1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 已知 M, N 均为 R 的子集，且 R M N ，则 M N（ ） R A. B. M C. N D. R 【答案】B 【解析】
2、【分析】 由题意利用集合的包含关系或者画出 Venn 图，结合 Venn 图即可确定集合的运算结果. RM N ,M N ，据此可得 M N M . 【详解】解法一： R R 故选：B. 解法二：如图所示，设矩形 ABCD 表示全集 R， 矩形区域 ABHE 表示集合 M，则矩形区域 CDEH 表示集合 R M ， 矩形区域 CDFG 表示集合 N，满足RM N ， 结合图形可得： M N M . R 故选：B. 2. 在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生 分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A. 1 6 B. 1 3
3、C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为 A, B,C ，他们的学号分别为1,2,3， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如1,3, 2表示 A同学拿到1号 ，B 同学拿到3号 ，C 同学拿到 2 号. 三人可能拿到的卡片结果为：1, 2,3,1,3, 2,2,1, 3, 2, 3,1, 3,1, 2 , 3, 2,1，共 6 种， 其中满足题意的结果有1,3, 2,2,1, 3,3, 2,1，共 3 种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： 3 1 p . 6
4、 2 故选：C. 【点睛】方法点睛： 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏 (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 3. 关于 x的方程 x2 ax b 0 ，有下列四个命题：甲： x 1是该方程的根；乙： x 3是该方程的根； 丙：该方程两根之和为 2 ；丁：该方程两根异号如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】 对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程 x2 ax b 0
5、 的两根，进而可得出结 论. 【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0 的一根为3， 由于两根之和为 2 ，则该方程的另一根为 1，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则 x 1是方程 x2 ax b 0 的一根， 由于两根之和为 2 ，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意； 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0 的两根为1和3，两根同号，不合乎题 意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0 的两根为1和3， 两根之和为 4 ，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A
6、. 【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分 类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断. x y 2 2 4. 椭圆 2 2 1 0 m 的焦点为 m 1 m F 、 1 F ，上顶点为 A，若 F AF ，则 m （ ） 2 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 为等边三角形，可得出 a 2c ，进而可得出关于 m 的等式，即可解得 m 的值. F AF 分析出 1 2 x y 2 2 【详解】在椭圆 2 2 1 m 0 中， a m2 1 ， b m ， c a2 b2
7、1， m 1 m 如下图所示： x y 2 2 因为椭圆 的上顶点为点 A，焦点为 F 1 、 F 2 ，所以 A F 1 AF 2 a， 2 2 1 m 0 m 1 m Q F AF ，F AF 为等边三角形，则 1 2 3 1 2 AF F F ，即 m2 1 a 2c 2， 1 1 2 因此， m 3 . 故选：C. 5. 已知单位向量 a,b 满足 ab 0 ，若向量 c 7a 2b ，则sina,c （ ） A. 7 3 B. 2 3 C. 7 9 D. 2 9 【答案】B 【解析】 【分析】 本题借助 cosa,c a c 将 c 7a 2b 代入化简即可. a c 【详解】因为
8、a,b 是单位向量，所以 a b 1. 2 2 2 因为 c 7a 2b ，所以 c 7a 2b 7a 2b 7 a 2 b 3 . 2 7 2 7 2 7 7 ac a ab a a b 所以 cosa,c = 3 a c a c a c c 2 7 2 所以 a c sin , 1 3 3 . 故选：B. 2 3 9 6. 1 x 1 x 1 x 的展开式中 x2 的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 2 3 9 1 x 1 x 1 x 的 展 开 式 中 x2 的 系 数 是 C2 C2 C2 C2 ， 借 助 组 合 公 式
9、： 2 3 4 9 C C C ，逐一计算即可. m 1 m m n n n1 2 3 9 C2 C2 C2 C2 【详解】1 x 1 x 1 x 的展开式中 x2 的系数是 2 3 4 9 Cm 1 Cm Cm C C ，所以 2 2 3 2 3 且 2 3 C C C C C ， 因为 n n n1 2 3 2 3 3 3 4 所以 C C C C C C ， 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 4 5 1098 以此类推，C C C C C C C 2 2 2 2 3 2 3 120. 2 3 4 9 9 9 10 321 故选：D 【点睛】本题关键点在于使用组合公式： ，以达到简化
10、运算的作用. C 1 C C m m m n n n1 y2 2px 上三点 A(2, 2), B,C ，直 线 AB, AC 是圆 (x 2)2 y2 1的两条切线，则直线 BC 7. 已知抛物线 的方程为（ ） A. x 2y 1 0 B. 3x 6y 4 0 C. 2x 6y 3 0 D. x 3y 2 0 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用点 A(2, 2) 求抛物线方程，利用相切关系求切线 AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点 B,C ，即 求出直线 BC 方程. 【详解】 A(2, 2) 在抛物线 y2 2px 上，故 22 2p2，即 p 1，抛物线方程为 y2 2x，
11、设过点 A(2, 2) 与圆 (x 2)2 y2 1相切的直线的方程为： y 2 k x 2 ，即 kx y 2 2k 0 ，则 圆心2, 0到切线的距离 d 2k 0 2 2k k 1 2 1 ，解得 k 3 ，如图，直线 AB : y 2 3 x 2 ， 直线 AC : y 2 3 x 2 . y 2 3 x 2 联立 y 2x 2 ，得 2 3x 4 3 14 x 16 8 3 0 ， 故 16 8 3 x x ，由 x A 2得 A B 3 x B 8 4 3 ，故 3 y B 2 3 6 ， 3 2 3 2 y x 联立 y 2x 2 ，得 2 3x 4 3 14 x 16 8 3
12、0 ， 故 16 8 3 x x ，由 x A 2得 A C 3 x C 8 4 3 ，故 3 y C 2 3 6 ， 3 故 2 3 6 2 3 6 4 y y ，又由 B,C 在抛物线上可知， B C 3 3 y y y y 2 2 1 k B C B C 直线 BC 的斜率为 x x y 2 y 2 y y ， BC 1 1 4 2 B C B C B C 2 2 故直线 BC 的方程为 2 3 6 1 8 4 3 y x 3 2 3 ，即3x 6y 4 0. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 求圆的切线的方程的求法： （1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参
13、数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 8. 已知 a 5且 a 5 b 且be4 4eb , c 3且ce3 3ec ，则（ ） e 5ea , 4 A. c b a B. b c a C. a c b D. a b c 【答案】D 【解析】 【分析】 e x f x x 令 , 0 ，利用导数研究其单调性后可得 a,b,c 的大小. x 【详解】因为 ae5 5ea, a 5 ，故 a 0 ，同理b 0,c 0 ， e e x x x 1 令 f x ,x 0 ，则 f x ， x x 2 当 0 x 1时， f x 0，当 x
14、 1时， f x 0， 故 f x 在0,1为减函数，在 1,为增函数， 因为 ae5 5ea, a 5 ，故 e e 5 a ，即 f 5 f a ，而 0 a 5， 5 a 故 0 a 1，同理0 b 1， 0 c 1， f 4 f b ， f 3 f c 因为 f 5 f 4 f 3 ，故 f a f b f c， 所以 0 a b c 1. 故选：D 【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其 单调性，此类问题，代数式变形很关键 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对
15、的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9. 已知函数 f (x) xln(1 x) ，则（ ） A. f (x) 在(0,)单调递增 B. f (x) 有两个零点 1 1 C. 曲线 y f (x) 在点 , f 2 2 处切线的斜率为 1 ln 2 D. f (x) 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据函数的定义域可判断 D，利用函数的导数的正负可判断 A，利用导数的几何意义可判断 C，根据函数值 的情况及零点定义可判断 B. 【详解】由 f (x) xln(1 x) 知函数的定义域为 (1,)， f x (x) ln(1 x) 1 x ， x 当 x(0,)
16、时， ln(1 x) 0, 0， f (x) 0 ， 1 x 故 f (x) 在(0,)单调递增，A 正确； 由 f (0) 0，当 1 x 0 时， ln(1 x) 0, f (x) xln(1 x) 0， 当 ln(1 x) 0, f (x) 0 ，所以 f (x) 只有 0 一个零点，B 错误； 令 1 1 1 1 1 x ， ( ) ln 1 ln 2 1 f ，故曲线 y f (x) 在点 , f 2 2 2 2 2 处切线的斜率为 1 ln 2 ， C 正确； 由函数的定义域为 (1,)，不关于原点对称知， f (x) 不是偶函数，D 错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本
17、题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜 率，属于中档题. 10. 设 z1, z 2 , z 3 为复数， z 1 0 下列命题中正确的是（ ） A. 若 z 2 z 3 ，则 z 2 z 3 B. 若 z1z 2 z1z 3 ，则 z 2 z3 C. 若 z 2 z 3 ，则 z1z 2 z1z 3 D. 若 2 z z z ，则z z 1 2 1 1 2 【答案】BC 【解析】 【分析】 取特殊值法可判断 AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断 BC. 【详解】由复数模的概念可知， z z 不能得到 2 3 z z ，例如 2 3 z z ，A 错误；
18、2 1 i, 3 1 i 由 z z z z 可得 1 2 1 3 z z z ，因为 1( 2 3 ) 0 z ，所以 1 0 z z ，即 2 3 0 z z ，B 正确； 2 3 因为 z1z 2 | z 1 | z |， 2 z z z z ，而 1 3 | 1 | 3 | z z ，所以| z | z | z |，所以 2 3 2 3 2 z z z z ，C 正确； 1 2 1 3 取 z 1 1 i, z 2 1i ，显然满足 2 z z z ，但 z 1 z 2 ，D 错误. 1 2 1 故选：BC 11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. AE / /
19、CD B. CH / /BE C. DG BH D. BG DE 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图， 由图形可知， AE CD ，故 A 错误； 由 HE/BC, HE BC ，四边形 BCHE 为平行四边形，所以CH / /BE ，故 B 正确； 因为 DG HC, DG BC , HC BC C ,所以 DG 平面 BHC ,所以 DG BH ，故 C 正确； 因为 BG/AH ，而 DE AH ,所以 BG DE ，故 D 正确. 故选：BCD 12. 设函数 f (x) cos 2x 2s
20、in xcos x ，则（ ） A. f (x) f (x ) B. f (x) 的最大值为 1 2 C. f (x) 在 ,0 4 单调递增 D. f (x) 在 0, 单调递减 4 【答案】AD 【解析】 【分析】 先证明 f (x) 为周期函数，周期为 ，从而 A 正确，再利用辅助角公式可判断 B 的正误，结合导数的符号可 判断 C D 的正误 【详解】 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x) cos 2x 2sin xcos x ， cos2x 2 cos 2x f (x ) f x 2 sin x cos x 2 sin xcos x ，故 A 正确 又 f (x) 2cos
21、2x 2cos 2x 4 2 sin xcos x 4 sin 2x ，令 y 2cos 2x 4 sin 2x ， 则 4y 2cos 2x ysin 2x 4 y cos 2x ， 2 2 y cos , sin 其中 4 y 4 y 2 2 ， 故 4y 4 y 2 1 即 y ，故 2 15 2 15 2 4 y ， 15 15 15 当 2 15 15 1 y 时，有 cos , sin ，此时 cos2x 1即 15 4 4 x k ， 2 故 2 15 y ，故 B 错误 max 15 22 sin 2x4 sin 2x 2cos2 2x 4 1 4 sin 2x f (x) 2
22、 2 x x 4 sin 2 4 sin 2 ， 当 0, 时， f (x) 0，故 f (x) 在 0, x 4 4 为 减函数，故 D 正确 当 x ,0时， 1 sin 2x 0，故 31 4sin 2x 1， 4 因为t 2x 为增函数且 2x ,0 2 ，而 y 1 4sint 在 ,0 为增函数， 2 所以 hx1 4sin 2x 在 ,0 4 上为增函数， 故1 4sin 2x 0 在 ,0 4 有唯一解 x ， 0 故当 xx 0 ,0 时， hx 0 即 f (x) 0 ，故 f (x) 在x 为减函数，故 C 不正确 0 ,0 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的
23、复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究 需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来 研究，注意辅助角公式在求最值中的应用 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体 积为_ 【答案】 6 1 【解析】 【分析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为 5，故下底面在外接球的大圆上， 如图所示，设球的球心为 O，圆台上底面的圆
24、心为 O ， 则圆台的高OO OQ2 OQ2 52 42 3 ， 1 据此可得圆台的体积： V 3 5 5 4 4 61 . 2 2 3 故答案为： 61 . 【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用 几何关系确定圆台的高度即可求得其体积. 14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_， _ 【答案】 (1). 1 3 (2). 3 【解析】 【分析】 先设对角线的倾斜角 ，利用斜率定义列关系 tan 2，结合正方形性质求得直线 OA与直线 OB 的倾斜 角，计算正切值求斜率即可. 【详解】正方形
25、 OABC 中，对角线 OB 所在直线的斜率为 2，建立如图直角坐标系， 设对角线 OB 所在直线的倾斜角为 ，则 tan 2， 由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为 45 ，直线OB 的倾斜角为 45， tan tan 45 2 1 1 故 k tan 45 OA 1 tan tan 45 1 2 3 ， k OB tan tan 45 2 1 tan 45 3 . 1 tan tan 45 1 2 故答案为： 1 3 ； 3. 【点睛】方法点睛： 求直线斜率的方法： （1）定义式：倾斜角为 ，对应斜率为 k = tan ； （2）两点式：已知两点坐标 1, 1 , 2, 2 A x y B
26、 x y ，则过两点的直线的斜率 k AB y y 2 1 x x 2 1 . 15. 写出一个最小正周期为 2 的奇函数 f (x) _ 【答案】 f (x) sin x 【解析】 【分析】 根据奇函数性质可考虑正弦型函数 f (x) Asinx ，A 0 ，再利用周期计算 ，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为 2，可考虑三角函数中的正弦型函数 f (x) Asinx ，A 0 ， 满足 f (x) sinx f (x) ，即是奇函数； 根据最小正周期T 2 2 ，可得 . 故函数可以是 f (x) Asin x A 0 中任一个，可取 f (x) sin x . 故答案为： f (
27、x) sin x . 16. 对一个物理量做 n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差 2 n N 0, n 在 (0.5, 0.5)的概率不小于 0.9545，至少要测量_次（若 X N , ， 2 ，为使误差 n 则 P(| X | 2) 0.9545) ） 【答案】32 【解析】 【分析】 2 0, n N 因为 n ，得到 0 ， 2 ，要使误差 n 在 (0.5, 0.5)的概率不小于 0.9545， n 则 2, 2 0.5, 0.5，得到不等式计算即可. 在 (0.5, 0.5)的概率不小于 0.9545， 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差
28、n 则 2, 2 0.5, 0.5且 0 ， 2 ， n 2 所以 0.5 2 n 32 . n 故答案为：32. 2 n N 0, 【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从 读出所需信息. n 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知各项都为正数的数列 a 满足 n a 2 2a 1 3a n n n （1）证明：数列 a a 为等比数列； n n1 1 3 a , a ，求 a 的通项公式 （2）若 1 2 n 2 2 【答案】（1）证明见解析；（2） a n 3 n1 （ n 2 N ） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 两 边
29、同 时 加 上 an 1 即 可 得 到 数 列 a a 为 等 比 数 列 ； （ 2 ） 利 用 待 定 系 数 法 构 造 n n1 a 2 3a 1 k a 1 3a ，通过整理解出 k 1，进而得到 an 2 3an 1 an 1 3a n ，所以 a 是 n n n n n 1 以 a 为首项，3 为公比的等比数列，即可得到答案. 1 2 【详解】（1）由 an 2 2an 1 3a n 可得： 2 1 3 1 3 3 1 a a a a a a n n n n n n a 1 a 2 0 ， 因为各项都为正数，所以 所以 a a 是公比为 3 的等比数列. n n1 （2）构造
30、2 3 1 1 3 ，整理得： 2 3 1 3 a a k a a a k a ka n n n n n n n 所以 k 1，即 2 3 1 1 3 a a a a n n n n 1 a a a a ，所以 1 3 0 1 3 a 是以 a 为首项，3 为公比的等比数列. 所以 n n n n n 1 2 所以 a n 3 n1 （ n 2 N ） 【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出 是关 a 2 3a 1 k a 1 3a n n n n 键. 18. 在四边形 ABCD中， AB/CD ， AD CD BD 1 （1）若 3 AB ，求 BC ； 2 （
31、2）若 AB 2BC ，求 cosBDC 【答案】（1） 2 BC ； （ 2） cosBDC 3 1. 2 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理计算得出cosABD ，进而可得出 cosBDC ，然后在BCD中，利用余弦定理可计 算出 BC ； （2）设 BC x，利用余弦定理结合 BDC ABD可得出关于 x 的方程，进而可解得 x 的值，即可求得 cosBDC . AB2 BD2 AD2 3 【详解】（1）在ABD中，由余弦定理可得 cosABD 2AB BD 4 ， CD/AB，BDC ABD ， 在BCD中，由余弦定理可得 2 2 2 1 BC BD CD BDCD BDC ， 2
32、 2 cos BC ； 2 2 （2）设 BC x，则 AB 2x ， 在ABD中， AB2 BD2 AD2 4x2 cosABD x 2AB BD 4x ， 在BCD中， BD2 CD2 BC2 2 x2 cosBDC 2BDCD 2 ， 由（1）可知， BDC ABD，所以， cosBDC cosABD ，即 2 2 x 2 x ， 整理可得 x2 2x 2 0，因为 x 0，解得 x 3 1， 因此， cosBDC cosABD x 3 1 . 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原
33、则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有 a 、b 、 c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1，2，3 需要调整的概率分别为 0.1，0.2，0.3， 各部件的状态相互独立 （1）求设备在一天的运转中，部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率； （2）记设
34、备在一天的运转中需要调整的部件个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析， E X 0.6 . 【解析】 【分析】 (1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值； (2)首先确定 X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件 1 需要调整为事件 A，部件 2 需要调整为事件 B，部件 3 需要调整为事件 C， 由题意可知： PA 0.1,PB 0.2,PC 0.3. 部件 1，2 中至少有 1 个需要调整的概率为： 1 1 PA 1 PB 1 0.90.8 1 0.72 0.28 . (2
35、)由题意可知 X 的取值为 0，1,2,3. 且： PX 0 1 PA 1 PB 1 PC 1 0.11 0.2 1 0.3 0.504 ， PX 1 PA1 PB 1 PC 1 PA PB1 PC 1 PA 1 PB PC 0.10.80.7 0.90.20.7 0.90.80.3 0.398 ， P X P A P B P C PA1 PB PC 1 PA PCPB 2 1 0.10.20.7 0.10.80.3 0.90.20.3 0.092 . P X P A P B P C ， 3 0.1 0.2 0.3 0.006 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 PX 0.504 0.3
36、98 0.092 0.006 其数学期望： E X 0.5040 0.3981 0.0922 0.0063 0.6 . 【点睛】思路点晴： 求离散型随机变量 X 的数学期望的一般步骤： （1）先分析 X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到 X 的分布列； （3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出 X 的数学期望. 20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容 用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的 内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体
37、面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体 各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3 ，所以正四面体在各顶点的曲 率为 2 3 ，故其总曲率为 4 3 （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数 2 ，证明：这类多面体的总曲率是常数 【答案】（1） 4 ； （ 2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱 数、面数分别为 n、 l 、 m ，设第i 个面的棱数为 x ，所以 i x x x l ，按照公式计算总曲率即 1 2 m 2 可. 【详解
38、】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和. 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知： 四棱锥共有 5 个顶点，5 个面，其中 4 个为三角形，1 个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由 4 个为三角形，1 个为四边形组成， 则其总曲率为： 2 54 2 4 . （2）设顶点数、棱数、面数分别为 n、l 、 m ，所以有 nl m 2 设第i 个面的棱数为 x i ，所以 x 1 x 2 x m 2l 所以总曲率为： 2 n x 2 x 2 x 2 1 2 m 2n 2l 2m 2 n l m 4 所以这类多面体的总曲率是
39、常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键 x y 2 2 21. 双曲线 C a b 的左顶点为 A，右焦点为 F ，动点 B 在C 上当 BF AF 时， : 1( 0, 0) a b 2 2 | AF | BF | （1）求C 的离心率； （2）若 B 在第一象限，证明： BFA 2BAF 【答案】（1） 2 ； （ 2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件可得 b 2 a a c ，据此可求离心率. B x0, y 0 ，则 （2）设 tan BFA y 0 x c 0 ， tan BAF y 0 x a 0 ，再计算 tan
40、2BAF ，利用点在双曲 线上化简后可得 tan 2BAF tanBFA，从而可得结论成立. b 2 【详解】（1）设双曲线的半焦距为 c，则 F c,0 ， B c, a ， 因为| AF | BF |，故 b 2 a a c ，故 c2 ac 2a2 0，即 e2 e 2 0， 故 e 2. （2）设 Bx0, y 0 ，其中 x 0 a, y 0 0 . 因为 e 2，故 c 2a ，b 3a ， 故渐近线方程为： y 3x ，所以 0, BAF 3 2 BFA0, ， 3 ， 又 tan y y BFA 0 0 x c x 2a 0 0 ， tan BAF y 0 x a 0 ， 所以
41、 tan 2y 0 x a 2y x a 2y x a 2BAF 0 0 0 0 0 2 2 2 2 x a y x y x a b 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 a x a 0 2y x a 2y x a 2y 0 0 0 0 0 x x a x a x a 3 x a 2 2 2 2 3 2 2 0 0 0 0 0 x a a 3 10 2 a y tan 0 BFA ， x0 2a 2 2 0, BAF 因为故 ， 3 故 BFA 2BAF . 【点睛】方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到 a,b,c 一组等量关系（齐次式）. （2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注
42、意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足 的方程化简目标代数式. 22. 已知函数 f (x) ex sin x cos x, g(x) ex sin x cos x （1）证明：当 x 5 时， f (x) 0 ； 4 （2）若 g(x) 2 ax ，求 a 【答案】(1)证明见解析；(2) a 2. 【解析】 【分析】 (1)由题意分类讨论当 5 x , 4 4 ， x ,0 ， x0, ，几种情况即可证得题中的结论. 4 (2)观察(1)中的结论，首先讨论 x 5 时 a 的取值，然后验证当 4 x 5 时不等式成立即可求得实数 a 的 4 值. 【详解】(1)分类讨论
43、： .当 5 x , 4 4 f x e x ， 2 sin 0 x 4 ； .当 x ,0 4 时， f x ex cos x sin x, f 0 0 ， f x e x x e x x sin cos x 2 sin 0 4 ， 则函数 f x 在 ,0 4 上单调增，则 f x f 0 0， 则函数 f x 在 ,0 4 上单调减，则 f x f 0 0 ； .当 x 0时，由函数的解析式可知 f 0 10 1 0 ， 当 x0, 时，令 H x sin x x x 0，则 H x cos x 1 0 ， 故函数 H x 在区间0,上单调递增，从而： H x H 0 0， 即 sin
44、x x 0,sin x x ， f x e x x e x ， 从而函数 sin cos 1 x x 令 y ex x 1，则： y ex 1， 当 x 0 时， y 0，故 y ex x 1在0, 单调递增， 故函数的最小值为 y e ， min 0 1 0 0 从而： ex x 1 0 . f x e x x e x ； 从而函数 sin cos 1 0 x x 综上可得，题中的结论成立. (2) 当 5 x 时， 4 令 hx g xax 2 e sinx cosx ax 2 x 则 hx e cosx sin x a ， hx f x 0，故 hx单调递增， x 当 a 2时， h a
45、 ， ln 2 2 2 sin ln 2 0 0 2 0 h a a 4 ， 使得 hx ， x 1 0,lna 2 1 0 0 x x 时， hx 0,hx 单调递减， hx h0 0 不符合题意; 当 1 当 a 2时， 2 1 0 h e a 2 ，而 h0 0， 2 ,0 x 故 2 使得 2 0 h x ， 当 x x 时， hx 0,hx 单调递减， 2 2 x 2 x 0 时， hx 0,hx 单调递增， 当 故当 xx 2 ,0 时， hx h(0) 0，不符合题意; 故 a 2不符合题意， 当 a=2 时， hx e cosx sin x 2 ， x 由于 hx单调递增， h0 0，故： 5 时， hx 0,hx 单调递减; x 0 4 x 时， hx 0,hx 单调递增， 0 此时 hx h0 0 当 x 5 5 时， h x e sin x cosx 2x 2 0 2 2 0 ， x 4 2 综上可得，a=2. 【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能 直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
