1、2020-2021 学年普通高中高三第二次教学质量检测 数学(理科)2021.2.2 第 I 卷 一选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 2 |650, |3 ,Ax xxBx yxAB=+=等于 A.1,+) B.1,3 C.(3,5 D.3,5 2.已知复数 2020. zii= +则|z|等于 . 2A B.1 C.0 D.2 3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示为了了解该地区中小学生的近视形成原因用 分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A.100
2、,40 B.100,20 C.200,40 D.200,20 4.已知正项数列 n a满足 22 11 20, nnnnn aaaaa + =的前 n 项和为 Sn,则 5 3 S a 等于 31 . 4 A 31 . 2 B 15 . 4 C 15 . 2 D 5.如图是函数 f(x)的图象,f(x)的解析式可能是 1 . ( )ln | 1 x A f x x + = B.( ) 1 ln | 1 x f x x = + 11 . ( ) 11 C f x xx =+ + D. 11 ( ) 11 f x xx = + 6.ln.xlny是“ 11 ( )( ) 32 xy 0 时,g(x
3、)=lgx,则方程 f(x)=g(x)的解的个数是 A.9 B.10 C.11 D.12 10.将函数 17 ( )cos4 88 f xx=+的图象向左平移 12 个单位长度,向下平移 7 8 个单位长度后,得到h(x)的图象,若对 于任意的实数, () 12 6 xhx 都是单调递增,则正数 的最大值为 A.2 5 . 2 B 7 . 3 C 7 . 6 D 11,如图 12 ,F F是双曲线 C: 2 22 2 1(0,0) xy ab ab =的左右焦点，过 2 F的直线与双曲线 C 交于 AB 两点若 11 |:| 3:4:5:ABBFAF =,则该双曲线的渐近线方程为 A.y=2
4、3x B.y=2 2x C.y=3x D.y=2x 12.已知函数 2 44 ( )()ln,1,) x f xkxk kx =+,曲线 y=f(x)上总存在两点 1122 (,),)(M x yN xy使曲线 y= f(x)在 MN 两点处的切线互相平行,则 12 xx+的取值范围为 A.4,+) B.(4,+) 16 .,) 5 C+ 16 .(,) 5 D+ 第 II 卷 二填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置 13.已知 x,y 满足约束条件 2 2, 1 xy yx y + 则 3y z x =的最大值为_. 14.在 23 (23)
5、xx的展开式中,含 2 x的项的系数是_. 15.已知抛物线 2 4yx=的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 AB 两点,且|FA|FB|=6,则|AB|=_. 16.在ABC 中,向量( 3cos ,cos ),(cos ,sin )ABxx ACxx= uuu ruuu r ,则ABC 面积的最大值是_. 三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.(本小题 12 分)在ABC 中,abc 分别是角 ABC 的对边,且(a+b+c)(a+b-c)= 3ab. (I)求角 C 的值; (II)若 c=2,且ABC 为锐角三角形,求 a+b 的
6、取值范围. 18.(本小题 12 分)已知等比数列 n a的前 n 项和为(0), nn SS 满足 123 ,S SS成等差数列,且 1 23. a aa= (I)求数列 n a的通项公式； (II)设 1 3 , (1)(1) n n nn a b aa + = + 求数列 n b的前 n 项和. n T 19.(本小题 12 分)2020 年信阳市为了进一步深化平安校园创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校 学生进行了安全教育知识测试(满分 100 分),并从中随机抽取了 200 名学生的成绩,经过数据分析得到如图 1 所示的频数分布表,并绘制了得分在30,40)以及90, 100
7、的茎叶图,分别如图 23 所示 成绩 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 5 30 40 50 45 20 10 图 1 (I)求这 200 名同学得分的平均数；(同组数据用区间中点值作代表)； (II)如果变量 X 满足(22 )0.9544PX且()330.9974PX,则称变量 X近似满 足正态分布 2 ( ,)N 的概率分布.经计算知样木方差为 210,现在取 和 2 分别为样本平均数和方差,以样本 估计总体,将频率视为概率,如果该校学生的得分近似满足正态分布 2) ( ,N 的概率分布,则认为该校的校 园安全教育是成
8、功的,否则视为不成功试判断该校的安全教育是否成功,并说明理由. (III)学校决定对 90 分及以上的同学进行奖励,为了体现趣味性,采用抽奖的方式进行,其中得分不低于 94 的同 学有两次抽奖机会,低于 94 的同学只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为: 奖金 50 100 概率 34 1 4 现在从不低于 90 分的同学中随机选一名同学,记其获奖金额为 ,以样本估计总体,将频率视为概率,求 的分 布列和数学期望. (参考数据：21014.5) 20.(本小题 12 分)已知椭圆 N: 22 22 1(0) xy ab ab +=)经过点 C(0,1)且离心率为 2 . 2 (I
9、)求椭圆 N 的标准方程与焦距; (II)直线 l: 1 3 ykx=与椭圆 N 的交点为 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M.是否存在常数 ,使AMC=ABC 恒成立,并说明理由. 21.(本小题 12 分)已知函数( )2, ( )ln x f xeaxa g xx=. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)用 maxm,n表示 m,n 中的最大值,若函数 h(x)= maxf(x),g(x)(x0)只有一个零点,求 a 的取值范围. 请考生在 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分 22.(本小题 10 分)已知直线 l 的参数方程为 12 2 xt yt =
10、+ = (t 为参数),以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴,建立极 坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 2 sin . 1sin = (I)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程; (II)若点 P 是曲线 C.上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最小值,并求出此时 P 点坐标. 23.(本小题 10 分)设函数 f(x)=|x+2|-|x-2|. (I)解不等式 f(x)2; (II)当 xR,0t1 时,证明, 11 |2|2| 1 xx tt + . 2 0 2 0 - 2 0 2 1学年普通高中高三第二次教学质量检测 数学理科参考答案 一、 选择题 1.D 2. A 3.
11、D 4. A 5.C 6. A 7.B 8.B 9. C 1 0.B 1 1. A 1 2.B 二、 填空题 1 3. -2 3 1 4. -9 1 5. 6 1 6. 3 4 三、 解答题 1 7. 【 解】 () 由题意知( a+b+c) (a+b-c)=3a b,a 2+ b 2- c 2= a b,2分 由余弦定理可知c o sC= a 2+ b 2- c 2 2a b =1 2, 又C( 0,) ,C= 3 5分 () 由正弦定理可知:a s i nA = b s i nB= 2 s i n 3 =4 3 3, 即a=4 3 3 s i nA,b=4 3 3 s i nB a+b=4
12、 3 3(s i nA+ s i nB)=4 3 3s i nA+ s i n( 2 3 -A) =2 3 s i nA+2 c o sA=4 s i n(A+ 6) , 8分 又 A B C为锐角三角形, 0A 2 0B= 2 3 -A 2 , 1 0分 则 3A+ 6 2 3 , 所以2 34 s i n(A+ 6) 4, 综上a+b的取值范围为( 2 3,41 2分 1 8. 【 解】 () 设数列 an 的公比为q, 依题意得:S1+(-S3)=2S2, 所以-( a2+a3)=2(a1+a2) 即-a1(q+q 2) =2a1(1+q) ,2分 因为a10, 所以q 2+3 q+2=
13、0, 解得q=-1或q=-2, 因为Sn0, 所以q=-2, 4分 又因为a1a2=a3, 所以a 2 1q=a1q 2 即a1=q=-2, 所以a n=(-2) n; 6分 )页 5 共(页 1 第 案答学数科理三高 () 由题意可得: bn= -3(-2) n (-2) n+1 ( -2) n+1+1 = (-2) n+1-( -2) n (-2) n+1 ( -2) n+1+1 8分 = 1 (-2) n+1- 1 (-2) n+1+1, 1 0分 则Tn= 1 (-2) 1+1- 1 (-2) 2+1 + 1 (-2) 2+1- 1 (-2) 3+1 + + 1 (-2) n+1- 1
14、 (-2) n+1+1 =-1- 1 (-2) n+1+1=- (-2) n+1+2 (-2) n+1+1. 1 2分 1 9. 【 解】 () 据频数分布表得: 3 5 0 .0 2 5 + 4 5 0 .1 5 + 5 5 0 .2 + 6 5 0 .2 5 + 7 5 0 .2 2 5 + 8 5 0 .1 + 9 5 0 .0 5 = 6 5, 所以平均数为6 5. 3分 () 该校的安全教育是成功的.理由如下: 因为 2 1 01 4.5, 所以-2=6 5-21 4.5=3 6, +2 =6 5+21 4.5=9 4, -3 =6 5-31 4.5=2 1.5, +3 =6 5+3
15、1 4.5=1 0.8 5,5分 而且据茎叶图2, 3知: 得分小于3 6分的学生有3个, 得分大于9 4分的有4个, 所以P( -2 X0.9 5 4 4, 因为学生的得分都在 3 0,1 0 0 之间, 所以P( -3 X0.9 9 7 4, 所以学生的得分“ 近似满足正态分布N( 6 5,2 1 0) 的概率分布” , 因此该校的安全 教育是成功的. 8分 () 设这名同学获得的奖金为, 则的可能取值为5 0, 1 0 0,1 5 0,2 0 0. P( =5 0) = 6 1 0 3 4= 9 2 0 , P( =1 0 0) = 6 1 0 1 4+ 4 1 0 ( 3 4) 2=3
16、 8, P( =1 5 0) = 4 1 0 C 1 23 4 1 4= 3 2 0 , P( =2 0 0) = 4 1 0 ( 1 4) 2=1 4 0 , 1 0分 分布列为 5 01 0 01 5 02 0 0 P 9 2 0 3 8 3 2 0 1 4 E =5 0 9 2 0 +1 0 03 8+1 5 0 3 2 0 +2 0 0 1 4 0 =8 7.5.1 2分 )页 5 共(页 2 第 案答学数科理三高 2 0. 【 解】 () 因为椭圆N: x 2 a 2+ y 2 b 2=1 ( ab0) 经过点C(0,1) , 且离心率为 2 2 , 所以b=1, c a = 2 2
17、 , 又因为a 2- c 2= b 2, 2分 可解得c=1, a= 2, 焦距为2c=2, 所求椭圆方程为: x 2 2 +y 2=1. 4分 () 存在常数=2, 使AMC=2A B C恒成立, 证明如下: 由 y=k x-1 3 x 2 2 +y 2=1 , 得( 9+1 8k 2) x 2-1 2 k x-1 6=0,0,6分 设A( x1,y1) ,B(x2,y2) , 则x1+x2= 1 2k 9+1 8k 2, x1x2= -1 6 9+1 8k 2 又因为C A =( x1,y1-1) ,C B =( x2,y2-1) ,8分 所以C A C B = x1x2+(y1-1) (
18、y2-1) =x1x2+(k x1-4 3) ( k x2-4 3) =(1+k 2) x1x2-4 3 k(x1+x2)+ 1 6 9 =(1+k 2) -1 6 9+1 8k 2- 4 3 k 1 2k 9+1 8k 2+ 1 6 9 =0,1 0分 所以C A C B , 因为线段A B的中点为M, 所以|MC|=|MB|, 所以AMC=2A B C. 存在常数=2, 使AMC=2A B C恒成立. 1 2分 2 1. 【 解】 : () 函数f( x) 的定义域为R, 且 f ( x)=e x-2 a. 当a0时, f ( x)0对xR恒成立, 所以f(x) 在R上单调递增.2分 当a
19、0时, 令 f ( x)=0, 得x= l n(2a) , 当x(-, l n(2a) ) 时, f ( x)0. 所以f( x) 在(-,l n(2a) ) 上单调递减, 在上(l n(2a) ,+) 单调递增,. 5分 ()当x( 1,+) 时,g(x)= l nx0, 从而h(x)=m a xf(x) ,g(x) 0, 所以h( x) 在(1,+) 上无零点,6分 当x=1时,f(1)=e-3a 若ae 3, h(1)=m a xf(1) ,g(1) =g(1)=0, 所以x=1是h(x) 的零点; )页 5 共(页 3 第 案答学数科理三高 若a0, 所以x=1不是h(x) 的零点.
20、7分 当x(0,1) 时,g(x)= l nx0, 所以h(x) 在(0,1) 上的零点个数只需要考虑 f(x) 在(0,1) 上的零点个数. f(x) 在(0,1) 上的零点个数f(x)=0在(0,1) 上实根的个数 e x 2x+1= a在 ( 0,1) 上实根的个数. 令函数( x)= e x 2x+1 , x(0,1) , 则(x)= ( 2x-1)e x ( 2x+1) 2 , 所以( x) 在(0, 1 2) 上 单调递减, 在( 1 2, 1) 上单调递增; 又(0)=1 (1)=e 3 ( 1 2) = e 2 , 9分 当a e 2 或a1时, f(x) 在(0,1) 上无零
21、点; 当a= e 2 或e 3 a1时,f(x) 在 ( 0,1) 上有唯一零点,当 e 2 ae 3时, f(x) 在(0,1) 上有两个零点,1 0分 综上可得: 当a= e 2 时, h(x) 在(0,+) 上有1个零点, 当 e 2 a1时,h(x) 在 ( 0,+) 上有两个零点, 当a1时,h(x) 在(0,+) 上有1个零点, 则h( x) 在(0,+) 上有唯一零点时,a的取值范围为1,+) e 2 . 1 2分 2 2. 【 解】 : () 由 x=1+ 2t y= 2t 得x-y=1, 所以直线l的极坐标方程为 c o s -s i n=1 即2 ( c o sc o s
22、4- s i n s i n 4) =1, 即2 c o s ( + 4) =12分 因为= s i n 1- s i n 2 , = s i n c o s 2 , c o s 2 = s i n, 即( c o s ) 2= s i n , 故曲线C的直角坐标方程为y=x 2 5分 () 设P点的坐标为( x0,y0) , 则y0=x 2 0, 所以P点到直线l的距离 d= |x0-y0-1 | 2 = |x0-x 2 0-1 | 2 = |-(x0-1 2) 2-3 4 | 2 = ( x0-1 2) 2+3 4 2 8分 所以当x0=1 2时, dm i n= 3 2 8 , 此时P点
23、的坐标为( 1 2, 1 4) , )页 5 共(页 4 第 案答学数科理三高 所以当P点坐标为( 1 2, 1 4) 时, P点到直线l的距离最小, 最小值为 3 2 8 1 0分 2 3. 【 解】 () 由已知可得: f(x)= 4,x2 2x,-2x2成立; 当-2x2时, 2x2, 即x1, 则1x2. 所以f( x)2的解集为x|x1.5分 () 由() 知, |x+2 |-|x-2 |4, 由于0t1, 6分 则1 t + 1 1-t=( 1 t + 1 1-t) t+(1-t) =2+1- t t + t 1-t2+2=4 , 当且仅当 1-t t = t 1-t , 即t=1 2时取等号, 8分 则有|x+2 |-|x-2 |1 t + 1 1-t. 1 0分 )页 5 共(页 5 第 案答学数科理三高
