1、第第 2 2 课时课时 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号 中含有三角函数式时，一般需要升次 1化简：sin 22cos 2 sin 4 . 2 2cos sin 22cos 2 sin 4 2cos sin cos 2 2 sin cos 2 2cos . 2化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4x sin 2 4x . 1 2cos 2x 原式 1 24cos 4
2、x4cos2x1 2 sin 4x cos 4x cos2 4x 2cos2x12 4sin 4x cos 4x cos22x 2sin 22x cos22x 2cos 2x 1 2cos 2x. 3化简：sin2 sin 2cos() . sin sin 原式 sin22sin cos sin sin2sin cos sin cos sinsin cos sin sin sin sin sin . 点评：(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽 量不含根式、尽量不含绝对值等 (2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用 考点二 三角函数式的求值 三
3、角函数式求值的三种题型 (1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变 换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值 (2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系 (3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数 值来求角在选取函数时，遵循以下原则： 已知正切函数值，选正切函数 已知正、余弦函数值，若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦函数皆可，若角的 范围是(0，)，选余弦函数，若角的范围是 2， 2 ，选正弦函数 给角求值 典例 11 2si
4、n 50 sin 10 (1 3tan 10 ) 2sin280 . 6 原 式 2sin 50 sin 10 cos 10 3sin 10 cos 10 2 sin 80 2sin 50 2sin 10 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 2cos 10 22sin 50 cos 10 sin 10 cos(60 10 )2 2sin(50 10 )2 2 3 2 6. 给值求值 典例 12 (1)设 为锐角， 若 cos 6 1 3， 则 sin 2 12 的值为( ) A 7 25 B 7 28 18 C17 2 50 D 2 5 (2)已知 0 x 4，sin 4x
5、 5 13，则 cos 2x cos 4x . (1)B (2)24 13 (1)由 0 2得 6 6 2 3， sin 6 1 1 3 2 2 2 3 ， sin 2 3 2sin 6 cos 6 4 2 9 ， cos 2 3 2cos2 6 12 1 3 2 17 9， sin 2 12 sin 2 3 4 sin 2 3 cos 4cos 2 3 sin 4 4 2 9 2 2 7 9 2 2 7 28 18 ，故选 B (2)法一：(先化简后求值) cos 2x cos 4x cos2xsin2x 2 2 cos xsin x 2(cos xsin x)2cos 4x . 由 0 x
6、 4得 0 4x 4， cos 4x 1sin2 4x 1 5 13 2 12 13， 原式212 13 24 13. 法二：(先局部后整体) cos 4x cos 2 4x sin 4x 5 13， 由 0 x 4得 0 4x 4， cos 4x 1sin2 4x 1 5 13 212 13， cos 2xsin 22x 2sin 4x cos 4x 2 5 13 12 13 120 169. cos 2x cos 4x 120 169 13 5 24 13. 点评：(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件 表达出来 (2)注意 4x 与 4x 互余，sin 2 4x
7、 cos 2x，cos 2 4x sin 2x 的灵活 应用 给值求角 典例 13 (1)已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ， 均为锐角，则角 的值是 (2)已知 ， (0， )， 且 tan()1 2， tan 1 7， 则 2 的值为 (1) 4 (2) 3 4 (1)由 0 2，0 2，得 2 2， cos()1sin23 10 10 . 又 cos 2 5 5 ， sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 又角 是锐角， 4. (2)tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 7
8、11 2 1 7 1 30， 0 2. 又tan 2 2tan 1tan2 21 3 1 1 3 23 40， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 点评：求角时，一定要注意所求角的范围，并在解题过程中根据三角函数值 的正负进一步缩小有关角的范围，以保证所求角在最小的范围内 跟进训练 1. 3 cos 190 1 cos 80 ( ) A4 B4 C2 D2 B 3 cos 190 1 cos 80 1 sin 10 3 cos 10 cos 10 3sin 10 sin 10 co
9、s 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 1 2sin 20 4sin30 10 sin 20 4. 2若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且 4， ， ，3 2 ，则 的值 是( ) A7 4 B9 4 C5 4 或7 4 D5 4 或9 4 A 因为 4， ，且 0sin 2 5 5 1 2，所以 2 5 6 ， ， 所以 5 12， 2 ，cos 2 1sin222 5 5 . 因为 ，3 2 ，所以 2， 13 12 ， 又 sin() 10 10 0，所以 2， ， 所以 cos()1sin23 10 10 . 所以 cos()cos2() cos 2c
10、os()sin 2sin() 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又 5 12， 2 ， ，3 2 ，所以 17 12 ，2 ，所以 7 4 .故选 A 3已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin() . 1 2 由 sin cos 1 得 sin 2cos22sin cos 1， 由 cos sin 0 得 cos2sin22cos sin 0， 得 22(sin cos cos sin )1， 即 2sin()1， sin()1 2. 4已知 6，tan tan 3，则 cos() . 1 3 3 2 由 tan tan 3 得sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin 6 cos cos 3， cos cos 1 6. 又 cos()cos cos sin sin 3 2 ， sin sin 3 2 1 6， cos()cos cos sin sin 1 6 3 2 1 6 1 3 3 2 .
