1、第 1 页 共 4 页 20212021 届高三上学期期末届高三上学期期末四四校联考校联考 数学试题数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的. . 1已知集合2, 1,0,1,2A ， 2 1,By yxxA，则AB （ ） A B1,2 C2,0,2 D2, 1,1,2 2 当复数 2021 1 1 = ai i ai 时， 实数a的值可以为 （ ） A0 B1 C1 D1 3.2020年12月30日，国家药品监
2、督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任 公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero细胞）注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用 于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（19COVID）.2021年1月3日，北京市人民政府新闻办公室召 开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在1859岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临 床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下2 2列联表： 能接种 不能接种 总计 18 59岁内 40 20 60 18 59岁外 20 30 50 总计 60 50 110 附： 2 2 n acbd K a
3、bcdacbd ，其中na b cd ； 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表， 得到的正确结论是 （ ） A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关” B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关” C有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关” D有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关” 4 函数 2 22 ( ) ln1 xx f x xx 的图象大致为 （ ） A B C D 5.设随机变量,1N， 函数 2 2f xxx没有零点的概率是0.5， 则01P（ ） 附：若 2 ,
4、N ，则0.6826PX，220.9544PX. A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.3413 第 2 页 共 4 页 6.在探索系数, , ,Ab 对函数sin0,0yAxb A图象的影响时，我们发现，系数A对 其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换” ；系数对其影响是图象上所有点的 横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换” ；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为 “左右平移变换” ；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上 述四种变换，若函数 sinf xx的图象经过四步变换得到函数 2sin 21 3
5、g xx 的图象，且已 知其中有一步是向右平移 3 个单位， 则变换的方法共有 （ ） A6种 B12种 C16种 D24种 7俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代 著名的 “黑鹰” 直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年， 为了远程性和安全性上与美国波音747竞争， 欧洲空中客车公司设计并制造了340A，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动 机的310A.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 340A飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；310A飞机需要2个引擎全部正
6、常运行，飞机 才能成功飞行.若要使340A飞机比310A飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是 （ ） A 2 ,1 3 B 1 ,1 3 C 2 0, 3 D 1 0, 3 8已知数列 n a满足 2* 1 1 nnn aaanN ，设 12 111 n n S aaa ，且 10 9 10 23 1 a S a ，则数列 n a的首项 1 a的值为 （ ） A 2 3 B1 C 3 2 D2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
7、. .全部全部 选对的得选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分分. . 9.2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”， 全国各地房价“跳水”严重， 但某地二手房交易却“逆市” 而行.下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的 散点图.（图中月份代码1 13分别对应2019年12月2020年12月） 根据散点图选择yab x和lnycdx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别 为 0.93690.0285yx 和0.95540.0306lnyx，并得到以下一些统计量的
8、值： 0.93690.0285yx 0.95540.0306lnyx 2 R 0.923 0.973 注：x是样本数据中x的平均数，y是样本数据中y的平均数， 则下列说法正确的是 （ ） A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系 B由 0.93690.0285yx 预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C曲线 0.93690.0285yx 与0.95540.0306lnyx都经过点, x y D模型0.95540.0306lnyx回归曲线的拟合效果比模型 0.93690.0285yx 的好 第 3 页 共 4 页 10.若 2 2 012 1+ 1+ 1 n n
9、n xxxaa xa xa xLL， 且 121 125 n aaan ，则下列结论正确的是 （ ） A6n B12 n x展开式中二项式系数和为729 C 2 1+ 1+ 1 n xxxL展开式中所有项系数和为126 D 123 23321 n aaana 11.已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点,A B，且, 4 p Aa ， 3 2 AF .下列结论正确的是 （ ） A4p B 2a C3BF DAOB的面积为 3 2 2 12.若函数 f x是连续的平滑曲线，且在 , a b上恒非负，则其图象与直线,xa xb x轴围成的封闭图 形面积称为( )
10、f x在 , a b上的“围面积”.根据牛顿-莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数( )F x满 足( )( )F xf x， 则 F bF a的值为( )f x在 , a b上的围面积.下列围面积计算正确的有 （ ） A.函数 3 f xx在0,1上的围面积为 1 4 B.函数 2xf x 在0,2上的围面积为 2 ln 2 C.函数 2 cosf xx在0, 4 上的围面积为 1 48 D.函数 lnf xx在 2 , e e 上的围面积为 2 e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.在四边形ABCD中
11、，8AB.若 31 44 DACACB，则AB CD 14.在平面直角坐标系xOy中，设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，若双曲线的右支上 存在一点P，使得OPF是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 15.在ABC中，已知1AC ，A的平分线交BC于D，且1AD ，2BD ， 则ABC的面积为 16.矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体DABC，则 该四面体外接球的体积为 ； 设二面角DACB的平面角为， 当在, 3 2 内变化时，BD 的范围为 （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共四
12、、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.（本小题满分 10 分） 在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C所对的边.在(2)coscosacBbC；3=2 ABC BA BCS； sinsin()3 3 BB 这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角的值；B 第 4 页 共 4 页 （2）若ABC为锐角三角形，且1b，求ABC的面积的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x(单位：万元/吨)对月销售量y(单位：吨)有影响
13、对不 同定价 i x和月销售量1,2,.8 i y i 数据作了初步处理， x y z 8 1 2 i i x 8 1 2 i i z 8 1i iiy x 8 1i iiy z 0.24 43 9 0.164 820 68 3956 表中 x z 1 经过分析发现可以用 x b ay来拟合y与x的关系. （1）求 y关于x的回归方程； （2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的 月利润. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估 计分别为： 11 2 2 2 11 ()() () nn iii i ii nn ii ii vn
14、vvv n ， v 19.（本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足3 1 a，2 1 b，12 22 ba，3 33 ba. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）将 n a和 n b中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 n c，求数列 n c的前100项和 100 S. 20.（本小题满分 12 分） 在多面体ABCDE中， 平面ACDE平面ABC， 四边形ACDE为直角梯形， /CDAE，AEAC ，BCAB，1CD，2AEAC，F为DE的 中点，且点E满足EGEB4. （1）证明：/GF平面ABC. （2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角D
15、BEA的余弦值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 0 ln ax f xa x （1）当函数 f x在 1 x e 处的切线斜率为2时，求 f x的单调减区间； （2）当1x 时， ln ln x x x a f x ex ，求a的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的离心率为 1 2 ，且过点)3 , 2(A，右顶点为B. （1）求椭圆C的标准方程； 11 (,)v 22 (,)v(,) nn v v 第 5 页 共 4 页 （2） 过点A作两条直线分别交椭圆于点NM,， 满足直线ANAM,的斜率之和为3， 求点B到直线
16、MN 距离的最大值. 第 6 页 共 4 页 20212021 届高三上学期期末届高三上学期期末四四校联考校联考 数学答案数学答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A B B C C BD ACD BCD ACD 二、填空题二、填空题 13.16 14.35（或 210 2 ） 15. 3 7 8 16. 4 3 ； 710 , 22 三、解答题三、解答题 17.解： （1）选 由正弦定理得：2sincossincossincosCABCBB 2sincossinABA 2 分 0,sin0AA 1 cos 2 B 3 分 0
17、, 3 BB 4 分 选 32 ABC BA BCS 1 3cos2sin 2 acBacB sin3cosBB 2 分 0,sin0cos0BBB 3 B 4 分 选 13 sinsincos3 22 BBB 31 sincos1 22 BB sin1 6 B 2 分 7 0, 666 BB 623 BB 4 分 （2）由正弦定理得： 2 sinsinsin3 abc ABC 22 sin,sin 33 aA cC 5 分 112 sinsinsin 233 SacBAA 6 分 33 sin 2 6612 A 8 分 第 7 页 共 4 页 锐角三角形ABC 0 2 262 0 32 A
18、A CA 9 分 5 2, 666 A 33 , 64 S 10 分 18.解： （1）令 1 z x ，则yab z 则 8 1 82 2 1 2 39568 9 43 5 8208 9 8 8 ii i i i z yzy b zz 3 分 2ayb z 5 分 5 2y x 6 分 （2）月利润 58 1.621.68.22yxxx xx T 9 分 8 8.22 20.2x x 10 分 （当且仅当 8 2x x 即2x时取等号） 11 分 答： （1）y关于x的回归方程为 5 2y x ； （2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元.12 分 19.解
19、： （1）由 22 32 2144 3223 dqdq dqaq 2 分 2,4qd 4 分 41,2n nn anb 6 分 （2）当 n c的前100项中含有 n b的前7项时，令 8 41225664.25nn 此时至多有64 771项（不符） 7 分 当 n c的前100项中含有 n b的前8项时，令 9 412512128.25nn 则 n c的前100项中含有 n b的前8项且含有 n a的前92项 9 分 8 100 2 1 2 92 91 92 341702051017530 21 2 S 12 分 20.解： （1）分别取EBAB,中点NM,，连结NDMNCM,. 在梯形AC
20、DE中，EADC/且EADC 2 1 ，且NM,分别为BEBA,中点 EAMNEAMN 2 1 ,/ 第 8 页 共 4 页 CDMNCDMN,/ 四边形CDNM是平行四边形 DNCM / 2 分 又EBEG 4 1 ，N为EB中点，G为EN中点，又F为ED中点 DNGF/ 3 分 CMGF/ 4 分 又CM平面ABC，GF平面ABC /GF平面ABC 6 分 （2）在平面ABC内，过B作ACBH 交AC于H. 平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ACABC ， BH平面ABC，ACBH ， BH平面ACDE 7 分 BH即为四棱锥ACDEB的高， 又底面ACDE面积确定， 所以要使多面体
21、ABCDE体积最大， 即BH 最大，此时 2ABBC 8 分 过点H作AEHP/，易知HPHCHB,两两垂直， 以HPHCHB,为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系xyzH 则) 1 , 1 , 0(),2 , 1, 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 1, 0(DEBA ) 1 , 2, 0(),2 , 1, 1(),0 , 1 , 1 (DEBEAB 设),( 1111 zyxn 为平面ABE的一个法向量，则 0 0 1 1 BEn ABn ，所以 02 0 111 11 zyx yx ，取 )0 , 1, 1 ( 1 n 9 分 设),( 2222 zyxn 为平面DBE的一个法
22、向量，则 0 0 2 2 BEn DEn ，所以 02 02 222 22 zyx zy ，取)2 , 1 , 3( 2 n 10 分 所以 7 7 | ,cos 21 21 21 nn nn nn， 11 分 由图，二面角DBEA为钝二面角，所以二面角DBEA的余弦值为 7 7 .12 分 21.解： （1） ln ax f x x 定义域为 0,11, 1 分 因为 2 ln1 ln ln axx fxa x x 所以 f x在 1 x e 处的切线斜率为2a 所以1a 2 分 所以 ln x f x x ， 2 ln1 ln ln xx fx x x 令 0fx ，则xe 3 分 第 9
23、 页 共 4 页 x 0,1 1,e e , e fx 0 f x 极小值e 由表可知： f x的单调减区间为0,1和1,e 5 分 （2）由题 ln ln x x x a f x ex 对任意), 1 ( x恒成立 所以lnln x aexa对任意), 1 ( x恒成立 方法一：所以 ln lnln a x eaxxx 对任意), 1 ( x恒成立 所以 lnln lnln a xx eaxex 对任意), 1 ( x恒成立 7 分 令 x g xex 则lnlngaxgx对任意), 1 ( x恒成立 因为 10 x g xe 所以 g x在R上单调增 所以lnlnaxx对任意), 1 (
24、x恒成立 9 分 所以 max lnln1axxx 10 分 令 ln1h xxx x 因为 11 10 x gx xx 所以 g x在(1,)上单调减 所以 11g xg 所以ln1a即 1 a e 12 分 方法二：设) 1(lnln)(xaxaexh x ， 则0 1 )( 1 )( 2 x aexh x aexh xx ， 所以)( xh在), 1 ( 单调递增，又1) 1 ( aeh 7 分 若 e a 1 ，则0) 1 ( h，所以0)( xh恒成立，所以)( xh在), 1 ( 单调递增， 又011ln) 1 (aaeh，所以0)(xh恒成立，符合题意. 10 分 若 e a 1
25、 0，则011ln) 1 (aaeh，不符合题意，舍去. 11 分 综上所述， e a 1 . 12 分 22.解： （1）由题 222 22 4 1 2 3 2 2 49 1 bca a c b a c ab 3 分 所以C的标准方程为1 1216 22 yx 4 分 第 10 页 共 4 页 （2）若直线MN斜率不存在，设),(),( 0000 yxNyxM，则 0 4 3 2 3 2 3 1 1216 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 y x x y x y yx ，此时NM,重合，舍去.5 分 若直线MN斜率存在，设),(),( 2211 yxNyxMtkxyMN，：， 联立 t
26、kxy yx 1 1216 22 得04848) 34( 222 tktxxk， 所以 34 484 , 34 8 2 2 21 2 21 k t xx k kt xx 7 分 由题3 2 3 2 3 2 2 1 1 x y x y ，即3 2 3 2 3 2 2 1 1 x tkx x tkx 化简得. 0244)(92() 32( 2121 txxktxxk 8 分 因此. 0244) 34 8 )(92( 34 484 ) 32( 22 2 t k kt kt k t k 化简得06868 22 tktktk 即0)24)(32(tktk 10 分 若032tk，则32 kt，直线MN过点)3 , 2(A，舍去， 所以024tk，即24 kt，因此直线MN过点)2, 4( P.11 分 又点)0 , 4(B，所以点B到直线MN距离最大值即2BP, 此时2yMN：，符合题意. 所以点B到直线MN距离最大值为2 12 分
