 1 24 1 40 1 60 ，从而求出 5 个零件 占这批零件的击 1 40 1 60 1 120 . 例 6 一项工程，单独做，甲要 12 小时完成，乙要 9 小时完成如果先由甲干 1 小时，然后乙 接替甲干 1 小时，再由甲接替乙干 1 小时两人如此交替工作，需要几小时完成任务？ 思维点拨 甲的工作效率为 1 12 ，乙的工作效率为 1 9 ，甲工作 1 小时，乙再工作 1 小时，即一个 循环，完成工作量为 1 12 1 9 7 36 由 1 7 36 5 1 7 知，最多可以有 5 次循环，而 5 次循环将完成
6、工作量 7 36 5 35 36 ，还剩下 1 35 36 1 36 的工作量，剩下的工作量由甲做， 还需要 1 36 1 12 1 3 (小时)来源:学_科_网 课内练习 1一项工程，甲单独完成需要 8 天，乙单独完成需要 12 天现在甲、乙两人合作若干天后，乙 有事请假，由甲单独干了 3 天完成，甲共干了多少天？ 2一件工作，甲、乙两人合作需 24 天完成，乙、丙两人合作需 40 天完成，甲、丙两人合作需 30 天完成，若由甲、乙、丙独做，各需多少天完成？ 3一项工程，甲独做要 30 天完成，乙独做要 20 天完成，若由甲做了若干天后，由乙继续做完， 从开始到完工共用了 26 天，求甲、乙
7、两人各做了多少天， 4一件工作，甲、乙两人合作 30 天完成如果甲单独做 20 天后，乙再加入工作，两人合作 12 天后，甲因事离开，由乙继续做了 15 天才完成，这件工作如果由甲单独完成，需要多少天？ 5修一条公路，甲、乙两队合修需 12 天完工，现在由甲队先修 8 天，然后由乙队再工作 6 天， 还剩下这条路的詈没有修，剩下的路由甲队修，还需要多少天？ 6一件工作，由甲单独做要 14 小时完成，乙单独做要 20 小时完成如果按甲先乙后，每人每 次 1 小时轮流工作，需要多少小时完成任务？ 来源:学科网 课外作业 1一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由
8、乙继续做了 60 天才完成，如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 2一项工程，甲、乙两队合作需 30 天完成，乙、丙两队合作需 40 天完成，丙、丁两队合作需 120 天完成甲、丁两队合作需多少天完成？ 3一件工作，甲独做要 50 天完成，乙独做要 60 天完成现在甲、乙两人合作，乙中途休息了 若干天，到完成工作时，用了 30 天，求乙中途休息了几天 4一条公路，甲、乙两队同时修 5 天可以修完，乙、丙两队同时修 4 天可以修完，如果甲、丙 两队同时修 2 天，还需乙队修 6 天才能修完若乙队独修几天可以修完？ 5王师傅和张师傅共同加工一批零件需 30 天完成，王师傅先干 22 天，两人
9、再合作 12 天，剩下 的张师傅单独还要干 16 天才能全部完成，又知王师傅每天比张师傅少加工 14 个零件问：照这样， 完成任务时，张师傅共做了多少个零件？ 6蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 3 小时，单开 丙管需 5 小时，要排光一池水，单开乙管需要 4 小时，单开丁管需要 6 小时现在池内有 1 6 池水如 果按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开 1 小时，问：多少小时后水开始溢出水池？ 7修一条公路，甲队独修 24 天完成，乙队独修 30 天完成，甲、乙两队合修若干天后，乙队停 工休息，甲队继续修了 6 天完成，乙队修了多少天？ 8师徒两人加工一
10、批零件，由师傅独做需 37 小时完成，徒弟每小时能加工 30 个零件现在师 徒两人同时加工，完成任务时徒弟加工的个数是师傅的 5 9 ，这批零件共有多少个？ 9一项工程，甲、乙合作 6 天能完成工程的 1 2 ，若单独做，甲完成总工程的 1 3 与乙完成总工程 的 5 6 所需的时间相等，甲、乙单独做各需要多少天？ 10.一水池，甲、乙两管同时开 5 小时放满，乙、丙两管同时开 4 小时放满现在先开乙管 6 小 时，还需要甲、丙两管同时开 2 小时才能将水池放满乙单独开多少小时可以放满水池？ 你知道吗 九章算术是中国古代的一部数学专著现传本九章算术的成书年代大约是公元一世 纪后世的数学家大都是
11、从九章算术开始学习和研究数学的许多人曾为它作过注释，最著名的 有刘徽、李淳等人 九章算术共收有 246 个数学问题，分为九章，萁中绝大多数内容与当时的社会生活密切 相关它在数学方面的成就是多方面的，在算术、几何、代数诸方面均有很多贡献 在唐、宋两代， 九章算术是国家规定的教科韦在北宋，还由政府进行过印刷，这是世 界上最早的印刷本数学书， 九章算术在隋唐时期传入日本、朝鲜，现已被译成曰、俄、德、法等多种文字 第 8 讲工程问题 培优教程 例 1 甲队单独修路要 15 天完成，则甲队每天完成工程的 1 15 ，乙队单独修路要 20 天完成，则 乙队每天完成工程的 1 20 根据题意，两队合修的时间
12、为 (1 1 15 8)( 1 15 1 20 ) 7 15 7 60 7 15 60 7 4(天) 所以乙队修了 4 天， 例 2 甲、乙、丙三队合作 1 天完成的工程份额为( 1 12 1 18 1 9 )2， 所以三队合作完成这一工程所需的时间为 1( 1 12 1 18 1 9 )2 1( 1 4 2) 8(天) 所以甲、乙、丙三队合作需 8 天完成， 例 3 甲每天完成工作的 1 20 ， 乙每天完成工作的 1 15 ， 设甲先工作了 x 天后乙接着做， 共用了(18 x)天完成，根据题意，有 (1 1 20 x) 1 15 18x， 20 20 x 1518x， 603x724x,
13、 x12 18x6 所以甲工作了 12 天，乙工作了 6 天 例 4 问题转化为师徒合做 8 天后，师傅还要做 26818(天)完成， 师徒合做 8 天，完成工作的 1 20 8 8 20 ，还余下 1 8 20 12 20 3 5 未完成，未完成的 3 5 工 作师傅要 18 天完成，师傅每天完成的工作是整个工作的 3 5 18 1 30 . 所以师傅单独完成这项工作要 1 1 30 30(天) 例 5 甲、乙合做 1 天可完成这批零件的 1 24 ，合做 12 天完成这批零件的 1 24 12 1 2 50% 由题意可知，甲做 4 天完成这批零件的 140%50%10% 1 10 .因此，
14、甲做 1 天完成这批 零件的 1 10 4 1 40 ，乙做 1 天完成这批零件的 1 24 1 40 1 60 ，由此可见，甲每天比乙多做 5 个零 件，占这批零件的( 1 40 1 60 )，所以这批零件共有 5( 1 40 1 60 ) 5 1 120 600(个) 例 6 甲做 1 小时，然后乙接着做 1 小时，这样 1 个循环完成这项工程的 1 12 1 9 7 36 ，则这项 工程可进行 1 7 36 5 1 7 ，即 5 次循环，而 5 次循环完成这样工程的 7 36 5 35 36 ，还剩下 1 36 的工 程由甲去完成，甲还需要 1 36 1 12 1 3 (小时) 所以两人
15、交替工作完成这项工程需要的时间为 25 1 3 10 1 3 (小时) 针对性训练 课内练习 1(1 1 8 3)( 1 8 1 12 )3(天)，336(天)，故甲共干了 6 天 2甲、乙、丙合作的工作效率： ( 1 24 1 40 1 30 )2 1 20 丙需要 1( 1 20 1 24 )120(天)， 甲需要 1( 1 20 1 40 )40(天)， 乙需要 1( 1 20 1 30 )60(天) 3甲：( 1 20 261)( 1 20 1 30 )18(天)， 乙：26188(天) 41(1 1 30 27)(2015)50(天) 5甲队的工作效率是 (1 2 5 1 12 6)
16、2 1 20 ， 甲队还需工作的天数是 2 5 1 20 8(天) 6甲、乙一个循环的工作量为 1 14 1 20 17 140 ，1 17 140 8 4 17 ，即最多有 8 个循环，8 个循 环后还剩下 1 17 140 8 1 35 ，剩下的由甲做还需 1 35 1 14 2 5 (小时)，所以共要 28 2 5 16 2 5 (小时) 课外作业 1乙：1(1 1 30 6)6075(天)， 甲：1( 1 30 1 75 )50(天) 21( 1 30 1 120 1 40 )1 1 60 60(天) 3.30(1 1 50 30) 1 60 6(天) 4把“甲、丙合修 2 天，乙修
17、6 天”转化为“甲、乙合修 2 天，乙、丙合修 2 天，乙修 2 天” 1(1 1 5 2 1 4 2)(622)20(天) 5两人的效率和为去，实际上，王师傅干了 221234(天)，张师傅干了 121628(天)，所 以两人合作干了 28天， 王师傅又单独干了 34286(天)， 所以王师傅的工作效率为(1 1 30 28)6 1 90 ，张师傅的工作效率为 1 30 1 90 1 45 ，这批零件共有 14( 1 45 1 90 )1260(个)，张师傅每 天做 1260 1 45 28(个)，所以张师傅共完成 28(1216)784(个) 6甲、乙、丙、丁各开 1 小时，水池水就会增加
18、 1 3 1 4 1 5 1 6 7 60 ，因为( 2 3 1 6 ) 7 60 4 2 7 ，所以甲、 、丁这样循环 4 次后 ( 1 6 7 60 4 19 30 2 3 )，水池中的水还不到 2 3 ，循环 5 次后， 水池中的水已有 1 6 7 60 5 3 4 ， 这样， 再开甲管(1 3 4 ) 1 3 3 4 (小时)后， 水就开始溢出了 轮 流一次需要 4 小时，总共需要 45 3 4 20 3 4 (小时) 7(1 1 24 6)( 1 24 1 30 )10(天) 8徒弟加工的个数是师傅的 5 9 ，那么师傅加工的个数是总数的 9 95 9 14 师傅加工的时间为 9 1
19、4 1 37 ，徒弟每小时加工 30 个，师傅每小时加工 30 9 5 54(个)这批零件共有 9 14 1 37 (30 54)1998(个) 9甲、乙两人的工作效率之比为 1 3 ： 1 2 2：3，由甲、乙合作 6 天完成工程的 5 6 ，可知甲、乙 合作1天完成工程的 5 6 6 5 36 .甲1天完成工程的 5 36 2 23 1 18 ， 乙1天完成工程的 5 36 3 23 1 12 甲独做需 1 1 18 18(天)， 乙独做需 1 1 12 12(天) 所以单独完成这项工程，甲需 18 天，乙需 12 天 10.“先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时”，可以设成“甲、乙合开 2 小时，乙、 丙合开 2 小时，乙再单独开 2 小时” (1 1 5 2 1 4 2)(622) 1 20 ， 1 1 20 20(小时) 乙单独开要 20 小时将水池放满
