2020-2021学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（一）.docx

1、第 1 页（共 23 页） 2020-2021 学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（一）学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（一） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小超论出的四个选项中，只有一项在每小超论出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合1A，2，2B ，3，4，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A1 B3，4 C2 D1，2，3，4 2 （5 分） 3 ( 13 i i ) A1 B1 Ci Di 3 （5 分）若 5 (12)2(aba，b为有理数） ，则(a

2、) A25 B25 C40 D41 4 （5 分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应 和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合如图，下列说法不正确的是( ) A5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 第 2 页（共 23 页） D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 5 （5

3、 分）由 0，1，2，5 四个数组成没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的个数是( ) A24 B12 C10 D6 6 （5 分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示图中的ABCD 为矩形，弧CED为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为( ) A 2 10 (3 3) 3 cm B 2 8 (3 3) 3 cm C 2 (42 3)cm D 2 (22 3)cm 7 （5 分）已知ABCDEF为正六边形，若A、D为椭圆W的焦点，且B、C、E、F都在 椭圆W上，则椭圆W的离心率为( ) A31 B21 C 31 2 D 31 2 8 （5 分）区块链作

4、为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中，若密码的长度设定为 256 比特，则 密码一共有 256 2种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 256 2次哈希运算现在有 一台机器，每秒能进行 11 2.5 10次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下， 这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ，30.477)lg A 73 4.5 10秒 B 65 4.5 10秒 C 7 4.5 10秒 D28 秒 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共

5、 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分.） 9 （5 分）已知函数( )sincosf xxx，若( )g x是( )f x的导函数，则下列结论中正确的是( ) 第 3 页（共 23 页） A函数( )f x的值域与( )g x的值域相同 B若 0 x是函数( )f x的极大值点，则 0 x是函数( )g x的极小值点 C把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位，就可以得到函数( )g x的图象 D函数( )f x和( )g

6、x在区间(,) 4 4 上都是增函数 10 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点P在线段 1 AD上运动，则下列命题正确的是( ) A异面直线 1 C P和 1 CB所成的角为定值 B直线CD和平面 1 BPC相交 C三棱锥 1 DBPC的体积为定值 D直线CP和直线 1 AB可能相交 11 （5 分）已知0a ，0b ，设 22 ab M ab ， 22 ab N ab ，则下列说法正确的是( ) AM有最小值，最小值为 1 BM有最大值，最大值为2 CN没有最小值 DN有最大值，最大值为 2 2 12 （5 分）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者

7、为食物， 则我们称前者为被捕食者， 后者为捕食者 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态 下的数学模型假设捕食者的数量以( )x t表示，被捕食者的数量以( )y t表示如图描述的是 这两个物种随时间变化的数量关系， 其中箭头方向为时间增加的方向 下列说法不正确的是 ( ) 第 4 页（共 23 页） A若在 1 t、 2 t时刻满足： 12 ( )( )y ty t，则 12 ( )( )x tx t B如果( )y t数量是先上升后下降的，那么( )x t的数量一定也是先上升后下降 C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数

8、量也会达到最大值 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sn，则 10 a 14 （5 分）在直角边长为 3 的等腰直角ABC中，E、F为斜边BC上的两个不同的三等 分点，则AE AF 15 （5 分）函数( )f x为奇函数，当0 x时， 2 ( ).f xx若2 f（a）(1)f a，则a的取值 范围为 16 （5 分）以ABC为底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，并且正三棱 锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为45，记正三棱锥PABC和正三棱锥QABC 的体

9、积分别为 1 V和 2 V，则 1 2 V V .（注:底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心 的三棱锥为正三棱锥） 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在3sincos1BB，2 sintanbAaB，()sinsinsinacAcCbB这 三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，2a ，3b ，若_，求 角B的值与ABC的面积 18 （12 分）由整数构成的等差数列 n a满足 3 5a ，

10、 124 2a aa （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的通项公式为2n n b ，将数列 n a， n b的所有项按照“当n为奇数时， n b放在前面； 当n为偶数时、 n a放在前面” 的要求进行 “交叉排列” ， 得到一个新数列 n c， 1 b， 1 a， 2 a， 2 b， 3 b， 3 a， 4 a， 4 b，求数列 n c的前43n 项和 43n T 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 B BCC为正方形，M，N分别是 11 A B， 第 5 页（共 23 页） AC的中点，AB 平面BCM （）求证：平面 11 B BCC 平面

11、 11 A ABB； （）求证： 1 / /A N平面BCM； （）若 11 A ABB是边长为 2 的菱形，求直线 1 A N与平面 1 MCC所成角的正弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点(1,0)F，且与直线1x 相切设动圆的圆心Q的轨迹为曲线 （）求曲线的方程； （） 过点F的两条直线 1 l、2l与曲线相交于A、B、C、D四点， 且M、N分别为AB、 CD的中点设 1 l与 2 l的斜率依次为 1 k、 2 k，若 12 1 kk，求证：直线MN恒过定点 21 （12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路 桥

12、公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费 点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20 9:40记作区 20，40)，9:40 10:00记作40，60)，10:00 10:20记作60，80)，10:20 10:40记 作80，100)，例如 10 点 04 分，记作时刻 64 （1）估计这 600 辆车在9:20 10:40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采

13、用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在9:20 10:00之间通过的车辆数为X，求X的 分布列与数学期望； （3） 由大数据分析可知， 车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 可用这 600 辆车在9:20 10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本 第 6 页（共 23 页） 的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在9:46 10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数） 若 2 ( ,)TN 则

14、()0.6827PT，(22 )0.9545PT， (33 )0.9973PT 22 （12 分）已知函数( )(1) 1 x f xexaxln x （）若0a ，求( )f x的最小值； （）函数( )f x在0 x 处有极大值，求a的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2020-2021 学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（一）学年湖南省株洲市高三（上）质检数学试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小超论出的四个选项中，只有一项在每小超论出的四个选项中，只有一项 是符合

15、题目要求的是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合1A，2，2B ，3，4，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A1 B3，4 C2 D1，2，3，4 【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分所表示的集合是 N BA， 集合1A，2，2B ，3，4， 3 N BA，4， 故选：B 2 （5 分） 3 ( 13 i i ) A1 B1 Ci Di 【解答】解： 22 3(3)(13 )39310 13(13 )(13 )1310 iiiiii i iii 故选：C 3 （5 分）若 5 (12)2(aba，b为有理数） ，则(a ) A25 B25 C40 D41 【解答】解： 5 (12)2

16、(aba，b为有理数） ， 由二项式定理，得 024 555 2441aCCC ， 故选：D 4 （5 分）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在 内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应 和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图是某单位结 合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合如图，下列说法不正确的是( 第 8 页（共 23 页） ) A5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信

17、息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【解答】解：对于选项A：由图可知，运营商的经济产出逐年增加，所以选项A正确， 对于选项B：由图可知，设备制造商的经济产出在2020 2023年间增长较快，后几年增长 逐渐趋于平缓，所以选项B正确， 对于选项C：由图可知，设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而 2029 年、2030 年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，所以选项C错误， 对于选项D：由图可知，在2020 2025年间信息服务商与运营商的经济产出的差距不大， 后几年中信息服务商的经济产出增长速度明显高于运营商的经济产出增长速度， 两种差距有 逐步拉大的趋势，所以选

18、项D正确， 故选：C 5 （5 分）由 0，1，2，5 四个数组成没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的个数是( ) A24 B12 C10 D6 【解答】解：末位是 0 的有 3 3 6A 个，末位是 5 的有 12 22 4A A 个， 故能被 5 整除的数共有6410 （个)， 故选：C 6 （5 分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示图中的ABCD 第 9 页（共 23 页） 为矩形，弧CED为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为( ) A 2 10 (3 3) 3 cm B 2 8 (3 3) 3 cm C 2 (42 3)cm D 2 (

19、22 3)cm 【解答】解：设球半径2rcm，设阴影部分面积为 1 S， 22 4Srcm 圆 ， 2 2 3 ABCD Scm 矩形 ，2 3ABCDcm， 连接CD，作OFCD于F， 因为2ODOCcm， 所以F为CD的中点，3DF ，2OD ， 所以 3 cos 2 DF ODF OD ，30ODF，60DOF， 2 14 24 233 Scm 扇形 ， 2 11 2 3 13() 22 ODC SDC OFcm ， 所以 2 1 4 3 3 ODCODC SSScm 扇形 ， 则截面面积为 1ABCD SSSS 圆矩形截面 ， 4 42 3(3) 3 ， 2 8 3 3() 3 cm

20、故选：B 7 （5 分）已知ABCDEF为正六边形，若A、D为椭圆W的焦点，且B、C、E、F都在 椭圆W上，则椭圆W的离心率为( ) A31 B21 C 31 2 D 31 2 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：由题意设(,0)Ac，( ,0)D c，不妨设点E在第一象限， 则由正六边形的性质可得三角形ODE为边长为c的正三角形， 则点E的坐标为 3 ( ,) 22 cc ，代入椭圆方程可得： 22 22 3 1 44 cc ab ，根据 222, c abce a 化简可得： 42 840ee，所以 2 42 342 3e 或（舍去） ， 所以31e ， 故选：A 8 （5 分）区块

21、链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中，若密码的长度设定为 256 比特，则 密码一共有 256 2种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行 256 2次哈希运算现在有 一台机器，每秒能进行 11 2.5 10次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下， 这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ，30.477)lg A 73 4.5 10秒 B 65 4.5 10秒 C 7 4.5 10秒 D28 秒 【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为x秒， 则： 11256 2.5 1

22、02x， 两边同时取常用对数得： 11256 ( 2.5 10 )2lg xlg， 11 2.510256 2lgxlglglg， 52 112562lgxlglglg， 122 112562lgxlglglg ， 258 2 12258 0.301 1265.658lgxlg， 65.658650.658 101010 x ， 而 9 4.52320.653 2 lglglglg， 0.658 104.5， 65 4.5 10 x ， 故选：B 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选

23、项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分.） 9 （5 分）已知函数( )sincosf xxx，若( )g x是( )f x的导函数，则下列结论中正确的是( 第 11 页（共 23 页） ) A函数( )f x的值域与( )g x的值域相同 B若 0 x是函数( )f x的极大值点，则 0 x是函数( )g x的极小值点 C把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位，就可以得到函数( )g x的图象 D函数( )f x和( )g x在区间(,) 4 4 上都是增函数 【解答】解：函数( )s

24、incosf xxx，( )( )cossing xfxxx， 对于A，( )2sin() 4 f xx ，值域是2，2 ( )2sin() 4 g xx ，值域是2，2，它们的值域相同，所以A正确； 对于B，若 0 x是函数( )f x的极大值点，则 0 2 42 x k，Zk； 解得 0 3 2 4 x k，Zk； ， 0 3 ()2sin(2)0 44 g x k， 所以 0 x不是函数( )g x的极小值点，所以B错误； 对于C，函数( )f x的图象向右平移 2 个单位长度， 得 3 ()2sin()2sin()2sin() 2444 yf xxxx ， 不是( )g x的图象， 所

25、以C错 误； 对于D，(,) 4 4 x 时，( 42 x ，0)，( )f x是单调增函数， (,) 4 4 x 时，(0,) 42 x ，( )g x是单调增函数，所以D正确 故选：AD 10 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点P在线段 1 AD上运动，则下列命题正确的是( ) A异面直线 1 C P和 1 CB所成的角为定值 B直线CD和平面 1 BPC相交 C三棱锥 1 DBPC的体积为定值 D直线CP和直线 1 AB可能相交 第 12 页（共 23 页） 【解答】解：如图所示： A 1 CB 对角面 1 ABCD，异面直线 11 C PCB，因此异面直线 1 C

26、P和 1 CB所成的角为定 值 2 ，故A正确； B/ /CDAB，CD平面 1 BPC，AB平面 1 BPC，/ /CD平面 1 BPC，故B错误； C由 1 BPC的面积 1 2 矩形 11 ABC D为定值，点D到平面 11 ABC D的距离 1 dCB为定值， 因此三棱锥 1 DBPC的体积为定值，故C正确； D点P与点A重合时，直线CP和直线 1 AB相交，故D正确 故选：ACD 11 （5 分）已知0a ，0b ，设 22 ab M ab ， 22 ab N ab ，则下列说法正确的是( ) AM有最小值，最小值为 1 BM有最大值，最大值为2 CN没有最小值 DN有最大值，最大值

27、为 2 2 【解答】解： 22 2 2222 222 112 2 abababab M ababab ，当且仅当ab时取等号， 故2M，即M的最大值为2，A错误，B正确； 22 11 2 ab N ba ab ab ，则 1 0 2 NN，即N没有最小值，有最大值 1 2 故选：BC 12 （5 分）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物， 则我们称前者为被捕食者， 后者为捕食者 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态 第 13 页（共 23 页） 下的数学模型假设捕食者的数量以( )x t表示，被捕食者的数量以( )y t表示如图描述的是 这两个物种随时间变化

28、的数量关系， 其中箭头方向为时间增加的方向 下列说法不正确的是 ( ) A若在 1 t、 2 t时刻满足： 12 ( )( )y ty t，则 12 ( )( )x tx t B如果( )y t数量是先上升后下降的，那么( )x t的数量一定也是先上升后下降 C被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值 【解答】解：选项A：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确， 选项B：在曲线上半段中观察到( )y t是先上升后下降，而( )x t是不断变小的，故B不正确， 选项C：捕食者数量最大时是在图象最右端，最

29、小值是在图象最左端， 此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象 最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确， 选项D：当捕食者数量最大时在图象最右端，( )(25x t ，30)，( )(0y t ，50)， 此时二者总和( )( )(25x ty t，80)， 由图象可知存在点( )10 x t ，( )100y t ，则( )( )110 x ty t， 所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值， 故D不正确， 故选：ABD 三、填空题（本题三、填空

30、题（本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Sn，则 10 a 19 【解答】解：当1n 时， 2 1 11S ， 第 14 页（共 23 页） 当2n时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， 又1n 时， 1 211a ，满足通项公式， 此数列为等差数列，其通项公式为21 n an， 则 10 2 10119a 故答案为：19 14 （5 分）在直角边长为 3 的等腰直角ABC中，E、F为斜边BC上的两个不同的三等 分点，则AE AF 4 【解答】解：由题意，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，

31、建立平面直角坐标系， 则(0,0)A，(3,0)B，(0,3)C， 由于E、F为斜边BC上的两个不同的三等分点， 则由题意，不妨设(2,1)E，(1,2)F，可得(2,1)AE ，(1,2)AF ， 可得2 1 1 24AE AF 故答案为：4 15 （5 分）函数( )f x为奇函数，当0 x时， 2 ( ).f xx若2 f（a）(1)f a，则a的取值 范围为 ( 21,) 【解答】解：根据题意，设0 x ，则0 x ，则有 22 ()()fxxx ， 又由( )f x为奇函数，则 2 ( )()f xfxx， 则 2 2 ,0 ( ) ,0 xx f x xx ， 第 15 页（共 2

32、3 页） 对于2 f（a）(1)f a，分 2 种情况讨论， ，当0a时，10a ，此时不等式为 22 2(1)aa，变形可得 2 210aa ，解可得 21a ， ，当10a时，此时不等式为 22 2(1)aa，变形可得 2 3210aa ，无解， ，当1a时，此时不等式为 22 2(1)aa，变形可得 2 210aa ，无解， 综合可得：21a ， 即不等式的解集为( 21，)， 故答案为：( 21，) 16 （5 分）以ABC为底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，并且正三棱 锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为45，记正三棱锥PABC和正三棱锥QABC 的体积分别为 1

33、V和 2 V，则 1 2 V V 1 4 .（注:底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中 心的三棱锥为正三棱锥） 【解答】解：如图，正三棱锥PABC和正三棱锥QABC内接于同一个球， 设P到底面ABC的距离为 1 h，Q到底面ABC的距离为 2 h， 则 11 22 Vh Vh ，取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，记PQ与平面ABC的交点为R， 由两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，故PQ一定为球O的直径， 记其中点为O，且由题意可知，R为正三角形ABC的中心， 因此，PR，QR分别为正三棱锥PABC和正三棱锥QABC的高 1 h， 2 h， 由PAPB，QAQB，CACB，

34、且M为AB的中点， 可得PMAB，QMAB，CMAB， 则PMR为正三棱锥PABC的侧面与底面ABC所成的角为45， 1 MRPRh， 1 22RCMRh，记球的半径为r，于是 1 ORrh， 在Rt ORC中，由勾股定理可得， 222222 11 ()4OCrORRCrhh， 解得 1 5 2 rh，于是 11112 254QRPQPRrhhhhh， 则 1 2 1 4 h h 第 16 页（共 23 页） 11 22 1 4 Vh Vh 故答案为： 1 4 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明

35、过程或演算步骤. 17 （10 分）在3sincos1BB，2 sintanbAaB，()sinsinsinacAcCbB这 三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，2a ，3b ，若_，求 角B的值与ABC的面积 【解答】解：选： 由3sincos1BB，可得 1 sin() 62 B ， 因为(0, )B，所以 66 B ，即 3 B ， 由正弦定理知， sinsin ab AB ， 所以 23 sin sin 3 A ，得 2 sin 2 A ， 又因为ab，所以 4 A ， 所以 62 sinsin()sin()sinco

36、scossin 4343434 CAB ， 所以 133 sin 24 ABC SabC 选： 由2 sintanbAaB，得2 sincossinbABaB， 由正弦定理知 sinsin ab AB ， 所以2sinsincossinsinBABAB， 第 17 页（共 23 页） 因为sinsin0AB ，所以 1 cos 2 B ， 又(0, )B，所以 3 B ， 以下步骤同条件 选： 由正弦定理知 sinsinsin abc ABC ， 因为()sinsinsinacAcCbB，所以 22 ()ac acb，即 222 aaccb， 由余弦定理知， 222 1 cos 22 acb

37、B ac ， 因为(0, )B，所以 3 B ， 以下步骤同条件 18 （12 分）由整数构成的等差数列 n a满足 3 5a ， 124 2a aa （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的通项公式为2n n b ，将数列 n a， n b的所有项按照“当n为奇数时， n b放在前面； 当n为偶数时、 n a放在前面” 的要求进行 “交叉排列” ， 得到一个新数列 n c， 1 b， 1 a， 2 a， 2 b， 3 b， 3 a， 4 a， 4 b，求数列 n c的前43n 项和 43n T 【 解 答 】 解 ：（ ） 设 数 列 n a的 公 差 为d， 则 1 111 2

38、5 ()2(3 ) ad a adad ， (52 )(5)2(5)ddd， 整理得： 2 217150dd，解得 15 2 d 或1d ， 因为 n a为整数数列，所以1d ， 所以 3 (3)2 n aandn； （）依题意可得： 4311223344212122212122nnnnnnnn Tbaabbaabbaabbaa 123421123422 ()() nn bbbbbaaaaa 21 12122 ()(22)2 (12) 4295 122 n nn aan nn 第 18 页（共 23 页） 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 B BCC为正方形

39、，M，N分别是 11 A B， AC的中点，AB 平面BCM （）求证：平面 11 B BCC 平面 11 A ABB； （）求证： 1 / /A N平面BCM； （）若 11 A ABB是边长为 2 的菱形，求直线 1 A N与平面 1 MCC所成角的正弦值 【解答】证明： （）AB 平面BCM，BC 平面BCM，ABBC， 正方形 11 B BCC， 1 BBBC， 1 ABBBB，BC平面 11 B BCC， BC 平面 11 B BCC， 平面 11 B BCC 平面 11 A ABB （）设BC中点为Q，连结NQ，MQ， M，N分别是 11 A B，AC的中点，/ /NQAB，且 1

40、 2 NQAB， 又 1 / /ABAB， 11 A BAB， 111 1 / / 2 AMAB ， 1 / /NQAM ，四边形 1 AMQN为平行四边形， 1 / /ANMQ， MQ 平面BCM， 1 AN 平面BCM， 1 / /A N平面BCM 解： （）由（）知BA，BM，BC两两互相垂直，以B为原点， BA，BM，BC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 第 19 页（共 23 页） 11 A ABB是边长为 2 的菱形，M为 11 A B的中点，且 11 ABBM， 11 60BB A，(0B，0，0)，(2A，0，0)，(0M，3，0)，(0C，0，2)， 1(1 A，

41、3，0)， 1( 1 B ，3，0)， 1( 1 C ，3，2)，(1N，0，1)， 1 (0AN ，3，1)， 1 ( 1MC ，0，2)， 1 ( 1CC ，3，0)， 设平面 1 MCC的法向量(nx，y，) z， 则 1 1 20 30 n MCxz n CCxy ，令2y ，则(2 3,2, 3)n ， 设直线 1 A N与平面 1 MCC所成角为， 则 1 1 |57 sin 38| | n AN nAN 直线 1 A N与平面 1 MCC所成角的正弦值为 57 38 20 （12 分）在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点(1,0)F，且与直线1x 相切设动圆的圆心Q的轨

42、迹为曲线 （）求曲线的方程； （） 过点F的两条直线 1 l、2l与曲线相交于A、B、C、D四点， 且M、N分别为AB、 CD的中点设 1 l与 2 l的斜率依次为 1 k、 2 k，若 12 1 kk，求证：直线MN恒过定点 【解答】 （）解：设( , )Q x y，依题意可得： 22 |1|(1)xxy，化简得： 2 4yx （）证明：设 1 l， 2 l的方程为 1( 1)yxk； 2( 1)yxk联立 1 2 (1) 4 yx yx k ， 第 20 页（共 23 页） 得 2222 111 (24)0 xxkkk， 所以 2 1 12 2 1 24 xx k k ，则 2 1 2 1

43、1 2 2 (,)M k kk ， 同理联立 2 2 (1) 4 yx yx k ， 得 2222 222 (24)0 xxkkk， 所以 2 2 12 2 2 24 xx k k ， 2 2 2 22 22 (,)N k kk ， 所以 1212 22 1212 22 12 22 22 MN kkk k k kkkk kk ， 由 12 1 kk可得： 11 (1) MN kkk， 所以直线MN的方程为： 2 1 11 2 11 22 (1)()yx k kk kk ， 化简整理得： 11 2(1)(1)yxkk， 所以直线MN恒过定点(1, 2) 21 （12 分）2019 年春节期间，我

44、国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” 某路 桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数， 统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费 点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:20 9:40记作区 20，40)，9:40 10:00记作40，60)，10:00 10:20记作60，80)，10:20 10:40记 作80，100)，例如 10 点 04 分，记作时刻 64 （1）估计这 600 辆车在9:20 10:40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组

45、区间的中点值代表） ； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在9:20 10:00之间通过的车辆数为X，求X的 分布列与数学期望； （3） 由大数据分析可知， 车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中 第 21 页（共 23 页） 可用这 600 辆车在9:20 10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 2 可用样本 的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ，已知大年初五全天共有 1000 辆车通过该收费点，估计在9:46 10:40之间

46、通过的车辆数（结果保留到整数） 若 2 ( ,)TN 则()0.6827PT，(22 )0.9545PT， (33 )0.9973PT 【解答】解： （1）这 600 辆车在9:20 10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为 (30 0.00550 0.01570 0.02590 0.010)2064，即10:04 （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在10:00前通过的车 辆数就是位于时间分组中在20，60)这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20 104， 所以X的可能的取值为 0，1，2，3，4 所以 4 6 4 10 1 (0) 14 C

47、 P X C ， 13 46 4 10 8 (1) 21 C C P X C ， 22 46 4 10 3 (2) 7 C C P X C ， 31 46 4 10 4 (3) 35 C C P X C ， 4 4 4 10 1 (4) 210 C P X C ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 第 22 页（共 23 页） 所以 183418 ()01234 14217352105 E X （3）由（1）得64， 22222 (3064)0.1 (5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324， 所以18，估计在9

48、:46 10:40之间通过的车辆数也就是在46，100)通过的车辆数， 由(64TN， 2 18 )，得， ()(22 ) (6418642 18)0.8186 22 PTPT PT 剟 剟， 所以估计在在9:46 10:40之间通过的车辆数为10000.8186819辆 22 （12 分）已知函数( )(1) 1 x f xexaxln x （）若0a ，求( )f x的最小值； （）函数( )f x在0 x 处有极大值，求a的取值范围 【解答】解： （1）0a ， 2 ( )1 x f xex，则( )1 x fxe， 当( 1,0)x 时，( )0fx；当(0,)x时，( )0fx； (

49、 )f x在( 1,0)上递减，在(0,)上递增 ( )(0)0 min f xf （）( )1 (1)(1) 1 x x fxea ln xx x 设( )( )g xfx，则 2 11 ( ) 1(1) x g xea xx 当0a时，( )0g x，( )g x在( 1,) 上单调递增， ( 1,0)x 时，( )(0)0g xg；(0,)x时，( )(0)0g xg， ( )f x在( 1,0)上递减，在(0,)上递增，0 x是( )f x的极小值点，与题意矛盾； 当0a 时， 2 11 ( ) 1(1) x g xea xx 在( 1,) 上是增函数，且(0)12ga ， 当 1 0 2 a 时、(0,)x时，( )(0)120g xga 从而( )fx在(0,)上是增数，故有( )(0)0fxf ( )f x在(0,)上是增函数，与题意矛盾； 当 1 2 a 时，若( 1,0)x ，则( )(0)120g xga ， 从而( )fx在( 1,0)上是减函数，故有( )(0)0fxf， 第 23 页（共 23 页） ( )f x在( 1,0)上是增函数， 若(0, )xa，由（1）知，1 a ea，则 2 11 ( ) 1(1) a g aea aa 32 22 1121 10 1(1)(1) aaa aa aaa ， 又(0)120ga ，存在 0 (0