2020-2021学年江苏省苏州市相城区高三（上）阶段性数学试卷（12月份）.docx

1、第 1 页（共 23 页） 2020-2021 学年江苏省苏州市相城区高三（上）阶段性数学试卷学年江苏省苏州市相城区高三（上）阶段性数学试卷 （12 月份）月份） 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 （5 分）集合 2 |2 0Ax xx ，集合 |Bx yx，则(AB ) A |1x x B |0 x x C | 12xx 剟 D |02xx

2、剟 2 （5 分）二项式 6 1 () 32 x x 的展开式的中间项为( ) A10 B 2 10 x C10 D 2 10 x 3 （5 分）已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若(3)0.8P，则( 11)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 （5 分） 九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘， 并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 1 2 （弦矢矢矢） 弧田是由 圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦” 指的是弧田弦的长， “矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差现有 一弧田

3、，其弧田弦AB等于 12 米，其弧田弧所在的圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式 算得该弧田的面积为 32 平方米，则cos(AOB ) A 119 169 B 5 13 C 119 169 D 120 169 5 （5 分）设a，b为正实数，则“ 11 1 ab ”是“4ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛 物线C交于A，B两点，若| 6AB ，则直线l的方程为( ) A 2 (1) 2 yx B(1)yx C2(1

4、)yx D3(1)yx 7（5 分） 2020 年 12 月 13 日 9 时 51 分， 嫦娥五号轨道器和返回器成功进入月地转移轨道， 携带月球样本（月壤）的嫦娥五号正式踏上返回地球的旅程嫦娥五号带回来的月球样本可 以让我们更好地了解月球， 使得我国成为世界上第三个从月球带回样本的国家 嫦娥五号轨 道器在某个阶段的运行轨道是以月心为一个焦点的椭圆设月球半径为R，若其近月点、 远月点离月面的距离大约分别是 1 9 R，31 9 R， 则此阶段嫦娥五号轨道器运行轨道的离心率是 ( ) A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 8 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且当0

5、x时， 1,&01 ( ) ,&1 xx f x lnxx 剟 ，若 函数 3 ( )( )g xf xmx有且仅有三个零点，则m的取值范围是( ) A 33 (,0)(0, ) ee B(,0)(0, ) 33 ee C 11 (,0)(0, ) ee D 11 (,0)(0,) 33ee 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.每小题给出的四个选项中，都每小题给出的四个选项中，都 有多个选项是正确的，全部选对的得有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得分，选错

6、或不答的得 0 分分.请请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9 （5 分）已知0ab，则下列不等式成立的有( ) A() tt ab tR B 2 24 ab C1(2 )lnalnb D ba ab 10 （5 分）已知函数( )2sin cos coscos2 sin ()f xxxx，则( ) 第 3 页（共 23 页） A函数( )f x的最小正周期为 B若函数( )f x为偶函数，则 2 C 若 3 ， 则函数( )yf x的图象可由函数( )sin2g xx的图象向右平移 6 个单位长 度得到 D若 6 ，则函数( )yf x的图象的对称

7、中心为 5 (,0)() 212 Z k k 11（5分） 如图， 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线 1 PF与y轴相交于点Q， 2 PQF及为等边三 角形，则( ) A双曲线C的渐近线方程为 2 2 yx B双曲线C的离心率为3 C若点( 6,6)M在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为 22 1 36 xy D若点( 6,6)M在双曲线C上，则点Q的坐标为(0, 3) 12 （5 分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 siny

8、At，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx，则( ) A( )f x在0, 2 上是增函数 B( )f x的最大值为 3 3 4 C( )f x在0，2 上有 3 个零点 D( )f x在0，2 上有 3 个极值点 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）若 3 sin() 65 ，(0,) 2 ，则cos的值为 第 4 页（共 23 页） 14 （5 分）在等差数列 n

9、a中， 2 22a ， 7 7a ，记 12 (1 nn Ta aa n，2，)，则数 列 n T的最大项是第 项 15（5 分） 考古发现， 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857， 因为1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律： 142857999，571428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数x，则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率 为 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，点( , )A m n在直线60 xy上，点B，C在圆 22 10

10、 xy上，若四边形ABOC为正方形，则OA ；若BAC为直角，则实数m的取 值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，_，求ABC 的面积 18 （12 分）函

11、数( )cos2sinf xxmx （1）若函数( )f x在 2 x 处的切线方程为1y ，求m的值； （2）若对任意(0, )x，( )0f x 恒成立，求实数m的取值范围 19 （12 分）已知等比数列 n a的首项为 2，且 2 a， 3 2a ， 4 a成等差数列数列 n b的首 项为 1，前n项和为 n S，且2(1) nn Snb （1）求等比数列 n a的通项公式； （2）求证：数列 n b为等差数列； （3）若数列 n b的公差为 2，数列 n n b a 的前n项和为 n T，求证：3 n T 20 （12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书

12、籍是 第 5 页（共 23 页） 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了n名学生进行调查， 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 （1）求n，p的值； （2） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 （3）将上述调查所得到

13、的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名， 已知每个人是否被抽到互不影响， 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X， 求X的分布列和期望()E X 附： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，且点 3 (1,) 2 在椭圆上 （1）求椭圆C的标准方程； 第 6 页

14、（共 23 页） （2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两 点，直线BN的斜率为(0)k k，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点 22 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：当0 x时，( ) 31f xx （3）证明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe 第 7 页（共 23 页） 2020-2021 学年江苏省苏州市相城区高三（上）阶段性数学试卷学年江苏省苏州市相城区高三（上）阶段性数学试卷 （12

15、月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 （5 分）集合 2 |2 0Ax xx ，集合 |Bx yx，则(AB ) A |1x x B |0 x x C | 12xx 剟 D |02xx剟 【解答】解： | 12Axx 剟， |0Bx x， |02ABxx剟 故选：D 2 （5 分）二项式 6 1

16、 () 32 x x 的展开式的中间项为( ) A10 B 2 10 x C10 D 2 10 x 【解答】 解： 二项式 6 1 () 32 x x 的展开式共有 7 项， 故它的中间项为 2 332 46 ( 1)10 2 x TCx ， 故选：B 3 （5 分）已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若(3)0.8P，则( 11)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【解答】解：因为随机变量服从正态分布 2 (1,)N， 所以1，所以(3)1(3)0.8PP ， 所以(3)(12)(12)(1)0.2PPPP厖剟， 所以( 11)0.5(1)0.3PP 故选：B 4 （5

17、分） 九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘， 并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 1 2 （弦矢矢矢） 弧田是由 圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦” 第 8 页（共 23 页） 指的是弧田弦的长， “矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差现有 一弧田，其弧田弦AB等于 12 米，其弧田弧所在的圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式 算得该弧田的面积为 32 平方米，则cos(AOB ) A 119 169 B 5 13 C 119 169 D 120 169 【解答】解：由题意得，12AB ，设半径

18、r，圆心到弧田弦的距离d， 则由题意得， 2 112( )() 32 2 rdrd， 解得，4rd， 又 22 36rd， 解得， 13 2 r ， 5 2 d ， 故 5 cos 13 AOD， 2 25119 cos2cos121 169169 AOBAOD 故选：A 5 （5 分）设a，b为正实数，则“ 11 1 ab ”是“4ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：取4a ， 1 2 b ，满足 11 1 ab ，但 1 44 2 ab； 反之，若4ab ，则 2 4ab ab剟，得4ab， 11 4ab 1111 22

19、1 4abab 厖； 第 9 页（共 23 页） “ 11 1 ab ”是“4ab ”的必要不充分条件 故选：B 6 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛 物线C交于A，B两点，若| 6AB ，则直线l的方程为( ) A 2 (1) 2 yx B(1)yx C2(1)yx D3(1)yx 【解答】解：抛物线 2 :4C yx的焦点为(1,0)F，准线方程为1x ， 设l的方程为(1)yxk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4yx，(1)yxk，可得 2222 (24)0 xxkkk， 2 16 160k，

20、 12 2 4 2xx k ，则 12 2 4 |24ABxx k ， 由| 6AB ，可得2 k，则l的方程为2(1)yx 故选：C 7（5 分） 2020 年 12 月 13 日 9 时 51 分， 嫦娥五号轨道器和返回器成功进入月地转移轨道， 携带月球样本（月壤）的嫦娥五号正式踏上返回地球的旅程嫦娥五号带回来的月球样本可 以让我们更好地了解月球， 使得我国成为世界上第三个从月球带回样本的国家 嫦娥五号轨 道器在某个阶段的运行轨道是以月心为一个焦点的椭圆设月球半径为R，若其近月点、 远月点离月面的距离大约分别是 1 9 R，31 9 R， 则此阶段嫦娥五号轨道器运行轨道的离心率是 ( )

21、A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：以运行轨道的直线为原点，长轴所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 令地心 2 F为椭圆的右焦点，则轨道方程是焦点在x轴上的椭圆， 第 10 页（共 23 页） 设椭圆的标准方程为： 22 22 1(0) xy ab ab ， 则 2( ,0) F c，其中 222 abc， 由题意可得： 1 9 acRR， 31 9 acRR， 解得 25 9 aR， 5 3 cR， 所以椭圆的离心率为 3 5 c e a ， 故选：C 8 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且当0 x时， 1,&01 ( ) ,&1 xx f x

22、lnxx 剟 ，若 函数 3 ( )( )g xf xmx有且仅有三个零点，则m的取值范围是( ) A 33 (,0)(0, ) ee B(,0)(0, ) 33 ee C 11 (,0)(0, ) ee D 11 (,0)(0,) 33ee 【解答】 解： 根据题意， 函数( )f x是定义在R上的偶函数， 且当0 x时， 1,&01 ( ) ,&1 xx f x lnxx 剟 ， 则( )f x的图象如图： 设 3 ( )h xmx，若函数 3 ( )( )g xf xmx有且仅有三个零点，则函数( )yf x与 3 ( )h xmx的 图象有 3 个交点， 当0m 时， 3 ( )h x

23、mx的图象经过原点，且在第一三象限， 函数( )yf x与 3 ( )h xmx的图象必有一个交点在第三象限， 若函数( )yf x与 3 ( )h xmx的图象有 3 个交点， 则ylnx和 3 ( )h xmx在区间(1,)上有 2 个交点， 即方程 3 lnxmx在(1,)两解，即方程 3 lnx m x 在(1,)有两解， 设 3 ( ) lnx F x x ，其导数 4 13 ( ) lnx F x x ， 若( )0F x，则 1 3 xe， 在区间 1 3 (1,)e上，( )0F x，( )F x为增函数， 第 11 页（共 23 页） 在区间 1 3 (e，)上，( )0F

24、x，( )F x为减函数， 则 1 1 3 3 1 ( )() 3 max lne F xF e ee ，而F（1）0，当x时，( )0F x ， 则( )F x在(1,)的值域为 1 (0,) 3e ， 若方程 3 lnx m x 有两解，必有 1 3 m e ，此时m的取值范围为 1 (0,) 3e ， 同理：当0m 时，m的取值范围为 1 ( 3e ，0)， 综合可得：m的取值范围为 1 ( 3e ，0)(0， 1 ) 3e ； 故选：D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.每小题给出的四个选项中，都每小题给出

25、的四个选项中，都 有多个选项是正确的，全部选对的得有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得分，选错或不答的得 0 分分.请请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9 （5 分）已知0ab，则下列不等式成立的有( ) A() tt ab tR B 2 24 ab C1(2 )lnalnb D ba ab 【解答】解：对于A，因为tR，当0t 时，1 tt ab，故A错误； 对于B，因为0ab，所以22ab，所以 22 22 ab ，即 2 24 ab ，故B正确； 对于C，因为0ab，20e ，所以

26、2aeb，所以(2 )lnaelnb，即1(2 )lnalnb ， 故C正确； 对于D，取4a ，2b ，则 ba ab，故D错误 故选：BC 10 （5 分）已知函数( )2sin cos coscos2 sin ()f xxxx，则( ) 第 12 页（共 23 页） A函数( )f x的最小正周期为 B若函数( )f x为偶函数，则 2 C 若 3 ， 则函数( )yf x的图象可由函数( )sin2g xx的图象向右平移 6 个单位长 度得到 D若 6 ，则函数( )yf x的图象的对称中心为 5 (,0)() 212 Z k k 【解答】解：函数 ()2sincoscoscos2si

27、nsin2coscos2sinsin(2)fxxxxxxx()， 函数( )f x的最小正周期为 2 2 ，故A正确； 若函数( )f x为偶函数，则 2 k，Zk，故B错误； 若 3 ， 则函数( )yf x的图象可由函数( )sin2g xx的图象向右平移 6 个单位长度得到， 故C正确； 若 6 ，则函数( )sin(2) 6 yf xx ，令2 6 x k，求得 212 x k ，Zk， 可得它的的图象的对称中心为( 212 k ，0)，故D正确， 故选：ACD 11（5分） 如图， 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1( ,0)Fc，

28、2( ,0) F c， P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线 1 PF与y轴相交于点Q， 2 PQF及为等边三 角形，则( ) A双曲线C的渐近线方程为 2 2 yx B双曲线C的离心率为3 第 13 页（共 23 页） C若点( 6,6)M在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为 22 1 36 xy D若点( 6,6)M在双曲线C上，则点Q的坐标为(0, 3) 【解答】解：设|PQm，由 2 PQF为等边三角形，可得 22 | |PFQFm， 由双曲线的定义可得 112 | | | 2| 2QFPFPQPFaPQa， 即有2ma，所以 12 30PFF， 1 1 | cos30 |2 OF

29、c QFa 即为3 c e a ，故B正确； 由 222222 32bcaaaa，即2ba，则渐近线方程为2yx ，故A错误； 若点( 6,6)M在双曲线C上，可得 22 66 1 ab ，又2ba， 解得3a ，6b ，所以双曲线的方程为 22 1 36 xy ，故C正确； 由上面的分析可得3a ，6b ，3c ， 1( 3,0) F ， 直线 1 PF的方程为 3 (3) 3 yx， 可令0 x ，解得3y ，即(0, 3)Q，故D正确 故选：BCD 12 （5 分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音

30、若一个复合音的数学模型 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx，则( ) A( )f x在0, 2 上是增函数 B( )f x的最大值为 3 3 4 C( )f x在0，2 上有 3 个零点 D( )f x在0，2 上有 3 个极值点 【解答】 解： 当0 x，2 时， 222 ( )coscos2coscossin2coscos1f xxxxxxxx， 由( )0fx，得 1 cos1 2 x或cos1x （舍)，0 3 x 或 5 2 3 x ； 由( )0fx，得 1 1cos 2 x ， 5 33 x ， 函数( )f x在 5 0,),(,2 33 上单调递增，在 5 (,

31、) 33 上单调递减， ( )f x在0，2 上有 2 个极值点，故AD错误 第 14 页（共 23 页） 3 x 为函数( )f x的极大值点， 5 3 x 为函数( )f x的极小值点， 且 3 353 3 (0)0,(),(),(2 )0 3434 ffff ， 3 3 ( )() 34 max f xf ，故B正确 由 1 ( )sinsin20 2 f xxx，得sinsin cos0 xxx， sin0 x或cos1x ，当0 x，2 时，0 x ，x，2x， 则( )f x在0，2 上有 3 个零点，故C正确 故选：BC 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题

32、小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）若 3 sin() 65 ，(0,) 2 ，则cos的值为 4 33 10 【解答】解：(0,) 2 ， ( 66 ，) 3 ， 3 sin() 65 ， 4 cos() 65 ， 那么 43314 33 coscos()cos()cos()sin()sin 666666525210 故答案为： 4 33 10 14 （5 分）在等差数列 n a中， 2 22a ， 7 7a ，记 12 (1 nn Ta aa n，2，)，则数 列 n T的最大项是第 8 项 【解答

33、】解：由题意可得 21 71 22 67 aad aad ，解得 1 25a ，3d ， 253(1)328 n ann ， 当 1 328 0 3(1)28 0 n n an an ， 解得 2528 33 n剟， 即9n ， 第 15 页（共 23 页） 当9n 时， 9 1a ， 因为 12nn Ta aa，则当8n 时，数列 n T有最大项， 故答案为：8 15（5 分） 考古发现， 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857， 因为1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律： 142857999，571428999，若从

34、1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数x，则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率 为 2 5 【解答】解：从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数x， 基本事件总数 3 6 120nA， 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中：189，279，459，共 3 组， 999x的 结 果恰 好是 剩下 3 个 数 字构 成的 一 个三位 数 包含 的基 本 事件个 数 111 642 48mC C C， 则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为 482 1205 m P n 故答

35、案为： 2 5 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，点( , )A m n在直线60 xy上，点B，C在圆 22 10 xy上，若四边形ABOC为正方形，则OA 2 5 ；若BAC为直角，则实数m 的取值范围是 【解答】解：由题意作图， 第 16 页（共 23 页） ABOC为正方形，则2 5OA， 则以O为圆心，以2 5为半径的圆的方程为 22 20 xy， 联立 22 6 20 yx xy ，得 2 680 xx， 解得4x ，2x ， 所以点A的横坐标的取值范围为 4，2， 故答案为：2 5， 4，2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分分.

36、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在条件()(sinsin )()sinabABcbC，sincos() 6 aBbA ， sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6bc，2 6a ，_，求ABC 的面积 【解答】解：若选： 由正弦定理得()()()ab abcb c，即 222 bcabc， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A， 所以 3 A

37、 ， 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6bc，所以4bc ， 所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 若选 ： 由正弦定理得：sinsinsincos() 6 ABBA 因为0B， 所以sin0B ，sincos() 6 AA ， 第 17 页（共 23 页） 化简得 31 sincossin 22 AAA， 即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A 又因为 222 2cos 6 abcbc ， 所以 2222 ()6(2 6) 2323 bca bc ，即2412 3bc ， 所以 111 sin(2412 3)63 3 222 ABC SbcA

38、 若选 ： 由正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB ， 因为0B，所以sin0B ， 所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA， 所以cos2sincos 222 AAA ， 因为0A，0 22 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ， 所以 3 A 又 2222 ()3abcbcbcbc，2 6a ，6bc， 所以4bc ， 所以 11 sin4sin3 223 ABC SbcA 18 （12 分）函数( )cos2sinf xxmx （1）若函数( )f x在 2 x 处的切线方程为1y ，求m的值； （2）若对任意(0, )x，( )0

39、f x 恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）由于函数( )f x在 2 x 处的切线方程为1y ， ()cossin11 22 fmm ，2m， （2）对任意(0, )x，( )0f x 恒成立， 即 2 cos2sin12sinsin0 xmxxmx 对任意(0, )x恒成立， 第 18 页（共 23 页） 令sin xt，(0t，1，则 2 120tmt对(0t，1恒成立， 法一：令 2 ( )1 2h ttmt ，(0t，1， 由于( )yh t的图象开口向下，要使( )0h t 在(0t，1恒成立， 只需(0) 0h且h（1）0， 又(0)1 0h ，h（1）10m ，1m

40、， m的取值范围为(1,) 法二：即 1 2mt t 对(0t，1恒成立， 只需 1 (2)maxmt t ，(0t，1， 令 1 ( )2g tt t ，(0t，1，由于 2 1 ( )20g t t ， ( )g t在(0t，1上单调递增， ( )maxg tg（1）1，1m， m的取值范围为(1,) 19 （12 分）已知等比数列 n a的首项为 2，且 2 a， 3 2a ， 4 a成等差数列数列 n b的首 项为 1，前n项和为 n S，且2(1) nn Snb （1）求等比数列 n a的通项公式； （2）求证：数列 n b为等差数列； （3）若数列 n b的公差为 2，数列 n n

41、 b a 的前n项和为 n T，求证：3 n T 【解答】 （1）解：由于 2 a， 3 2a ， 4 a成等差数列，所以 324 2(2)aaa， 又 n a是等比数列，首项为 2，设公比为q， 所以有 23 111 2(2)aqaqaq，即 23 2(22)22qqq，即 22 2(1)(1)qq q 所以2q ， 所以2n n a ； （2）证明：因为2(1) nn Snb， 第 19 页（共 23 页） 所以当2n时， 11 2(1)(1) nn Snb ， 得： 1 (2)(1)10(2) nn nbnbn ， 又 1 (1)10(1) nn nbnbn ， 得： 11 (1)2(1

42、)(1)0(2) nnn nbnbnbn ， 所以 11 20 nnn bbb ，即 11( 2) nnnn bbbbn ， 所以数列 n b为等差数列； （3）证明：令 n n n b c a ， 12(1)21 n bnn ，2n n a ， 21 2 n n n c ， 所以 123 13521 2222 n n n T ， 又 2341 113521 22222 n n n T ， 两式相减得： 2311 111111211121 2()2(1) 2222222222 n nnnn nn T ， 所以 23 3 2 n n n T ， 所以3 n T 20 （12 分）读书可以使人保持

43、思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了n名学生进行调查， 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 （1）求n，p的值； （2） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 第 20

44、页（共 23 页） 总计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名， 已知每个人是否被抽到互不影响， 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X， 求X的分布列和期望()E X 附： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知0.01p ， 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人 1

45、0 100 0.1 n （2）100n ， “读书之星”有1000.2525， 从而22列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算得： 2 2 100 (30 10 15 45)100 3.0303.841 45 55 75 2525 K 没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 第 21 页（共 23 页） （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4 ， 由题意得 1 (3, ) 4 XB， 03 3 327 (0)( ) 464 P XC，

46、 12 3 1327 (1)( )( ) 4464 P XC， 22 3 139 (2)( ) ( ) 4449 P XC， 33 3 11 (3)( ) 464 P XC， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 13 ()3 44 E X 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，且点 3 (1,) 2 在椭圆上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两 点，直线BN的斜率为(0)k k，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点

47、 【解答】解： （1）因为椭圆的离心率为 1 2 ，即 1 2 c a ， 所以 22 2 22 13 11( ) 24 bc aa ， 又点 3 (1,) 2 在该椭圆上，所以 22 19 1 4ab ， 所以 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 第 22 页（共 23 页） （2）由于BN的斜率为k，则:(2)BN yxk， 联立 22 (2) 1 43 yx xy k ，得： 2222 (43)1616120 xxkkk， 所以 2 2 1612 43 BN x x k k ， 所以 2 2 86 43 N x k k ，从而 2 12 43 N y

48、 k k 即 2 22 8612 (,) 4343 N kk kk ， 同理，由于AM的斜率为3k，则:3 (2)AM yxk， 联立 22 3 (2) 1 43 yx xy k 得： 2222 (363)144144120 xxkkk， 即 2222 (121)484840 xxkkk， 所以 2 2 484 121 AM x x k k ， 所以 2 2 242 121 M x k k ，从而 2 12 121 M y k k ，即 2 22 24212 (,) 121121 M kk kk ， 当 MN xx时即 1 2 k时，:1MN x ，过点( 1,0)P ， 当 1 2 k时，

49、2 222 2 12 0 124 121 24212341 ( 1) 121 PM k kk k k kkk k ， 2 222 2 12 0 124 43 8612341 ( 1) 43 PN k kk k k kkk k ， 即 PMPN kk，所以直线MN过点( 1,0)P ， 综上，直线MN过点( 1,0)P 22 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：当0 x时，( ) 31f xx （3）证明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe 【解答】解： （1）( )g x的定义域为(0,)，( ) axb g x x ， 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递增； 第 23 页（共 23 页） 当0a ，0b 时，令( )0g x，得 b x a ， 令( )0g x，得0 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上单调递减，在(,) b a 上单调递增； 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递减； 当0a ，0b 时，令( )0g x，得0 b x a ， 令( )0g x，得 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上单调递增，在(,)