1、第 1 页（共 33 页） 第第 13 章章 轴对称轴对称 测试卷（测试卷（1） 一、选择题一、选择题 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时， 必须保证1 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 3如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ） A形状没有改变，大小没有改变 B形状没有改变，大小有改变 C形状有改变，大小没有改变 D形状有改变，大小有改变 4正方形的对称轴的条数为（ ） A1 B2 C3 D4 5正三角形ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC
2、、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的面积是（ ） A B C D 6在 RtABC 中，C=90，AB=10若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC=（ ） 第 2 页（共 33 页） A5 B C D6 7观察下列图形，是轴对称图形的是（ ） A B C D 8剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 9以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A B C D 10下列图案中，轴对称图形是（ ） A B C D 11下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个
3、标志中， 是轴对称图形的是（ ） A B C D 12在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴 对称图形的是（ ） A B C D 第 3 页（共 33 页） 13下列图案是轴对称图形的是（ ） A B C D 14如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 15将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四 边形，使它形状改变，当B=90时，如图 1，测得 AC=2，当B=60时，如图 2， AC=（ ） A B2 C D2 16P 是AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA
4、、OB 的对称点 P1、P2，连接 OP1、OP2，则下列结论正确的是（ ） AOP1OP2 BOP1=OP2 COP1OP2且 OP1=OP2 DOP1OP2 17如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M，N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（ ） 第 4 页（共 33 页） A4.5cm B5.5cm C6.5cm D7cm 18已知 ADBC，ABAD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上若点 E
5、与 点 B 关于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（ ） A1+tanADB= B2BC=5CF CAEB+22=DEF D4cosAGB= 二、填空题二、填空题 19由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距 离是 cm 20如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对称，请在试卷上补全字母， 在答题卡上写出这个单词所指的物品 第 5 页（共 33 页） 21请从以
6、下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分 A一个正五边形的对称轴共有 条 B用科学计算器计算：+3tan56 （结果精确到 0.01） 22如图，ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4，在 BE 上截 取 BG=2，以 GE 为边作等边三角形 GEF，则ABH 与GEF 重叠（阴影）部分的 面积为 23如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD， DF=DE，则E= 度 24如图，直线 ab，ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到ABC（如
7、图） ；继续以上的平移 得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 25如图，点 B1是面积为 1 的等边OBA 的两条中线的交点，以 OB1为一边， 构造等边OB1A1（点 O，B1，A1按逆时针方向排列） ，称为第一次构造；点 B2 是OB1A1的两条中线的交点，再以 OB2为一边，构造等边OB2A2（点 O，B2， A2按逆时针方向排列） ，称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边 第 6 页（共 33 页） OBnAn的边 OAn与等边OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止则构造出的最 后一个三角形的面积是 26已知等边三角形 ABC
8、 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1为边作等边三角形， 得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边 作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2的边 B2C2 边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；，如此下去，这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 27如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0，） ，点 A 在第一象 限且 ABBO，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称，则点 M 的坐标是（ ， ）
9、28已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 第 7 页（共 33 页） 三、解答题三、解答题 29如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过 点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 30如图，O 为ABC 内部一点，OB=3，P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点 （1）请指出当ABC 在什么角度时，会使得 PR
10、的长度等于 7？并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由 （2）承（1）小题，请判断当ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度是小于 7 还是会大于 7？并完整说明你判断的理由 第 8 页（共 33 页） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分 完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、是轴对称图形，故 A 符合题意； B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意
11、； C、不是轴对称图形，故 C 不符合题意； D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意 故选：A 【点评】 本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合 2如图，3=30，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时， 必须保证1 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质 【专题】压轴题 【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则2=60，根据1、2 对 称，则能求出1 的度数 【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， 第 9 页（共 33 页） 2+3=90， 3=30， 2=60，
12、 1=60 故选：C 【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想 3如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ） A形状没有改变，大小没有改变 B形状没有改变，大小有改变 C形状有改变，大小没有改变 D形状有改变，大小有改变 【考点】轴对称的性质 【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答 【解答】解：轴对称变换不改变图形的形状与大小， 与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变 故选：A 【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状 与大小是解题的关键 4正方形的对称轴的条数为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】轴对称的性质 【分析】根据
13、正方形的对称性解答 【解答】解：正方形有 4 条对称轴 故选：D 第 10 页（共 33 页） 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键 5正三角形ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的面积是（ ） A B C D 【考点】等边三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】依题意画出图形，过点 A1作 A1DBC，交 AC 于点 D，构造出边长为 1 的小正三角形AA1D； 由 AC1=2， AD=1， 得点 D 为 AC1中点， 因此可求出 SAA1C1=2S AA1D=；同理求出 SC
14、C1B1=SBB1A1=；最后由 SA1B1C1=SABCSAA1C1SCC1B1 SBB1A1求得结果 【解答】解：依题意画出图形，如下图所示： 过点 A1作 A1DBC，交 AC 于点 D，易知AA1D 是边长为 1 的等边三角形 又 AC1=ACCC1=31=2，AD=1， 点 D 为 AC1的中点， SAA1C1=2SAA1D=212=； 同理可求得 SCC1B1=SBB1A1=， SA1B1C1=SABCSAA1C1SCC1B1SBB1A1=323= 故选 B 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大本题入口较宽，解题方 法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法 第 11 页
15、（共 33 页） 6在 RtABC 中，C=90，AB=10若以点 C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC=（ ） A5 B C D6 【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【专题】计算题；压轴题 【分析】连结 CD，直角三角形斜边上的中线性质得到 CD=DA=DB，利用半径相 等得到 CD=CB=DB，可判断CDB 为等边三角形，则B=60，所以A=30，然 后根据含 30 度的直角三角形三边的关系先计算出 BC，再计算 AC 【解答】解：连结 CD，如图， C=90，D 为 AB 的中点， CD=DA=DB， 而 CD=CB， CD
16、=CB=DB， CDB 为等边三角形， B=60， A=30， BC=AB=10=5， AC=BC=5 故选 C 【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角 形；等边三角形的三个内角都等于 60也考查了直角三角形斜边上的中线性质 第 12 页（共 33 页） 以及含 30 度的直角三角形三边的关系 7观察下列图形，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 A
17、 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合 8剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、是轴对称图形， 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直 线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形 第 13 页（共 33 页） 9以下图形中对称轴的数量小于 3 的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据
18、对称轴的概念求解 【解答】解：A、有 4 条对称轴； B、有 6 条对称轴； C、有 4 条对称轴； D、有 2 条对称轴 故选 D 【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一 个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴 10下列图案中，轴对称图形是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选；D 【点评
19、】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图 形的关键是寻找对称轴 11下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中， 第 14 页（共 33 页） 是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合 12在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉
20、字中，可以看作是轴 对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合 13下列图案是轴对称图形的是（ ） 第 15 页（共 33 页） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形
21、， D、不是轴对称图形， 故选：A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合 14如图，直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】轴对称的性质 【分析】根据轴对称的性质作出选择 【解答】 解： 如图所示， 直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限 故选：A 第 16 页（共 33 页） 【点评】本题考查了轴对称的性质此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思 想 15将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四 边形，使它形状改变，当B=90时，
22、如图 1，测得 AC=2，当B=60时，如图 2， AC=（ ） A B2 C D2 【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质 【分析】图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图 2 根据有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形即可求得 【解答】解：如图 1， AB=BC=CD=DA，B=90， 四边形 ABCD 是正方形， 连接 AC，则 AB2+BC2=AC2， AB=BC=， 如图 2，B=60，连接 AC， ABC 为等边三角形， AC=AB=BC= 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利 用勾股定理得出正方形的边长是关键 第
23、17 页（共 33 页） 16 P 是AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 OP1、OP2，则下列结论正确的是（ ） AOP1OP2 BOP1=OP2 COP1OP2且 OP1=OP2 DOP1OP2 【考点】轴对称的性质 【专题】压轴题 【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出 OP1、OP2的数量与夹角即可得解 【解答】解：如图，点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2， OP1=OP2=OP， AOP=AOP1，BOP=BOP2， P1OP2=AOP+AOP1+BOP+BOP2， =2（AOP+BOP） ， =2AOB， AOB 度数任意
24、， OP1OP2不一定成立 故选：B 【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作 出图形更形象直观 17如图，点 P 是AOB 外的一点，点 M，N 分别是AOB 两边上的点，点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的 延长线上若 PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段 QR 的长为（ ） 第 18 页（共 33 页） A4.5cm B5.5cm C6.5cm D7cm 【考点】轴对称的性质 【专题】几何图形问题 【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ，PN=NR，进而利用 MN=4
25、cm，得 出 NQ 的长，即可得出 QR 的长 【解答】解：点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上，点 P 关于 OB 的 对称点 R 落在 MN 的延长线上， PM=MQ，PN=NR， PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， RN=3cm，MQ=2.5cm， 即 NQ=MNMQ=42.5=1.5（cm） ， 则线段 QR 的长为：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm） 故选：A 【点评】 此题主要考查了轴对称图形的性质， 得出 PM=MQ， PN=NR 是解题关键 18已知 ADBC，ABAD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC 上若点 E 与 点 B 关
26、于 AC 对称，点 E 与点 F 关于 BD 对称，AC 与 BD 相交于点 G，则（ ） A1+tanADB= B2BC=5CF 第 19 页（共 33 页） CAEB+22=DEF D4cosAGB= 【考点】轴对称的性质；解直角三角形 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】 连接 CE， 设 EF 与 BD 相交于点 O， 根据轴对称性可得 AB=AE， 并设为 1， 利用勾股定理列式求出 BE，再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE，再求出 BC=1，然 后对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】解：如图，连接 CE，设 EF 与 BD 相交于点 O， 由轴对称性得，AB=AE，设为
27、1， 则 BE=， 点 E 与点 F 关于 BD 对称， DE=BF=BE=， AD=1+， ADBC，ABAD，AB=AE， 四边形 ABCE 是正方形， BC=AB=1， 1+tanADB=1+=1+1=，故 A 正确； CF=BFBC=1， 2BC=21=2， 5CF=5（1） ， 2BC5CF，故 B 错误； AEB+22=45+22=67， BE=BF，EBF=AEB=45， BFE=67.5， DEF=BFE=67.5，故 C 错误； 由勾股定理得，OE2=BE2BO2=（）2（）2=， OE=， EBG+AGB=90， EBG+BEF=90， 第 20 页（共 33 页） AGB
28、=BEF， 又BEF=DEF cosAGB=，4cosAGB=2，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性 质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为 1 可使求解过程 更容易理解 二、填空题二、填空题 19由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆 OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距 离是 18 cm 【考点】等边三角形的判定与性质 【专题】应用题 【分析】根据有一个角是 60的等腰三
29、角形的等边三角形进行解答即可 【解答】解：OA=OB，AOB=60， AOB 是等边三角形， AB=OA=OB=18cm， 第 21 页（共 33 页） 故答案为：18 【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是 60的等腰三角形的 等边三角形进行分析 20如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线 l 对称，请在试卷上补全字母， 在答题卡上写出这个单词所指的物品 书 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答 【解答】解：如图， 这个单词所指的物品是书 故答案为：书 【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图 形 21请从以下两个
30、小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分 A一个正五边形的对称轴共有 5 条 B用科学计算器计算：+3tan56 10.02 （结果精确到 0.01） 【考点】轴对称的性质；计算器数的开方；计算器三角函数 【专题】常规题型；计算题 【分析】A过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴 B先用计算器求出、tan56的值，再计算加减运算 【解答】解： （A）如图， 正五边形的对称轴共有 5 条 故答案为：5 （B）5.5678，tan561.4826， 则+3tan565.5678+31.482610.02 故答案是：10.02 第 22 页（共 33 页） 【点评】A 题考查了轴对称
31、的性质，熟记正五边形的对称性是解题的关键B 题 考查了计算器的使用，要注意此题是精确到 0.01 22如图，ABC 是等边三角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4，在 BE 上截 取 BG=2，以 GE 为边作等边三角形 GEF，则ABH 与GEF 重叠（阴影）部分的 面积为 【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理 【专题】压轴题 【分析】根据等边三角形的性质，可得 AD 的长，ABG=HBD=30，根据等边 三角形的判定， 可得MEH 的形状， 根据直角三角形的判定， 可得FIN 的形状， 根据面积的和差，可得答案 【解答】解：如图所示： ， 由ABC 是等边三
32、角形，高 AD、BE 相交于点 H，BC=4，得 AD=BE=BC=6，ABG=HBD=30 由直角三角的性质，得BHD=90HBD=60 第 23 页（共 33 页） 由对顶角相等，得MHE=BHD=60 由 BG=2，得 EG=BEBG=62=4 由 GE 为边作等边三角形 GEF，得 FG=EG=4，EGF=GEF=60， MHE 是等边三角形； SABC=ACBE=ACEH3 EH=BE=6=2 由三角形外角的性质，得BIG=FGEIBG=6030=30， 由IBG=BIG=30，得 IG=BG=2， 由线段的和差，得 IF=FGIG=42=2， 由对顶角相等，得FIN=BIG=30，
33、 由FIN+F=90，得FNI=90， 由锐角三角函数，得 FN=1，IN= S五边形NIGHM=SEFGSEMHSFIN =42221=， 故答案为： 【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质， 利用了等边三角形的判定与性质， 直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键 23如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD， DF=DE，则E= 15 度 【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相 等即可得出E 的度数 第 24 页（共 3
34、3 页） 【解答】解：ABC 是等边三角形， ACB=60，ACD=120， CG=CD， CDG=30，FDE=150， DF=DE， E=15 故答案为：15 【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三角形的 性质，难度适中 24如图，直线 ab，ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到ABC（如图） ；继续以上的平移 得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 400 【考点】等边三角形的判定与性质；平移的性质 【专题】规律型 【分析】先证出阴影的三
35、角形是等边三角形，又观察图可得，第 n 个图形中大等 边三角形有 2n 个， 小等边三角形有 2n 个， 据此求出第 100 个图形中等边三角形 的个数 【解答】解：如图 ABC 是等边三角形， AB=BC=AC， ABAB，BB=BC=BC， BO=AB，CO=AC， BOC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形 第 25 页（共 33 页） 又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个， 第 2 个图形中大等边三角形有 4 个，小等边三角形有 4 个， 第 3 个图形中大等边三角形有 6 个，小等边三角形有 6 个， 依次可得第 n 个图形中大等边三
36、角形有 2n 个，小等边三角形有 2n 个 故第 100 个图形中等边三角形的个数是：2100+2100=400 故答案为：400 【点评】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是 据图找出规律 25如图，点 B1是面积为 1 的等边OBA 的两条中线的交点，以 OB1为一边， 构造等边OB1A1（点 O，B1，A1按逆时针方向排列） ，称为第一次构造；点 B2 是OB1A1的两条中线的交点，再以 OB2为一边，构造等边OB2A2（点 O，B2， A2按逆时针方向排列） ，称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边 OBnAn的边 OAn与等边OBA 的边 OB
37、 第一次重合时，构造停止则构造出的最 后一个三角形的面积是 【考点】等边三角形的性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】 由于点 B1是OBA 两条中线的交点， 则点 B1是OBA 的重心， 而OBA 第 26 页（共 33 页） 是等边三角形，所以点 B1也是OBA 的内心，BOB1=30，A1OB=90，由于 每构造一次三角形，OBi 边与 OB 边的夹角增加 30，所以还需要（36090） 30=9， 即一共 1+9=10 次构造后等边OBnAn的边 OAn与等边OBA 的边 OB 第一 次重合；又因为任意两个等边三角形都相似，根据相似三角形的面积比等于相似 比的平方，由OB1A1与OBA
38、 的面积比为，求得构造出的最后一个三角形的 面积 【解答】方法一： 解：点 B1是面积为 1 的等边OBA 的两条中线的交点， 点 B1是OBA 的重心，也是内心， BOB1=30， OB1A1是等边三角形， A1OB=60+30=90， 每构造一次三角形，OBi 边与 OB 边的夹角增加 30， 还需要（36090）30=9，即一共 1+9=10 次构造后等边OBnAn的边 OAn与 等边OBA 的边 OB 第一次重合， 构造出的最后一个三角形为等边OB10A10 如图，过点 B1作 B1MOB 于点 M， cosB1OM=cos30=， =，即=， =（）2=，即 SOB1A1=SOBA=
39、， 同理，可得=（）2=，即 SOB2A2=SOB1A1=（）2=， ， SOB10A10=SOB9A9=（）10=，即构造出的最后一个三角形的面积是 故答案为 第 27 页（共 33 页） 方法二： AOA1=30，A1OA2=30，AOB=60， 每构造一次增加 30， n=10， OBAOB1A1， ， SOBA=1， SOB1A1=，q=， SOB10A10= 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与 性质等知识，有一定难度根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边 OB10A10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方， 得出OB1A1与OBA 的 面积比
40、为，进而总结出规律是解题的关键 26已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1为边作等边三角形， 得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边 作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2的边 B2C2 边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；，如此下去，这样 得到的第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 （）n 第 28 页（共 33 页） 【考点】等边三角形的性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】由 AB1为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B
41、1为 BC 的中点，求出 BB1的长，利用勾股定理求出 AB1的长，进而求出第一个等边三角 形 AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形 AB2C2的面积，依此类推，得到第 n 个等边三角形 ABnCn的面积 【解答】解：等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1BC， BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1=， 第一个等边三角形 AB1C1的面积为（）2=（）1； 等边三角形 AB1C1的边长为，AB2B1C1， B1B2=，AB1=， 根据勾股定理得：AB2=， 第二个等边三角形 AB2C2的面积为（）2=（）2； 依此类推，第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为（）n 故答案为
42、：（）n 【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形 的性质是解本题的关键 27如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0，） ，点 A 在第一象 限且 ABBO，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上若点 B 和点 E 关于 直线 OM 对称，则点 M 的坐标是（ 1 ， ） 第 29 页（共 33 页） 【考点】轴对称的性质；坐标与图形性质；解直角三角形 【专题】压轴题 【分析】根据点 B 的坐标求出 OB 的长，再连接 ME，根据轴对称的性质可得 OB=OE，再求出 AO 的长度，然后利用勾股定理列式求出 AB 的长，利用A 的余 弦
43、值列式求出 AM 的长度，再求出 BM 的长，然后写出点 M 的坐标即可 【解答】解：点 B（0，） ， OB=， 连接 ME， 点 B 和点 E 关于直线 OM 对称， OB=OE=， 点 E 是线段 AO 的中点， AO=2OE=2， 根据勾股定理，AB=3， cosA=， 即=， 解得 AM=2， BM=ABAM=32=1， 点 M 的坐标是（1，） 故答案为： （1，） 第 30 页（共 33 页） 【点评】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握 轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键 28已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面
44、内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P 到 BC 的最小距离和最大距 离分别是 1，7 【考点】等边三角形的性质；平行线之间的距离 【专题】计算题；压轴题 【分析】根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1，直 线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2，当 P 与 N 重合时，HN 为 P 到 BC 的最小 距离；当 P 与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC 的最大距离，根据题意得到NFG 与 MDE 都为等边三角形， 利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 DB 与 FB 的长，以及 CG 与
45、CE 的长，进而由 DB+BC+CE 求出 DE 的长，由 BCBFCG 求出 FG 的长，求出等边三角形 NFG 与等边三角形 MDE 的高，即可确定出点 P 到 BC 的最小距离和最大距离 【解答】 解： 根据题意画出相应的图形， 直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1， 直线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2， 当 P 与 N 重合时，HN 为 P 到 BC 的最小距离；当 P 与 M 重合时，MQ 为 P 到 BC 的最大距离， 根据题意得到NFG 与MDE 都为等边三角形， DB=FB=，CE=CG=， DE=DB+BC+CE=+=，FG=BCBFCG=， N
46、H=FG=1，MQ=DE=7， 则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1，7 故答案为：1，7 第 31 页（共 33 页） 【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形 是解本题的关键 三、解答题三、解答题 29如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过 点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）根据平行线的性质可得EDC=B=60，根据三角形内角和定
47、理即 可求解； （2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， B=60， DEAB， EDC=B=60， EFDE， DEF=90， F=90EDC=30； （2）ACB=60，EDC=60， 第 32 页（共 33 页） EDC 是等边三角形 ED=DC=2， DEF=90，F=30， DF=2DE=4 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度 的锐角所对的直角边等于斜边的一半 30如图，O 为ABC 内部一点，OB=3，P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点 （1）请指出当
48、ABC 在什么角度时，会使得 PR 的长度等于 7？并完整说明 PR 的长度为何在此时会等于 7 的理由 （2）承（1）小题，请判断当ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度是小于 7 还是会大于 7？并完整说明你判断的理由 【考点】轴对称的性质；三角形三边关系 【分析】 （1）连接 PB、RB，根据轴对称的性质可得 PB=OB，RB=OB，然后判断 出点 P、B、R 三点共线时 PR=7，再根据平角的定义求解； （2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答 【解答】解： （1）如图，ABC=90时，PR=7 证明如下：连接 PB、RB， P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点， PB=OB=3，RB=OB=3， ABC=90， ABP+CBR=ABO+CBO=ABC=90， 点 P、B、R 三点共线， 第 33 页（共 33 页） PR=23=7； （2）PR 的长度是小于 7， 理由如下：ABC90， 则点 P、B、R 三点不在同一直线上， PB+BRPR， PB+BR=2OB=23=7， PR7 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质， 熟记各性质是解题的关键
