1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 本题为高考选做题，以解答 题形式出现，分值 10 分. 2.考查内容 (1)含绝对值不等式主要考 查其解法及利用不等式恒 成立求参数的值或范围； (2)不等式的证明主要考查 用均值不等式、柯西不等式 证明不等式. 绝对值不等式绝对值不等式 考试要求 1.理解绝对值的几何意义， 并了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c； |xa|xb|c. 1绝对值不等式的解集 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解法： 不
2、等式 a0 a0 a0 |x|a x|xa 或 xa xR|x0 R (2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法： |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 2绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成 立 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc
3、|，当且仅当(ab)(b c)0 时，等号成立 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0. ( ) (2)不等式|x1|x2|2 的解集为. ( ) (3)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立 ( ) (4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1不等式 3|52x|9 的解集为( ) A2,1)4,7) B(2,1(4,7 C(2，14,7) D(2,14,7) D 由题意得 |2x5|9， |2x5|3， 即 92x59， 2x53或2x53， 解得 2x7，
4、 x4或x1， 不等式的解集为(2,14,7) 2不等式|x1|x5|2 的解集是( ) A(，4) B(，1) C(1,4) D(1,5) A 当 x1 时，原不等式等价于 1x(5x)2，即42，恒成立， x1. 当 1x5 时，原不等式等价于 x1(5x)2，即 x5 时，原不等式等价于 x1(x5)2，即 42，无解综合知 x4. 3若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k . 2 |kx4|2，2kx42，2kx6. 不等式的解集为x|1x3，k2. 4若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 2,4 利用数轴及不等式的几何意义可得 x 到 a
5、与到 1 的距离和小于 3， 所以 a 的取值范围为2a4. 考点一 含绝对值不等式的解法 模型一 形如|xa| |xb|()c 的不等式，主要有如下三种解 法： 零点分段法不妨设 ab，利用绝对值符号内的式子对应的方程的根，将 数轴分为(，a，(a，b)，b，)三段，在每一段上去掉原不等式的绝对值符 号，分别列出对应的不等式(组)并求解，然后取这些解集的并集 图象法作出 y|xa| |xb|和 yc 或 y|xa| |xb|c 的图象，结合 图象求解该方法体现了数形结合和函数与方程的数学思想 几何法利用绝对值不等式的几何意义|xa| |xb|表示数轴上所有的 点到 a，b 对应的点的距离之和
6、或差求解该方法体现了数形结合的数学思想 模型二 形如|mxa| |nxb|()c 的不等式， 主要采用上述方法进行求 解 模型三 形如|mxa| |nxb|()cxd 的不等式， 主要采用上述方法进 行求解 典例 1 (1)(2019 全国卷)已知 f (x)|xa|x|x2|(xa) 当 a1 时，求不等式 f (x)0 的解集； 若 x(，1)时，f (x)0，求 a 的取值范围 (2)已知函数 f (x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. 当 a1 时，求不等式 f (x)g(x)的解集； 若不等式 f (x)g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f (
7、x)|x1|x|x2|(x1) 当 x1 时，f (x)2(x1)20；当 x1 时，f (x)0. 所以，不等式 f (x)0 的解集为(，1) 因为 f (a)0，所以 a1. 当 a1，x(，1)时， f (x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0 所以 a 的取值范围是1，) (2)当 a1 时，不等式 f (x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当 x1 时，式化 为 x2x40， 从而 1x1 17 2 . 所以 f (x)g(x)的解集为 x 1x1 17 2 . 当 x1,1时，g(x)2， 所以 f (x)g(x)的解集包含1,1等价于当 x1,1时，f
8、(x)2. 又 f (x)在1,1的最小值必为 f (1)与 f (1)之一， 所以 f (1)2 且 f (1)2，得1a1. 所以 a 的取值范围为1,1 点评：(1)解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中 x 的系数为 1(或可化为 1)， 选用几何法或图象法求解较为简单若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法 求解，同时注意端点值的取舍；(2)不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为 最值问题解决 跟进训练 1已知函数 f (x)|2x1|，g(x)|x|a. (1)当 a0 时，解不等式 f (x)g(x)； (2)若存在 xR，使 f (x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围
9、 解 (1)当 a0 时，由 f (x)g(x)，得|2x1|x|. 两边平方整理，得 3x24x10， 解得 x1 或 x1 3. 所以原不等式的解集为(，1 1 3， . (2)由 f (x)g(x)，得 a|2x1|x|. 令 h(x)|2x1|x|， 则 h(x) x1，x1 2， 3x1，1 2xf (x1)的解集 解 (1)由题设知 f (x) x3，x1 3， 5x1，1 31. yf (x)的图象如图所示 (2)函数 yf (x)的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf (x1)的图象 yf (x)的图象与 yf (x1)的图象的交点坐标为 7 6， 11 6 . 由图象
10、可知当且仅当 xf (x1)的解集为 ，7 6 . 考点二 绝对值不等式性质的应用 1求含绝对值的函数最值，常用的三种方法 (1)利用绝对值的几何意义 (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|a b|a|b|. (3)利用零点分区间法 2利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)， 通过确定适当的 a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值， 也可以证明不等式 典例 2 (1)若对于实数 x，y 有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值 (2)设函数 f (x)5|xa|x2|. 当 a1 时，求不等式 f (x)0 的解集； 若 f
11、(x)1，求 a 的取值范围 解 (1)由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，得|2x3y 1|的最大值为 7. (2)当 a1 时， f (x) 2x4，x1， 2，1x2， 2x6，x2. 可得 f (x)0 的解集为x|2x3 f (x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f (x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(， 62， ) 点评：对于求 y|xa |xb 或 y|xa |xb 型的最值问题利用绝对值 三角不等式更方便形如 y|xa |xb 的函数只有最小值，形如
12、y|xa |xb 的函数既有最大值又有最小值 跟进训练 1已知函数 f (x)|2x1|，xR. (1)解不等式 f (x)|x|1； (2)若对于 x，yR，有|xy1|1 3，|2y1| 1 6，求证：f (x)1. 解 (1)f (x)0， 当 x0，得 x0，所以无解； 当 0 x1 2时，x(2x1)10，得 x0，所以 01 2时，x(2x1)10，得 x2，所以 1 2x2. 故不等式 f (x)|x|1 的解集为x|0 x2 (2)证明：f (x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2|xy1|2y1|21 3 1 6 5 6a 有解f (x)maxa. (2)f (x)a 恒成
13、立f (x)mina. (3)f (x)a 恰在(c，b)上成立c，b 是方程 f (x)a 的解 典例 3 (1)已知函数 f (x)|x1|x2|. 求不等式 f (x)1 的解集； 若不等式 f (x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围 (2)设函数 f (x)|2x1|x1|. 画出 yf (x)的图象； 当 x0，)时，f (x)axb，求 ab 的最小值 解 (1)f (x) 3，x2. 当 x2 时，由 f (x)1，解得 x2， 所以 f (x)1 的解集为x|x1 由 f (x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x. 而|x1|x2|x2x |x|1|x|2x2|x|
14、|x|3 2 2 5 4 5 4， 当 x3 2时，|x1|x2|x 2x5 4. 故 m 的取值范围为 ，5 4 . (2)f (x) 3x，x1 2， x2，1 2x1， 3x，x1. yf (x)的图象如图所示 由知，yf (x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率 的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，f (x)axb 在0，)成立，因此 ab 的最小值为 5. 点评：(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数 来解决 (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 跟进训练 1设函数 f (x)x|xa|. (1)当 a2 0
15、20 时，求函数 f (x)的值域； (2)若 g(x)|x1|，求不等式 g(x)2xf (x)恒成立时 a 的取值范围 解 (1)由题意得，当 a2 020 时， f (x) 2x2020，x2 020， 2 020，xxf (x)恒成立， 知|x1|xa|2 恒成立， 即(|x1|xa|)min2. 而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|， 所以|1a|2， 解得 a1 或 a0 时，2 ax 6 a， 所以 2 a2， 6 a6， 解得 a1； 当 a0 时，6 ax 2 a， 所以 6 a2， 2 a6， 无解所以实数 a 的值为 1. (2)由已知 g(x)f (x)f (x3)|x1|x2| 2x1，x1， 3，1x2， 2x1，x2， 不等式 g(x)tx2 转化成 g(x)tx2， 由题意知函数 g(x)的图象与直线 ytx2 相交，作出对应图象， 由图得，当 t0 时，tkBM，又因为 kAM1，kBM1 2，所以 t1 或 t 1 2， 即 t(，11 2，)
