1、第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 （第9题图） 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年年 1 月测试月测试 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1 集合1,2,3,4,5 , 2 , x ABy yxN=，则AC B R 中元素个数为 A1 B2 C3 D4 2 已知复数z满足2 zi
2、 ai i =+（i是虚数单位）,aR，且22=z，则实数a的值为 A3 B1 C1或1 D3或1 3 已知 2,1ab=，向量a与b的夹角为120，若 bak +与ba2垂直，则k的值为 A1 B1 C 2 1 D 2 1 4 若1 , 0, ba，则”“1 2 +ba 是”“ 4 5 +ba的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 已知函数( ) x x xxfsin 1 3 = ，则其图象为 A B C D 6 二项式() () 25 121xx+的展开式中含 4 x项的系数为 A280 B200 C120 D40 7 已知,sin 2cos1,
3、2sin+cos2 22 =，则sin 6 += A 3 3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 8 函数( )() ( )( )xfxxgxxxf=,10sin ，直线()10=mmx先后与( )( ),f xg xx轴 交于CBA,，直线mx=1先后与( )( )xxgxf,轴交于 111 ,CBA，则 A 11 ABAB= B 11 2ABAB= C 11 ABBC= D 11 2ABBC= 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合要求，全部选对得 分在每小题给出的四个选项中，有多项符
4、 合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论 正确的是 A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10已知 21,F F是双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 =ba b y a x C的左、右焦点，过 2 F的直线交双曲线C的
5、右 支于BA,两点，且 12 2AFAF=, 2121 BFFFAF=，则下列结论成立的是 A 2 2AFa= B 4 1 cos 21 =AFF C离心率2=e D渐近线的斜率 3 3 =k 11已知正六棱锥,VABCDEF P是侧棱VC上一点（不含端点），记直线PB与直线DE所成角 为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角FCDP的平面角为，则下列结论正确 的是 A B C D 12古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、 阿基米德齐名 他发现： “平面内到两个定点,A B的 距离之比为定值()1 的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系
6、xOy中，()()2,0 ,4,0AB，点P满足 1 2 PA PB = 设 点P的轨迹为C，下列结论正确的是 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 A曲线C的方程为()164 2 2 =+yx B在曲线C上存在点M，使得 2MOMA= C在x轴上存在异于,A B的两定点 ,D E，使得 1 2 PD PE = D当, ,A B P三点不共线时，射线PO是APB 的平分线 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若函数( ) log,2 log4,02 a a x x f x xx = 存在最大值，则实数a的取值范围是
7、 14现将大小和形状相同的4个黑色球和4个红色球排成一排，从左边第一个球开始数，不管数几 个球，黑球数不少于红球数的排法有 种 15在ABC中， sin 4,tan 24cos BA ABBC A += ， 则当角B最大时，ABC的面积为 16已知抛物线pxy2 2 =()0p的焦点为F， 过点F斜率为1的直线l与抛物线相交于BA,两点， 若AFBF且1BF =，则p = ，AB = 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机A
8、PP软件层出不穷为调查某款订餐 软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下（时间：分钟）： （1）请计算“送达时间”的平均数与方差； （2）根据茎叶图求出, , ,A B C D的值； （3）在（2）的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内 （包括35分钟）收到餐品的人数X的分布列，并求出随机变量X的数学期望 18. （ 12 分 ） 已 知 函 数( )()0coscossin3 2 +=xxxxf， 周 期 是 2 ； 函 数 ( )sin()0,0,|, 2 f xAxk Ak =+R（）的图像如图所示；在以上两个条件中选 择一个解答
9、下列问题 （注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分 ） （1）求( )xf的解析式，以及 24 7 , 12 x时( )xf的值域； （2）将( )xf图像上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐 标不变， 再向左平移 3 个单位， 最后将整个函数图像向上 平移 2 3 个单位后得到函数( )xg的图像，若( )1mxg 成立的充分条件是 12 5 0 x，求m的取值范围 19（12 分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面ADE 平面,/,CDEF EF CD 2,2,1,90ABEDEFEDA= （1）证明：平面ADE平面ABCD； （2）若CF与平面ABC
10、D所成角的正弦值为 5 15 ，求这个多面体 的体积V 20（12 分） 数列 n a的前n项和为, n S nN ， 满足 nn aS=1， 设() 1 2 + += nnn aSb， 数列 n b 的前n项和为 n T （1）求 n T； （2）设 nnn TSc+=，数列 n c的前n项和为 n R，求证： 12 222 12 111 1 n n TTT RRR + + 21（12 分）已知 21,F F是椭圆()01: 2 2 2 2 =+ba b y a x C的左、右焦点，弦AB经过点 2 F，若 4 3 tan,2 122 =BAFBFAF，且BFF 21 的面积为2 （1）求椭圆的方程； （2）若直线()()1 12yk xk=，与椭圆C交于NM,两点，O为坐标原点，求OMN的 面积的取值范围 22 （12 分）设a为正实数，函数( )xaexf ax =存在零点 () 2121, xxxx，且存在极值点 0 x （1）当1=a时，求曲线( )xf在( )()1, 1 f处的切线方程； （2）求a的取值范围，并证明：332 01 + xx （第 18 题图） （第 19 题图）
