1、2021 届高三八省联考数学预测模拟卷届高三八省联考数学预测模拟卷 B 卷卷 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知i是虚数单位，若 3 i 2i a z 是纯虚数，则实数a ( ) A.1 B. 1 2 C. 1 2 D.2 2.已知集合 2 20, |Ax xxxZ，|2, x By yxA，则AB( ) A. 1 B.0,1,2 C. 1 ,1,2,4 2 D.0,1,2,4 3.函数 4 8ln ( ) e
2、e xx x x f x 的图象大致为( ) A. B. C. D. 4.过抛物线 2 8xy的焦点F的直线交抛物线于, A B两点，O为坐标原点，若 |1 |2 AF BF ，则 AOB的面积为( ) A.3 2 B.12 2 C.6 2 D.9 2 5.“ln2ln10ab”是“1 a b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 6.如图， 在ABCV中，2,3,ABACBC边的垂直平分线分别与,BC AC交于点,D E， 若P 是线段DE上的动点，则PA BC uur uuu r 的值( ) A.与角A有关，且与点P的位置有关 B
3、.与角A有关，但与点P的位置无关 C.与角A无关，但与点P的位置有关 D.与角A无关，且与点P的位置无关 7.在等差数列 n a中，若 9 8 1 a a ，且它的前n项和 n S有最小值，则当0 n S 时，n的最小值 为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 8.已知函数( )sin(2)f xx，其中为实数，若 ( ) 4 f xf 对任意的xR恒成立，且 0 6 f ，则 f x的单调递减区间是( ) A. , , 4 kkk Z B. , , 44 kkk Z C. 3 , , 44 kkk Z D. , , 2 kkk Z 二二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小
4、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多多项符项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选分，部分选对的得对的得 3 分分. 9.我国网络购物市场保持较快发展，某电商平台为了精准发展，对某地区市场的N个人进行 了调查，得到频率分布直方图如图所示，将调查对象的年龄分组为20,25，25,30， 30,35，35,40，40,45，45,50，50,55.已知年龄在25,30内的调查对象有 6 人， 则下列说法正确的是( ) A.N为 40 B.年龄在30,35内的调查对象有
5、12 人 C.调查对象中，年龄大于 35 岁的频率是 0.1 D.调查对象的年龄的中位数为 35 岁 10.已知四边形ABCD为正方形，GD 平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为 正方形，点H为BF的中点.以下结论正确的是( ) A.DEBF B.EF与CH所成角为 60 C.EC 平面DBF D.BF与平面ACFE所成角为 45 11.在平面上给定相异两点, A B，设点P在同一平面上且满足 | | PA PB (其中 是正常数， 且1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.下列结论正确的是( ) A.阿波罗尼斯圆的圆心C恒在x轴上 B., A B始终在阿波罗尼斯圆内
6、C.当01时，阿波罗尼斯圆的圆心C在点A的左边 D.当1时，点A在阿波罗尼斯圆外，点B在圆内 12.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，( )e (1) x f xx，则下列结论正确 的是( ) A.当0 x 时，( )e (1) x f xx B.函数 f x有 3 个零点 C. 0f x 的解集为, 1()0,1 D. 12 ,x xR，都有 12 2f xf x 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若 sin2(sin2cos) 4 ，则sin2_. 14.若二项式 * 2 n xn x N的展开式中存在
7、常数项，则n的最小值为_. 15.袋中有 6 个黄色的乒乓球，4 个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次， 则第二次才能取到黄球的概率为_. 16.如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，点Q是BC的中点，点,M N分别在线段,AB CD 上移动(M不与, A B重合，N不与,C D重合)， 且M NB CP， 沿着MN将四边形AMND折 起， 使得二面角DMNQ为直二面角， 则三棱锥DMNQ体积的最大值为_； 当三棱锥DMNQ的体积最大时，其外接球的表面积为_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）在 3coscoscossinC aBbAcC ， sinsin 2 AB acA ， 2sin2sin2 sinabAbaBcC 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解 答. 已知 ABC 的角 , ,A B C对边分别为, ,a b c， 3c ，而且_. (1)求 C ； (2)求 ABC 周长的范围. 18. （12 分）已知等差数列 3 log n a的首项为 1，公差为 1，等差数列 n b满足 2 (1)2 n nbnnk. (1)求数列 n a和数列 n b的通项公式； (2)若 n n n b c a ，求数列 n
9、c的前 n项和 n S. 19. （12 分） 一研学实践活动小组利用课余时间对某公司 1 至 5 月份销售某种产品的销售量 及销售单价进行了调查，月销售单价x(单位：元)和月销售量y(单位：百件)之间的关系 如下表所示： 月份i 1 2 3 4 5 月销售单价x/元 1.6 1.8 2 2.2 2.4 月销售量y/百件 10 8 7 6 4 (1)根据 1 至 5 月份的数据，求出y关于x的回归方程； (2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本 是 1 元/件，该产品的月销售单价应定为多少元，才能获得最大月利润?(注：利润=销售收入 成本) 附：回
10、归方程ybxa $ 中 1 2 2 1 , n ii i n i i x ynxy baybx xnx . 参考数据： 55 2 11 67.2,20.4 iii ii x yx . 20.（12 分）已知四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 2, 3 ABAABADACBDO AO平面 11 , ,ABD A BAD. (1)证明： 1 B C P平面 1 A BD； (2)求二面角 1 BAAD的余弦值. 21.（12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长与焦距分别为方程 2 680 xx的两个 实数根. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l
11、过点4,0M 且与椭圆相交于, A B两点，F是椭圆的左焦点，当ABFV的面 积最大时，求直线l的斜率. 22.（12 分）设 2 ( )ln(21) ,f xxxaxax aR. (1)令 g xfx，求 g x的单调区间； (2)已知 f x在1x 处取得极大值，求实数a的取值范围. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：由于 3 ii(i)(2i)(21)(2)i 2i2i(2i)(2i)5 aaaaa z 为纯虚数，则 210, (2)0aa ，得 1 2 a ，故选 B. 2.答案：B 解析：解不等式 2 20 xx，得12x ，所以集合 2 |20,0,1Ax xxxZ，
12、|2,1 2, x By yxA，所以0,1,2AB.故选 B. 3.答案：A 解析：函数的定义域为|2 0 2xxxx R且且， 44 8ln8ln ()( ) eeee xxxx xx xx fxf x ，则函数( )f x为偶函数，其图象关于y轴对称，排 除 B，D；当x时，易知( )0f x 且( )0f x ，故排除 C，选 A. 4.答案：C 解析：解法一 依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为2ykx.联立方程得 2 8 , 2, xy ykx 得 2 8160 xkx，所以16 AB x x .又 |1 |2 AF BF ，所以2 BA xx ，得 2 2, 4 2 A
13、 B x x 或 2 2, 4 2. A B x x 从而 1 |6 2 2 AOBBA SOFxx V .故选 C. 解法二 由 |1 , |2 1121 , |2 AF BF AFBFp 解得 | 3, | 6, AF BF 所以 |23, |26, A B AFy BFy 由此解得 1, 4, A B y y 则 2 2, 4 2 A B x x 或 2 2, 4 2. A B x x 从而 1 |6 2 2 AOBBA SOFxx V .故选 C. 5.答案：A 解析：由ln(2)ln(1)0ab，得 20, 10, 21, a b ab 得1ab，1 a b ，故充分性成立；反 之，
14、由1 a b ，不一定得ln(2)ln(1)0ab，如2,1ab，故必要性不成立. “ln(2)ln(1)0ab”是“1 a b ”的充分不必要条件.故选 A. 6.答案：D 解析：因为DPBC，所以0DP BC uuu r uuu r .依题意得 ()PAAPABBDDP uuruu u ruuuruuu ruuu r 11 () 22 ABBCDPABACABDP uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 11 22 ABACDP uuu ruuu ruuu r ，所以 111 () 222 PA BCABACDPBCABACBCDP BC uur uuu r
15、uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r 22 11 () ()0 22 ABACACABACAB uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 22 15 32 22 .所以PA BC uur uuu r 的值与 角A无关，且与点P的位置无关.故选 D. 7.答案：C 解析：Q数列 n a是等差数列，它的前n项和 n S有最小值，公差0d ，首项 1 0, n aa 为递增数列.又 9 8989 8 1,0,0 a aaaa a ，得 8 0a .由等差数列的性质知， 811589116 20,0aaaaaaa. 1 , 2
16、 n n n aa S Q当0 n S 时，n的最小值为 16. 8.答案：C 解析：由题意可得函数( )sin(2)f xx的图象关于直线 4 x 对称，故有 11 2, 42 kkZ，即 11 ,kkZ.又 sin0 63 f ，所以2 ,nnZ， 故( )sin(22 )sin2f xxnx.令 3 2 22 , 22 kxkkZ，解得 3 , 44 kxkkZ，故函数 ( )f x的单调递减区间为 3 , , 44 kkk Z. 9.答案：ABD 解析：根据题意，知调查对象年龄在25,30内的频率为0.03 50.15，所以 6 40 0.15 N ， 故 A 正确.年龄在30,35内
17、的频率是10.01 20.020.03 20.04() 50.3， 所以年龄在 30,35内调查对象的人数是40 0.312，所以 B 正确.由频率分布直方图可知，调查对象 的年龄大于 35 岁的频率为0.040.030.020.0150.5 ，故 C 错误，D 正确.故选 ABD. 10.答案：ABC 解析： 连接AG， 易知,BFAG DEAGP， 得D EB F， 故 A 正确； 由,CHDE DEP与EF 所成角为 60，得到EF与CH所成角为 60，故 B 正确；易知 ,ECDB ECDF DBDFD，得EC 平面DBF，故 C 正确；过B作BMAC， 垂足为M，连接MF，则MFB为
18、BF与平面ACFE所成的角，在Rt BMFV中，易知 BMMF，故45MFB，故 D 错.故选 ABC. 11.答案：ACD 解析：以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设 (,0), ( ,0), ( , )AaB aP x y，其中a为正常数.因为动点P满足 | | PA PB (其中 是正常数， 且1)，所以 2222 ()()xayxay，化简得 2 222 2 21 0 1 a xxay ，即 2 22 2 2 22 2 2 2 11 2 111 aa a xya ，所以该圆的圆心C的坐标为 2 2 1 ,0 1 a ，半径 2 2 1 a r .显然圆心恒在
19、x轴上，故 A 正 确. 2 2 22 1 2 () 11 a a a ，显然当01时， 2 2 2 0 1 a ，所以 2 2 1 1 a a ，此时 圆心C在点A的左边，故 C 正确.当1时， 2 222 222(1) |0 111 aaa ACr ， 因为 2 22 1 2 | | 11 a a BCa ， 所以 222 222 (1) |0 111 aaa BCr ， 所以点A 在圆外，点B在圆内，故 D 正确，B 不正确.故选 ACD. 12.答案：BCD 解析：对于 A，当0 x 时，0 x ，所以()e (1) x fxx ，又 ( )f x是定义在 R上的奇 函数，故( )()
20、e (1) x f xfxx ，因此 A 不正确.对于 B，易知函数( )f x有 3 个零点，为 1,0,1，因此 B 正确.对于 C，( )0f x 等价于 0, e (1)0 x x x 或 0, e(1)0, x x x 解得1x 或 01x，故 C 正确. 对于 D，当0 x 时，( )e (1),( )e (2) xx f xxfxx，令)(0fx ，得20 x ，则( )f x 在( 2,0)上单调递增， 令)(0fx ， 得2x ， 则( )f x在(, 2) 上单调递减.则在(,0)上， ( )f x的值域为 2 e ,1 .同理可知在(0,)上( )f x的值域为 2 1,
21、e ，故( )f x的值域为 22 e ,11,e ，故 12 ,x xR，都有 12 2f xf x.因此 D 是正确的. 13.答案： 3 5 解析： sin2(sin2cos),sin3cos0 4 Q，故tan3 ， 2222 2sincos2tan63 sin22sincos sincostan1( 3)15 . 14.答案：3 解析： * 2 n xn x N的展开式的通项 3 2 1 2 CC( 2) nr n r rn r rrr n Txx x ，令 3 0 2 nr，解得 3 2 nr，其中0,1,2,rnL，当2r 时，3n ，所以n的最小值为 3. 15.答案： 4 1
22、5 解析：记“第一次取到白球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，“第二次才取到黄 球”为事件 C，所以 | 464 10915 P CP ABP AP B A. 16.答案： 1 3 ；5 解析：因为四边形ABCD是正方形，MNBCP，所以DNMN.又翻折后平面ADNM 平 面MNCB，所以DN 平面MNCB.设(02)DNxx，则2CNx，则三棱锥DMNQ 的体积 2 11(2)(2)1 323123 xxxx VMN CN DN ，当且仅当1x 时取等号，所以当 1x 时三棱锥DMNQ的体积最大，且最大值为 1 3 .当三棱锥DMNQ的体积最大时， 1DNNC，此时2QMQN.因为
23、2MN ，所以 222 QMQNMN，则MQNQ. 因为DN 平面MNCB，所以DNMQ，又NQDNN，所以MQ 平面DNQ，所以 MQDQ，因此DM的中点到三棱锥DMNQ各个顶点的距离都相等，所以DM的中点 即三棱锥DMNQ外接球的球心，此时外接球的直径25RDM，所以外接球的表面积 2 45SR. 17. 解析：(1)选： 由正弦定理得 3cossincossincossinsinCABBACC 即： 3cossinsinsinCABCC 因为sin 0,tan3,CC 因为 0, , 3 CC 选： 由正弦定理得 sinsinsinsin, 2 C ACA 因为sin0,cossin2s
24、incos 222 cCC AC 因为cos0 2 C ，所以 1 sin 22 C ， 因为 0, , 3 CC 选： 因为 2sin2sin2 sinabAbaBcC ， 所以 2 222ab aba bc ，即 222 abcab ， 所以 222 1 cos 22 abc C ab ， 因为0 C ，所以 3 C ； (2)由(1)可知： 3 C ， 在ABC中，由余弦定理得 22 2cos3ababC ，即 22 3abab ， 所以 2 2 3 33 4 ab abab ， 所以 2 3ab ，当且仅当a b 时等号成立， 所以 3 3abc ，即ABC周长的最大值为3 3. 又因
25、为 3abc ，所以 ABC 周长的取值范围为2 3 3 3 ， 18. 解析：(1)由题意可知， 3 log1 (1) 1,3n nn anna . 2 123 3815 (1)2, 234 n kkk nbnnkbbb Q. 又数列 n b为等差数列， 213 2bbb，即 8315 2 324 kkk ，解得1k ， 1 n bn. (2)由(1)知， 2 1231 , 3333 n nn nn n bnn cS a L， 则 231 1231 3333 n n n S L， 可得 2311 221111525 33333362 3 n nnn nn S L， 525 44 3 n n
26、n S . 19. 解析：(1) 1.61.822.22.4108764 2,7 55 xy . 5 1 5 2 2 1 5 67.2527 7 20.454 5 ii i i i x yxy b xx ， 77221aybx， 回归方程为721yx $ . (2)设该产品的月利润为z百元， 则1zxy， 22 (1)( 721)728217(2)7zxxxxx . 当2x 时，z取得最大值，且 max 7z， 该产品的月销售单价应定为 2 元，才能获得最大月利润. 20. 解析：(1)连接 1 AB交 1 A B于点 Q，连接OQ，易知 Q为 1 AB的中点，O为AC的中 点，在 1 ABC
27、V中， 1 1 2 OQBCP， OQ Q平面 11 ,ABD BC 平面 1 A BD， 1 BCP平面 1 A BD. (2)连接 1 ,AOAO Q平面 11 ,ABDAOAO， 11 ABADQ且O为BD的中点， 1 AOBD， ,AO BDQ平面ABCD且AOBDO， 1 AO平面ABCD. 如图， 以O为坐标原点， 1 ,OA OB OA所在直线分别为, ,x y z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz. 易得 1 ( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),(0,0,1)ABDA， 1 (3,0,1),(3,1,0)AAAB uuu ruu u r ， 设平面 1 A AB
28、的法向量为( , , )x y zn， 则 1 0, 0, AA AB n n uuu r uuu r 30, 30, xz xy 令1x ，得3yz， (1, 3, 3)n. 同理可得平面 1 A AD的一个法向量为(1,3, 3)m， 1 cos, |7 m n m n m n ， 结合图形知，二面角 1 BAAD为钝二面角， 二面角 1 BAAD的余弦值为 1 7 . 21. 解析：(1)设椭圆的焦距为20c c ， 解方程 2 680 xx可得 12 2,4xx， 所以24,22ac，即2,1ac，所以 222 3bac， 故椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . (2)设直线l的
29、方程为 1122 4,xmyA x yB x y， 联立方程，得 22 4, 1, 43 xmy xy 消去x得 22 3424360mymy， 则 222 5764 36 3414440mmm ，所以 2 4m . 由根与系数的关系知 1212 22 2436 , 3434 m yyy y mm ， 所以 2 12 2 3184 234 ABF m Syy m V . 令 2 4tm，则0t ，式可化为 2 1818183 3 16 316416 3 2 3 ABF t S t t t t t V ， 当且仅当 16 3t t ，即 16 3 t 时，等号成立. 此时 2 21 3 m ，满
30、足0 ，所以直线 l的斜率为 21 14 . 22. 解析：(1)由 ln22fxxaxa， 可得 ln22 ,0,g xxaxa x， 则 112 ( )2 ax g xa xx . 当0a 时， 0,x时， 0g x ，函数 g x单调递增； 当0a 时， 1 0, 2 x a 时， 0g x ，函数 g x单调递增， 1 , 2 x a 时， 0g x ，函数 g x单调递减. 所以当0a 时， g x的单调递增区间为0,； 当0a 时， g x的单调递增区间为 1 0, 2a ，单调递减区间为 1 , 2a . (2)由(1)知， 10f. 当0a 时， fx单调递增， 所以当0,1x
31、时， 0,fxf x单调递减； 当,()1x时， 0,fxf x单调递增. 所以 f x在1x 处取得极小值，不合题意. 当 1 0 2 a时， 1 1 2a ，由(1)知 fx在 1 0, 2a 内单调递增， 可得当0,1x时， 1 ( )0,1, 2 fxx a 时， 0fx . 所以 f x在0,1内单调递减，在 1 1, 2a 内单调递增， 所以 f x在1x 处取得极小值，不合题意. 当 1 2 a 时， 1 1, 2 fx a 在0,1内单调递增，在(1,)内单调递减， 所以当,()0 x时， 0,fxf x单调递减，不合题意. 当 1 2 a 时， 1 01 2a ，当 1 ,1 2 x a 时， 0,fxf x单调递增， 当,()1x时， ,0fxf x单调递减， 所以 f x在1x 处取得极大值，符合题意. 综上可知，实数a的取值范围为 1 2 a .
