1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ，则(AB ) A 1，0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1 2 （5 分）已知等比数列 n a的各项都是正数，且 37 9a a ，则 5 (a ) A9 B3 C3 D3 3
2、 （5 分）若R，sincos0，tansin0，则是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4 （5 分）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( ) A B C D 5 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，M为 11 AC与 11 B D的交点若ABa， ADb， 1 AAc，则下列向量中与AM相等的向量是( ) 第 2 页（共 17 页） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 6 （5 分）已知1x ，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A 2 1 0 x B 1
3、2x x Csin0 xx Dcos0 xx 7 （5 分）已知直线l 平面，则“直线m 平面”是“ml”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知过点(2, 4)M的直线l与圆 22 :(1)(2)5Cxy相切，且与直线 :230m axy垂直，则实数a的值为( ) A4 B2 C2 D4 9 （5 分）已知函数 2 ( )(0)f xaxx a，若对任意 1 x， 2 2x ，)，且 12 xx，都有 1212 ( )() ()0f xf xxx，则实数a的取值范围是( ) A 1 ( ,) 2 B 1 ,) 2 C 1 ,)
4、4 D 1 ( ,) 4 10（5 分） 边长为 4 的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为 4 ， 则球O的表面积为( ) A64 B32 C16 D128 11 （5 分）已知 2 1 n Snna是一个等差数列的前n项和，对于函数 2 ( )f xxax， 若数列 1 ( )f n 的前n项和为 n T，则 2020 T的值为( ) A 2021 2022 B 2018 2019 C 2019 2020 D 2020 2021 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的 直线与双曲线的右支有且只
5、有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) 第 3 页（共 17 页） A(1，2 B(1,2) C2，) D(2,) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 已知向量a、b不共线，3cab，(2)dmamb， 若/ /cd， 则实数m 14 （5 分）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等 奖的概率为 0.05， 中二等奖的概率为 0.16， 中鼓励奖的概率为 0.40， 则不中奖的概率为 15 （5 分）为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度C（单
6、位：/ )mg L随时间t（单位：) h的变化关系为 2 24 9 t C t ，则池水中药品的浓度最大可达到 /m gL 16 （5 分）已知函数( )2sin(2) 3 f xx ，将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度后， 得到函数( )g x的图象，现有如下命题： 1 p：函数( )g x的最小正周期是2； 2 p：函数( )g x在区间(,0) 3 上单调递增； 3 p：函数( )g x在区间0, 2 上的值域为 1，2 则下述命题中所有真命题的序号是 23 ()pp； 13 ()pp ； 23 pp； 12 pp 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题
7、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分） （）解不等式 25 0 3 x x ； （）已知函数 2 ( )1(0)f xmxmxm，若( )0f x 对于一切实数x都成立，求m的取 值范围 18 （12 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 7 14S ， 212 10aa （1）求 n a； （2）设2 n a n b ，证明数列 n b是等比数列，并求其前n项和 n T 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 222 2 s i ns i ns i n
8、s i ns i n 3 ACBAC，2c 第 4 页（共 17 页） （1）求sin B的值； （2）设D在BC边上，且2BDADDC，求ABC的面积 20 （12 分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的 举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图 1 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取 100 个进行政策 问询如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？ （2） 为了更好地了解商户的收入情况， 工作人员还对某果
9、蔬经营点最近 40 天的日收入进行 了统计（单位：元） ，所得频率分布直方图如图 2 （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） ； （） 若从该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数中随机抽取两天， 求这两天的日收入至 少有一天超过 250 元的概率 21 （12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，抛物线 2 C的焦点与椭圆 1 C的 右焦点F重合， 1 C的中心与 2 C的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交 1 C于A，B两点， 交 2 C于C，D两点 （1）求 AB CD 的值；
10、（2）设M为 1 C与 2 C的公共点，若 2 7 3 OM ，求 1 C与 2 C的标准方程 22（12分） 如图， 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，60DABDBF ， 且F A F C （）求证：平面ACF 平面ABCD； （）求二面角AFCB的余弦值 第 5 页（共 17 页） 第 6 页（共 17 页） 2020-2021 学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省榆林市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中
11、，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ，则(AB ) A 1，0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1 【解答】解：集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ， 则0AB ，1，2 故选：C 2 （5 分）已知等比数列 n a的各项都是正数，且 37 9a a ，则 5 (a ) A9 B3 C3 D3 【解答】解：等比数列 n a的各项都是正数，且 37 9a a ，则 2 537 9aa a， 5 3a， 故选：C 3 （5 分）若R，sincos0，tansin0，则是
12、( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【解答】解：sincos0， 在第二四象限， tansin0， 在第二三象限， 故的终边在第二象限， 故选：B 4 （5 分）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( ) 第 7 页（共 17 页） A B C D 【解答】解：由已知中的空间几何体的正视图和俯视图可得： 该几何体是一个底面半径为 1，高为 1 的圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得的组合体， 故其侧视图为： 故选：B 5 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，M为 11 AC与 11 B D的交点若ABa， ADb， 1 AAc，则
13、下列向量中与AM相等的向量是( ) A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 【解答】解： 11111111 111 ()() 222 AMAAAMcACcADABcab， 第 8 页（共 17 页） 故选：B 6 （5 分）已知1x ，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A 2 1 0 x B 1 2x x Csin0 xx Dcos0 xx 【解答】解：1x ， 2 10 x ， 1 2x x ， 又sin x，cos 1x ，1， sin0 xx，cos0 xx 可得：ABC成立，D不成立 故选：D 7 （5 分）已知直线l 平面，
14、则“直线m 平面”是“ml”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若直线m垂直于平面，则直线m必垂直平面内的直线l， 但直线m要垂直于平面，则m要垂直于平面内的两条相交直线，故ml无法推知直 线m 平面， 故“直线m 平面”是“ml”的充分不必要条件， 故选：A 8 （5 分）已知过点(2, 4)M的直线l与圆 22 :(1)(2)5Cxy相切，且与直线 :230m axy垂直，则实数a的值为( ) A4 B2 C2 D4 【解答】解：根据题意，圆 22 :(1)(2)5Cxy，圆心(1, 2)C， 而点(2, 4)M，则有 22 (
15、2 1)( 42)5 ，则点M在圆C上， 若过点M的切线与直线:230m axy 垂直，则直线CM与直线m平行， 而直线MC的斜率 ( 4)( 2) 2 2 1 k， 则有2 2 a ，则4a ， 故选：D 第 9 页（共 17 页） 9 （5 分）已知函数 2 ( )(0)f xaxx a，若对任意 1 x， 2 2x ，)，且 12 xx，都有 1212 ( )() ()0f xf xxx，则实数a的取值范围是( ) A 1 ( ,) 2 B 1 ,) 2 C 1 ,) 4 D 1 ( ,) 4 【 解 答 】 解 ： 因 为 2 ( )f xaxx对 任 意 1 x， 2 2x ，)，
16、且 12 xx， 都 有 1212 ()() ()0fxfxxx， 所以 12 ( )()0f xf x即 12 ( )()f xf x， 所以( )f x在2，)上单调递增， 0 1 2 2 a a ，解得， 1 4 a 故选：C 10（5 分） 边长为 4 的正方形ABCD的四个顶点都在球O上，OA与平面ABCD所成角为 4 ， 则球O的表面积为( ) A64 B32 C16 D128 【解答】解：如图，设正方形ABCD外接圆的圆心为 1 O，由题意， 1 4 OAO ，则 1 cossin4 44 AOAOADAOAD ，表面积 2 4464S 故选：A 11 （5 分）已知 2 1 n
17、 Snna是一个等差数列的前n项和，对于函数 2 ( )f xxax， 若数列 1 ( )f n 的前n项和为 n T，则 2020 T的值为( ) 第 10 页（共 17 页） A 2021 2022 B 2018 2019 C 2019 2020 D 2020 2021 【解答】解： 2 1 n Snna是一个等差数列的前n项和， 可得10a ，解得1a ， 所以函数 2 ( )f xxx， 数列 1 ( )f n 即 2 1 nn ， 2 111 1nnnn ， 所以数列 2 1 nn 的前n项和为 11111111 11 2233411 n T nnn ， 则 2020 12020 1
18、 20212021 T 故选：D 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A(1，2 B(1,2) C2，) D(2,) 【解答】解：已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F， 若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b a ， 3 b a ，离心率 222 2 22 4 cab e aa ， 2e ， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4
19、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量a、b不共线，3cab，(2)dmamb，若/ /cd，则实数m 3 【解答】解：向量a、b不共线，3cab，(2)dmamb， 若/ /cd，则3(2)0mm， 解得3m 故答案为：3 第 11 页（共 17 页） 14 （5 分）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等 奖的概率为 0.05，中二等奖的概率为 0.16，中鼓励奖的概率为 0.40，则不中奖的概率为 0.39 【解答】解：某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项， 其中中一等奖的概率为 0.05，中
20、二等奖的概率为 0.16，中鼓励奖的概率为 0.40， 则不中奖的概率为10.050.160.400.39P 故答案为：0.39 15 （5 分）为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度C（单 位：/ )mg L随时间t（单位：) h的变化关系为 2 24 9 t C t ，则池水中药品的浓度最大可达到 4 /mg L 【解答】解：0t ， 2 242424 4 9 99 2 t C t t t t t ，当且仅当 9 t t 即3t 时，等号成立， 池水中药品的浓度最大可达到4/mg L 故答案为：4 16 （5 分）已知函数( )2sin(2) 3 f xx ，将函
21、数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度后， 得到函数( )g x的图象，现有如下命题： 1 p：函数( )g x的最小正周期是2； 2 p：函数( )g x在区间(,0) 3 上单调递增； 3 p：函数( )g x在区间0, 2 上的值域为 1，2 则下述命题中所有真命题的序号是 23 ()pp； 13 ()pp ； 23 pp； 12 pp 【解答】解：函数( )2sin(2) 3 f xx ，将函数( )f x的图象向右平移 4 个单位长度后，得到 函数( )2sin(2) 6 g xx 的图象， 所以：A：函数的最小正周期为，故 1 p为假命题， 第 12 页（共 17 页） B：
22、当(,0) 3 x 时，故 5 2(,) 666 x ，所以函数的图象先减后增，故 2 p为假命题； 2 p为真命题； C：当0, 2 x 时，所以 5 2, 666 x ，则( ) 1g x ，2，故 3 p为真命题； 3 p为假 命题； 所以： 23 ()pp为真命题； 13 ()pp 为假命题； 23 pp为真命题； 12 pp为假 命题； 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分） （）解不等式 25 0 3 x x ； （）已知函数 2 (
23、)1(0)f xmxmxm，若( )0f x 对于一切实数x都成立，求m的取 值范围 【解答】解： （）根据题意，不等式 25 0 3 x x 可转化成不等式(25)(3) 0 xx，但3x ， 解得3x 或 5 2 x， 故原不等式的解集为 5 |3 2 x xx 或 ； （）根据题意，由于0m ， 2 ( )10f xmxmx 对于一切实数x都成立， 则有 2 0 40 m mm ，解之得40m ， 故m的取值范围是( 4,0) 18 （12 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 7 14S ， 212 10aa （1）求 n a； （2）设2 n a n b ，证明数列 n b是
24、等比数列，并求其前n项和 n T 【解答】解（1）根据题意， n a是等差数列， 若 7 14S ， 212 10aa，则有 71 72114Sad， 2121 21210aaad， 联立解得 1 1a ，1d ， 第 13 页（共 17 页） 所以2 n an； （2）证明：由 2 22 n an n b ，则 1 1 1 2 22 2 22 n n an n an n b b ， 故列 n b是首项为 1 2 ，公比为 2 的等比数列 数列 n b的前n项和 1 1 (12 ) 1 2 2 122 n n n T 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别
25、为a，b，c， 若 222 2 s i ns i ns i ns i ns i n 3 ACBAC，2c （1）求sin B的值； （2）设D在BC边上，且2BDADDC，求ABC的面积 【解答】解： （1）ABC中， 222 2 sinsinsinsinsin 3 ACBAC， 由正弦定理得， 222 2 3 acbac， 所以 222 2 1 3 cos 223 ac acb B acac ； 又(0, )B， 所以 22 12 2 sin1sin1( ) 33 BB； （2）如图所示， 设2BDADDCx，由2cAB， 利用余弦定理得， 222 2cosADABBDAB BDB， 即 2
26、22 1 222 3 xxx ， 解得3x ， 13 22 CDx， 所以ABC的面积为 1132 2 sin2(3)3 2 2223 ABC SAB BCB 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的 举措某市城管委对所在城市约 6000 个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、 衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图 1 （1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取 100 个进行政策 问询如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？ （2） 为了更好地了
27、解商户的收入情况， 工作人员还对某果蔬经营点最近 40 天的日收入进行 了统计（单位：元） ，所得频率分布直方图如图 2 （） 请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入 （同一组中的数据用该组区间 的中点值为代表） ； （） 若从该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数中随机抽取两天， 求这两天的日收入至 少有一天超过 250 元的概率 【解答】解： （1）由题意知，小吃类所占比例为： 125%15%10%5%5%40%， 按照分层抽样的方式随机抽取， 应抽取小吃类商贩：10040%40（家)， 果蔬类商贩100 15%15（家) （2）( ) i该果蔬经营点的日平均收入为： (75
28、 0.002 125 0.009 175 0.006225 0.002275 0.001) 50 152.5（元) （）该果蔬经营点的日收入超过 200 元的天数为 6，其中超过 250 元的有 2 天， 记日收入超过 250 元的 2 天为 1 a， 2 a，其余 4 天为 1 b， 2 b， 3 b， 4 b， 随机抽取两天的所有可能情况为： 1 (a， 2) a， 1 (a， 1) b， 1 (a， 2) b， 1 (a， 3) b， 1 (a， 4) b， 2 (a， 1) b， 2 (a， 2) b， 2 (a， 第 15 页（共 17 页） 3) b， 2 (a， 4) b， 1
29、(b， 2) b， 1 (b， 3) b， 1 (b， 4) b， 2 (b， 3) b， 2 (b， 4) b， 3 (b， 1) b，共 15 种， 其中至少有一天超过 250 元的所有可能情况为： 1 (a， 2) a， 1 (a， 1) b， 1 (a， 2) b， 1 (a， 3) b， 1 (a， 4) b， 2 (a， 1) b， 2 (a， 2) b， 2 (a， 3) b， 2 (a， 4) b，共 9 种 所以这两天的日收入至少有一天超过 250 元的概率为 93 155 P 21 （12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，
30、抛物线 2 C的焦点与椭圆 1 C的 右焦点F重合， 1 C的中心与 2 C的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交 1 C于A，B两点， 交 2 C于C，D两点 （1）求 AB CD 的值； （2）设M为 1 C与 2 C的公共点，若 2 7 3 OM ，求 1 C与 2 C的标准方程 【解答】解： （1）因为椭圆 1 C的离心率为 1 2 ，所以设其方程为 22 22 1 43 xy cc ，( ,0)F c， 令xc解得 3 2 yc ，所以3ABc， 又抛物线 2 C的焦点与椭圆 1 C的右焦点( ,0)F c重合，所以设其方程为 2 4ycx， 令xc解得2yc ，所以4CDc， 故 3
31、4 AB CD ； （2）由 22 22 2 1 43 4 xy cc ycx ，消去y得： 22 316120 xcxc，解得 2 3 xc或6c（舍去） ， 所以 22 6 (,) 33 Mcc， 因为 2 7 3 OM ，所以 22 22 62 7 ()() 333 cc ， 所以1c ， 即椭圆方程为 22 1 43 xy ，抛物线方程为 2 4yx 第 16 页（共 17 页） 22（12分） 如图， 四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，60DABDBF ， 且F A F C （）求证：平面ACF 平面ABCD； （）求二面角AFCB的余弦值 【解答】 （）证明：AC与BD交于点
32、O，连接FO、FD， FAFC，O是AC中点，且O是BD中点，FOAC， 四边形BDEF为菱形，60DBF， FDFB，FOBD， 又0ACBD ，FO平面ABCD， FO 平面ACF，平面ACF 平面ABCD （）解：易知OA，OB，OF两两垂直， 以O为原点，OA、OB、OF分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设2AB ，四边形ABCD为菱形，60DAB， 则2BD ，1OB，3OAOF， 故(0O，0，0)，(0B，1，0)，(3,0,0)C ，(0,0, 3)F， ( 3,0, 3)CF ，( 3,1,0)CB ，(0,1,0)OB ， 设平面BFC的一个法向量为( , , )nx y z， 第 17 页（共 17 页） 则 330 30 n CFxz n CBxy ，取1x ，得(1,3, 1)n ， 显然，(0,1,0)OB 为平面ACF的一个法向量， 15 cos, 5| | OB n OB n OBn ， 由图知，二面角AFCB的平面角为锐角， 二面角AFCB得余弦值为 15 5
