2020-2021学年广东省佛山市高三（上）期末数学试卷（一模）.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省佛山市高三（上）期末数学试卷（一模）学年广东省佛山市高三（上）期末数学试卷（一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知全集 U 为实数集， Ax|x23x0， Bx|x1， 则 A （UB） （ ） Ax|0 x1 Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|0 x3 2 （5 分）设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z11+i，则 z12=（

2、 ） A22i B22i C2i D2 3 （5 分）若 a，b，c 为非零实数，则“abc”是“a+b2c”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4（5 分） 平行四边形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 的一个三等分点 （靠近 B） ， 则 =（ ） A1 2 1 3 B1 4 + 1 2 C1 3 + 1 2 D1 2 2 3 5 （5 分）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合 化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是 “新基建” 的众多工 程之一，截至

3、2020 年底，我国已累计开通 5G 基站超 70 万个，未来将进一步完善基础网 络体系，稳步推进 5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇 5G 网络覆盖.2021 年 1 月计划新建设 5 万个 5G 基站， 以后每个月比上一个月多建设 1 万个， 预计我国累计开通 500 万个 5G 基站时要到（ ） A2022 年 12 月 B2023 年 2 月 C2023 年 4 月 D2023 年 6 月 6 （5 分）设 asin2，则（ ） Aa22alog 1 2 a Blog 1 2 aa22a Ca2log 1 2 a2a Dlog 1 2 aa22a 7 （5 分）函数 f（x）|

4、sinx|cosx 的导函数 f（x）在0，上的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 22 页） C D 8 （5 分）已知函数 f（x）= 1 4x 4+1 2ax 2+ax，则下列结论中正确的是（ ） A存在实数 a，使 f（x）有最小值且最小值大于 0 B对任意实数 a，f（x）有最小值且最小值大于 0 C存在正实数 a 和实数 x0，使 f（x）在（，x0）上递减，在（x0，+）上递增 D对任意负实数 a，存在实数 x0，使 f（x）在（，x0）上递减，在（x0，+）上递 增 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出

5、的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）2015 年以来我国脱贫攻坚成效明显，如图是 20152019 年年末全国农村贫困人 口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）变化情况（数据来源：国家统计局 2019 年统计年报） ，根据这个发展趋势，2020 年底全面脱贫的任务必将完成根据图表 中可得出的正确统计结论有（ ） A五年来贫困发生率下降了 5.1 个百分点 B五年来农村贫困人口减少超过九成 C五年来农村贫困人口减少得越来越快 D五年

6、来目标调查人口逐年减少 第 3 页（共 22 页） 10 （5 分）已知曲线 y2m（x2a2） ，其中 m 为非零常数且 a0，则下列结论中正确的有 （ ） A当 m1 时，曲线 C 是一个圆 B当 m2 时，曲线 C 的离心率为 2 2 C当 m2 时，曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2 x D当 m1 且 m0 时，曲线 C 的焦点坐标分别为（a1 + ，0）和（a1 + ， 0） 11 （5 分）已知曲线 ysin（ + 4） （0）在区间（0，1）上恰有一条对称轴和一个对 称中心，则下列结论中正确的是（ ） A存在 ，使 sin（+ 4 ） 2 2 B存在 ，使 sin（2+ 4

7、）= 2 2 C有且仅有一个 x0（0，1） ，使 sin（x0+ 4）= 4 5 D存在 x0（0，1） ，使 sin（x0+ 4）0 12 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，M 为 BB1的中点， 过 B1M 作长方体的截面 交棱 CC1于 N，则（ ） A截面 可能为六边形 B存在点 N，使得 BN截面 C若截面 为平行四边形，则 1CN2 D当 N 与 C 重合时，截面面积为36 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）ex+ex2（e 是自然对数的底

8、数，则曲线 yf（x）在 x1 处 的切线方程是 14 （5 分）某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有 7 支代表队出线进入决赛阶段， 其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队根据赛制，先用抽签的方式，把 7 第 4 页（共 22 页） 支出线球队随机分成 A、B 两组分别进行单循环赛，其中 A 组 3 支球队、B 组 4 支球队， 则甲、乙恰好在同一组的概率为 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l 交 x 轴于点 K，过 F 作倾斜 角为 的直线与 C 交于 A，B 两点，若AKB60，则 sin 16（5分） 已知四棱锥PABCD的顶点都在球O上

9、， AB3， BC4， CD1， AD26， AC5， 平面 PAD平面 ABCD，且 PAPD，则球 O 的体积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在log2an+1log2an+1，an+1an+2n，an+12an+1an2an2（an0）这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答 已知bnan为等差数列，bn的前 n 项和为 Sn，且 a12，b12，b314，_，是 否存在正整数 k，使得 Sk2021？若存在，求 k 的最小值；若不存在，说明理

10、由 18 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，CD5，ABC= 2 3 （1）若 AC27，求梯形 ABCD 的面积； （2）若 ACBD，求 tanABD 19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC= 1 2AA12，M、N 分别为 AB、B1C1 的中点 （1）求证：MN平面 ACC1A1； （2）若 B1M32，求二面角 B1A1MN 的余弦值 20 （12 分）为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校 环保小组在暑假期间（60 天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身 运动的人数，并与当天 AQI

11、值（从气象部门获取）构成 60 组成对数据（xi，yi） （i1， 2，60） ，其中 xi为当天参加户外健身运动的人数，yi为当天的 AQI 值，并制作了如 第 5 页（共 22 页） 图散点图 （1）环保小组准备做 y 与 x 的线性回归分析，算得 y 与 x 的相关系数为 0.58，试 分析 y 与 x 的线性相关关系？ （2） 环保小组还发现散点有分区聚集的特点， 尝试作聚类分析 用直线 x100 与 y100 将散点图分成、四个区域（如图） ，统计得到各区域的点数分别为 5、10、 10、 35， 并初步认定 “参加户外健身运动的人数不少于 100 与 AQI 值不大于 100 有关

12、联” ， 试分析该初步认定的犯错率是否小于 1%？ 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且过点 A（2， 0） （1）求 C 的方程； （2）点 P、Q 分别在 C 和直线 x4 上，OQAP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与 直线 QF 的交点在某定曲线上 22 （12 分）设 a0 且 a1，函数 f（x）sinaxasinx （1）若 f（x）在区间（0，2）有唯一极值点 x0，证明

13、：f（x0）min2a， （1a）； （2）若 f（x）在区间（0，2）没有零点，求 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年广东省佛山市高三（上）期末数学试卷（一模）学年广东省佛山市高三（上）期末数学试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分） 已知全集 U 为实数集， Ax|x23x0， Bx|x1， 则 A （UB） （ ） Ax|0 x1

14、Bx|0 x1 Cx|1x3 Dx|0 x3 【解答】解：Ax|0 x3，Bx|x1， UBx|x1，A（UB）x|0 x1 故选：B 2 （5 分）设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z11+i，则 z12=（ ） A22i B22i C2i D2 【解答】解：复数 z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z11+i， z21+i， z12=（1+i） （1i）1iii22i 故选：C 3 （5 分）若 a，b，c 为非零实数，则“abc”是“a+b2c”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：abc，ac，b

15、c，则 a+b2c， 即“abc”能推出“a+b2c” ， 但满足 a+b2c，取 a4，b1，c1，不满足 abc， 即“a+b2c”不能推出“abc” ， 所以“abc”是“a+b2c”的充分不必要条件， 故选：A 4（5 分） 平行四边形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 的一个三等分点 （靠近 B） ， 则 =（ ） A1 2 1 3 B1 4 + 1 2 C1 3 + 1 2 D1 2 2 3 【解答】解：因为 ABCD 为平行四边形， 第 7 页（共 22 页） 所以 = ， = ， 故 = + = 1 2 + 2 3 = 1 2 2 3 故选：D 5

16、（5 分）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合 化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是 “新基建” 的众多工 程之一，截至 2020 年底，我国已累计开通 5G 基站超 70 万个，未来将进一步完善基础网 络体系，稳步推进 5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇 5G 网络覆盖.2021 年 1 月计划新建设 5 万个 5G 基站， 以后每个月比上一个月多建设 1 万个， 预计我国累计开通 500 万个 5G 基站时要到（ ） A2022 年 12 月 B2023 年 2 月 C2023 年 4 月 D2023 年 6 月 【解答

17、】解：每个月开通 5G 基站的个数是以 5 为首项，1 为公差的等差数列， 设预计我国累计开通 500 万个 5G 基站需要 n 个月，则 70+5n+ (1) 2 1500， 化简整理得，n2+9n8600， 解得 n25.17 或34.17（舍负） ， 所以预计我国累计开通 500 万个 5G 基站需要 25 个月，也就是到 2023 年 2 月， 故选：B 6 （5 分）设 asin2，则（ ） Aa22alog 1 2 a Blog 1 2 aa22a Ca2log 1 2 a2a Dlog 1 2 aa22a 【解答】解：asin2， 2 2 3 4 ， 2 2 a1， log 1

18、2 alog 1 2 2 2 = 1 2，且 1 2 a21，2a1， log 1 2 aa22a， 故选：D 7 （5 分）函数 f（x）|sinx|cosx 的导函数 f（x）在0，上的图象大致为（ ） 第 8 页（共 22 页） A B C D 【解答】解：当 x0，时，sinx0，则 f（x）|sinx|cosxsinxcosx， f（x）cos2xsin2xcos2x， 结合余弦函数的图象可知选项 B 正确， 故选：B 8 （5 分）已知函数 f（x）= 1 4x 4+1 2ax 2+ax，则下列结论中正确的是（ ） A存在实数 a，使 f（x）有最小值且最小值大于 0 B对任意实数

19、 a，f（x）有最小值且最小值大于 0 C存在正实数 a 和实数 x0，使 f（x）在（，x0）上递减，在（x0，+）上递增 D对任意负实数 a，存在实数 x0，使 f（x）在（，x0）上递减，在（x0，+）上递 增 【解答】解：对于选项 A：假设存在实数 a，使 f（x）有最小值且最小值大于 0， 则 0f（x）min 但 f（x）minf（0）0，矛盾，故 A 错误 对于选项 B：假设对任意实数 a，f（x）有最小值且最小值大于 0， 则 f（x）min0， 但 f（x）minf（0）0，矛盾，故 B 错误 f（x）x3+ax+a， 令 g（x）x3+ax+a， 则 g（x）3x2+a，

20、对于选项 C：若 a0，则 g（x）0，g（x）单调递增， 当 x时，g（x）；x+时，g（x）+， 所以存在 x0（，+） ，使得 g（x0）0， 第 9 页（共 22 页） 所以当 x（，x0）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x（x0，+）时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，故 C 正确 对于选项 D：令 g（x）0，得 x1= 3，x2= 3， 所以在区间（， 3） ， （ 3，+）上，g（x）0，g（x）单调递增， 在区间（ 3， 3）上，g（x）0，g（x）单调递减， 不妨取 a27，则在区间（，3） ， （3，+）上，g（x）0，g（x）单调递增， 在

21、区间（3，3）上，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）极大值g（3）（3）3+（27）（3）+（27）27， g（x）极小值g（3）33+（27）3+（27）81， 所以存在 x0（，3） ，x1（3，3） ，x2（3，+） ，使得 g（x0）0，g（x1） 0，g（x2）0， 即 f（x0）0，f（x1）0，f（x2）0， 所以在（，x0） ， （x1，x2）上，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减， 在（x0，x1） ， （x2，+）上，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递增，故 D 错误 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分

22、，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）2015 年以来我国脱贫攻坚成效明显，如图是 20152019 年年末全国农村贫困人 口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）变化情况（数据来源：国家统计局 2019 年统计年报） ，根据这个发展趋势，2020 年底全面脱贫的任务必将完成根据图表 中可得出的正确统计结论有（ ） 第 10 页（共 22 页） A五年来贫困发生率下降了 5.1 个百分点 B五年来农村贫

23、困人口减少超过九成 C五年来农村贫困人口减少得越来越快 D五年来目标调查人口逐年减少 【解答】解：对于 A，五年来贫困发生率下降 5.70.65.1 个百分点，故 A 正确； 对于 B， （5575551）557590.1%90%，五年来农村贫困人口减少超过九成，故 B 正确； 对于 C，贫困人口减少的速度应看直线斜率的绝对值的大小， 由图，20182019 年的斜率绝对值比 20172018 年的斜率绝对值小，故 C 错误； 对于 D，该结论无法得出，故 D 错误 故选：AB 10 （5 分）已知曲线 y2m（x2a2） ，其中 m 为非零常数且 a0，则下列结论中正确的有 （ ） A当 m

24、1 时，曲线 C 是一个圆 B当 m2 时，曲线 C 的离心率为 2 2 C当 m2 时，曲线 C 的渐近线方程为 y 2 2 x D当 m1 且 m0 时，曲线 C 的焦点坐标分别为（a1 + ，0）和（a1 + ， 0） 【解答】解：当 m1 时，曲线 y2m（x2a2）化为 x2+y2a2（a0） ，是一个圆， 故 A 正确； 第 11 页（共 22 页） 当 m2 时， 曲线化为 2 2 + 2 22 = 1， 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 离心率为 2 = 2 2 ， 故 B 正确； 当 m2 时，曲线化为 2 2 2 22 = 1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，渐近线方程为 y 2

25、 = 2，故 C 错误； 当1m0 时， 曲线化为 2 2 + 2 2 = 1， 表示焦点在 x 轴上的椭圆， c= 2+ 2= 1 + ， 焦点坐标为（a1 + ，0）和（a1 + ，0） ； 当 m0 时，曲线化为 2 2 2 2 = 1，表示焦点在 x 轴上的双曲线， = 2+ 2= 1 + ， 焦点坐标为（a1 + ，0）和（a1 + ，0） 综上所述， 当m1且m0时， 曲线C的焦点坐标分别为 （a1 + ， 0） 和 （a1 + ， 0） ，故 D 正确 故选：ABD 11 （5 分）已知曲线 ysin（ + 4） （0）在区间（0，1）上恰有一条对称轴和一个对 称中心，则下列结论

26、中正确的是（ ） A存在 ，使 sin（+ 4 ） 2 2 B存在 ，使 sin（2+ 4 ）= 2 2 C有且仅有一个 x0（0，1） ，使 sin（x0+ 4）= 4 5 D存在 x0（0，1） ，使 sin（x0+ 4）0 【解答】解：曲线 ysin（ + 4） （0） ， 对称轴为 x+ 4 = 2 +k（kZ） ，即 = 4 + （kZ） ， 对称中心对应 + 4 = （kZ） ，即 = 4 + （kZ） ， 在区间（0，1）上恰有一条对称轴和一个对称中心， 第 12 页（共 22 页） 41 5 4 1 3 41 7 4 1 ，解得 4 5 4 3 4 7 4 ，即3 4 5 4

27、， 选项 A，在范围内存在 使(+ 4 ) 2 2 ，故选项 A 正确； 选项 B，2 (3 2 ， 5 2 ，则 22 时成立，故选项 B 正确； 选项 C， + 4 (， 3 2 ，这时均为负数，故选项 C 不正确； 选项 D， + 4 (， 3 2 ，存在 x0（0，1） ，使 sin（x0+ 4）0，故选项 D 正确 故选：ABD 12 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，M 为 BB1的中点， 过 B1M 作长方体的截面 交棱 CC1于 N，则（ ） A截面 可能为六边形 B存在点 N，使得 BN截面 C若截面 为平行四边形，则 1CN2 D当

28、N 与 C 重合时，截面面积为36 4 【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，M 为 BB1的中点，过 B1M 作长方体的截面 交棱 CC1于 N， 设 N0为 CC1的中点，根据点 N 的位置的变化分析可得， 当 1CN2 时，截面 为平行四边形， 当 0CN1 时，截面 为五边形， 第 13 页（共 22 页） 当 CN0，即点 N 与点 C 重合时，截面 为梯形，故选项 A 错误，选项 C 正确； 设 BN截面 ，因为 B1M，所以 BNB1M， 所以 N 只能与 C 重合才能使 BNB1M， 因为 BN 不垂直平面 B1CQM，故此时不成立，故选项 B

29、错误； 因为当 N 与 C 重合时，截面 为梯形， 如图（2）所示，过 M 作 MM垂直于 B1C 于点 M， 设梯形的高为 h，B1Mx， 则由平面几何知识可得 2 = (2)2 2= ( 5 2 )2 ( 5 2 )2，解得 = 25 5 ，=6 5， 所以截面 的面积为1 2 (5 + 5 2 ) = 1 2 35 2 6 5 = 36 4 ，故选项 D 正确 故选：CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）ex+ex2（e 是自然对数的底数，则曲线 yf（x）在 x1 处 的切线方程是 ex

30、ye0 【解答】解：由 f（x）ex+ex2，得 f（x）ex+2ex， f（1）e+2ee， 又 f（1）0， 曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程是 y0e（x1） ， 即 exye0 故答案为：exye0 14 （5 分）某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有 7 支代表队出线进入决赛阶段， 其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队根据赛制，先用抽签的方式，把 7 支出线球队随机分成 A、B 两组分别进行单循环赛，其中 A 组 3 支球队、B 组 4 支球队， 第 14 页（共 22 页） 则甲、乙恰好在同一组的概率为 3 7 【解答】解：有 7 支代表队出线进入决赛阶段，其中的

31、甲、乙两支队伍分别是去年的冠、 亚军球队 先用抽签的方式，把 7 支出线球队随机分成 A、B 两组分别进行单循环赛，其中 A 组 3 支球队、B 组 4 支球队， 基本事件总数 n= 7 344 =35， 甲、乙恰好在同一组包含的基本事件个数 m= 2 25144 + 2 25233 =15， 则甲、乙恰好在同一组的概率为 P= = 15 35 = 3 7 故答案为：3 7 15 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线 l 交 x 轴于点 K，过 F 作倾斜 角为 的直线与 C 交于 A，B 两点，若AKB60，则 sin 3 3 【解答】 解： 抛物线 C： y22p

32、x （p0） 的焦点为 F （ 2 ，0） ， 准线 = 2， K( 2 ，0)， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，令 y1y2，： = + 2， 联立有 = + 2 2= 2 ，消去 x 得，y22pxp20， 则 = 422+ 420 1+ 2= 2 1 2= 2 ，所以= 1 1+ 2 ，= 2 2+ 2 ， 则 tanAKBtan（AKF+BKF）= 1+ = 3， 即 1 1+ 2 2 2+ 2 =3 +3 12 (1+ 2)(2+ 2) ， 化简得(1 2) = 3(2+ 1)12+ 3(1+ 2) + 32， 422+ 42= 3(2+ 1)2+ 2322+ 32，

33、消去 p2得22+ 1 = 3(2+ 1) + 232+ 3，即22+ 1 = 32， 所以 3m44m240，解得 m22，即 = 2， 所以 = 2 2 或 2 2 ，则1 + 2 = 1 + 2 2 = 1 2 = 3 2， 则2 = 2 3， 2 = 1 2 =1 3， 0，） ，sin0，则 sin= 3 3 第 15 页（共 22 页） 16（5分） 已知四棱锥PABCD的顶点都在球O上， AB3， BC4， CD1， AD26， AC5， 平面 PAD平面 ABCD，且 PAPD，则球 O 的体积为 125 6 【解答】解：取 AC 的中点 O，AD 中点 H，连接 OH，OB，

34、OD，PH， AB3，BC4，CD1，AD= 26，AC5， AD2+CD2AC2，AB2+BC2AC2， 则 ADCD，ABBC，O 到 A，B，C，D 的距离相等， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CDAD， CD平面 ABCD，CD平面 PAD， O，H 分别为 AC，AD 的中点，OHCD， OH平面 PAD，又 PAPD，O 到 P、A、D 的距离相等 O 为四棱锥 PABCD 的外接球的球心，得 OD= 2+ 2=(1 2) 2+ (6)2 = 5 2， 球 O 的体积为 V= 4 3 3 = 4 3 (5 2) 3 = 125 6 故答案为：125 6

35、 第 16 页（共 22 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在log2an+1log2an+1，an+1an+2n，an+12an+1an2an2（an0）这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答 已知bnan为等差数列，bn的前 n 项和为 Sn，且 a12，b12，b314，_，是 否存在正整数 k，使得 Sk2021？若存在，求 k 的最小值；若不存在，说明理由 【解答】解：若选，由 log2an+1log2an+1，可得 log2an+1lo

36、g2an1， 所以log2an是首项为 log2a11，公差为 1 的等差数列， 所以 log2an1+（n1）n，即 an2n， 又 b12，b314，a12，a38，所以 b1a10，b3a36， 所以等差数列bnan的公差为 d= (33)(11) 31 =3， 所以 bnanb1a1+（n1）d3（n1） ， 所以 bn2n+3 （n1） ， Sn （2+22+23+2n） +3 （1+2+3+n） 3n2n+12+ 323 2 ， 由 Sn2021，可得 n10， 即存在正整数 k，使得 Sk2021，且 k 的最小值为 10 若选，由 an+1an+2n，可得 a2a12，a3a2

37、22，a4a323，anan12n 1（n2） ， 相加可得 ana12+22+23+2n 1=2(121) 12 =2n2，又 a12， 所以 an2n（n2） ，显然 a12 也满足 an2n（n2） ， 故 an2n 下同选 若选，由 an+12an+1an2an2， 整理可得（an+12an） （an+1+an）0， 又 an0，所以 an+12an，即+1 =2， 第 17 页（共 22 页） 所以an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an2n， 下同选 18 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，CD5，ABC= 2 3 （1）若 AC27，求梯形

38、ABCD 的面积； （2）若 ACBD，求 tanABD 【解答】解： （1）设 BCx，在ABC 中，由余弦定理可得 28x2+42x2 （ 1 2） ，整 理可得：x2+2x240，解得 x4， 所以 BC4，则 SABC= 1 2 24 3 2 =23， 因为 CD= 5 2 ，所以 SACD= 5 2 =53， 所以 S梯形ABCDSABC+SACD73； （2）设ABD，则BDC，BAC= 2 ，DBC= 2 3 ，BCA 6， 在ABC 中，由正弦定理可得 2 ( 6) = ( 2) ， 在BCD 中，由正弦定理可得 5 (2 3) = ， 两式相除可得 2(2 3) 5( 6)

39、= ( 2) ，展开可得 2( 3 2 +1 2) 5( 3 2 1 2) = ， 所以可得 53sin27sincos23cos20， 即 53tan27tan23 =0， 解得 tan= 23 3 或 tan= 3 5 ， 又因为 （ 6， 2） ， 所以 tan= 23 3 ，即 tanABD= 23 3 19 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC= 1 2AA12，M、N 分别为 AB、B1C1 的中点 第 18 页（共 22 页） （1）求证：MN平面 ACC1A1； （2）若 B1M32，求二面角 B1A1MN 的余弦值 【解答】证明： （）取 AC 的中点

40、O，连接 OM，OC1， 在ABC 中，M 为 AB 的中点，O 为 AC 的中点， OMBC，且 OM= 1 2BC， 又 N 为 B1C1 的中点，BCB1C1，且 BCB1C1， C1NBC，且 C1N= 1 2BC， OMC1N 且 OMC1N，从而四边形 OMNC1为平行四边形 MNOC1， 又 MN平面 ACC1A1，OC1平面 ACC1A1， MN平面 ACC1A1； 解： （）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1AB，1 = 32，BB14， = 12 12= 2，故 AB= 22，AC2+BC2AB2，从而 ACBC， 以 C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则

41、 M（1，1，0） ，A1（2，0，4） ，B1（0，2，4） ，N（0，1，4） ， 1 = (1，1，4)，1 = (1， 1，4)， = (1，0，4)， 设平面 MA1B1 的法向量为1 = (，)， 则1 1 = + 4 = 0 1 1 = + + 4 = 0 ，取 x1，得1 = (1，1，0)； 设平面 MA1N 的法向量为2 = (1，1，1)， 则2 1 = 1 1+ 41= 0 2 = 2+ 42= 0 ，取 z21，得2 = (4，8，1) 第 19 页（共 22 页） cos1 ，2 = 1 2 |1 |2 | = 12 29 = 22 3 由图可知，二面角 B1A1M

42、N 为锐二面角， 则二面角 B1A1MN 的余弦值为22 3 20 （12 分）为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校 环保小组在暑假期间（60 天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身 运动的人数，并与当天 AQI 值（从气象部门获取）构成 60 组成对数据（xi，yi） （i1， 2，60） ，其中 xi为当天参加户外健身运动的人数，yi为当天的 AQI 值，并制作了如 图散点图 （1）环保小组准备做 y 与 x 的线性回归分析，算得 y 与 x 的相关系数为 0.58，试 分析 y 与 x 的线性相关关系？ （2） 环保小组还发现散点有分区聚

43、集的特点， 尝试作聚类分析 用直线 x100 与 y100 将散点图分成、四个区域（如图） ，统计得到各区域的点数分别为 5、10、 第 20 页（共 22 页） 10、 35， 并初步认定 “参加户外健身运动的人数不少于 100 与 AQI 值不大于 100 有关联” ， 试分析该初步认定的犯错率是否小于 1%？ 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）由 y 与 x 的相关系数为 0.58，所以 y 与 x 的线性相关关系是负相 关， 且|0.75，所以线性相关性不强，所以

44、不建议继续做线性回归分析， 得到的回归方程，拟合效果也会不理想， （相关指数 R20.3364） ； （2）建立 22 列联表如下： 人数100 人数100 总计 AQI100 10 5 15 AQI100 10 35 45 总计 20 40 60 代入公式计算得 K2= 60(1035105)2 15452040 =10， 查表知 6.6351010.828， 所以犯错误率在 0.001 与 0.1 之间， 即该初步认定的犯错率小于 1% 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且过点 A（2， 0） （1）求 C 的方程； （2）点

45、P、Q 分别在 C 和直线 x4 上，OQAP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与 直线 QF 的交点在某定曲线上 【解答】解： （1）由题意可知：A（2，0）为椭圆的左顶点，故 a2， 又 F（1，0）为 C 的右焦点，所以 a2b21，于是 b23， 故椭圆 C 的方程为： 2 4 + 2 3 = 1； （2）证明：设 P（x0，y0） （x02） ，则 M（02 2 ， 0 2 ） ， 第 21 页（共 22 页） 直线 AP 的斜率 k= 0 0+2， 又 OQAP，所以直线 OQ 的方程为 y= 0 0+2x， 令 x4 得 Q（4， 40 0+2） ， = (02 2 ，

46、0 2 )， = (3， 40 0+2)， 所以 = 3(02) 2 + 20 2 0+2 = 3(0 24)+402 2(0+2) （*） ， 又 P 在椭圆 C 上，所以0 2 4 + 0 2 3 = 1，代入（*）得： = 0，所以 OMFQ， 故直线 OM 与 FQ 的交点在以 OF 为直径的圆上， 且该圆的方程为：（x 1 2） 2 + 2= 1 4， 即直线 OM 与直线 FQ 的交点在某定曲线（x 1 2） 2 + 2= 1 4上 22 （12 分）设 a0 且 a1，函数 f（x）sinaxasinx （1）若 f（x）在区间（0，2）有唯一极值点 x0，证明：f（x0）min

47、2a， （1a）； （2）若 f（x）在区间（0，2）没有零点，求 a 的取值范围 【解答】 解：（1） 证明： f （x） acosaxacosxa （cosaxcosx） 2asin+1 2 xsin1 2 x， 若 a1，则 f（x）在区间（0，2）至少有 x1= 2 +1，x2= 4 +1两个变号零点，故 0a 1， 令 f（x）0，得 xm= 2 +1，xn= 2 1，其中 m，nZ，仅当 m1 时，x1= 2 +1（0， 2） ， 且在 x1的左右两侧，导函数的值由正变负， 故 0a1 时，f（x）在区间（0，2）有唯一极值点 x0= 2 +1， 此时 f（x0）sinax0asi

48、nx0，将 x0= 2 +1代入得： f（x0）sin2 +1 ssin 2 +1 =sin2 +1 +asin（2 2 +1）（1+a）sin 2 +1， 当 2 +1 1 2，即 0a 1 3时，2a（1a）， 由不等式：x0 时，xsinx（*）知： （1+a）sin2 +1 （1+a）2 +1 =2a， 当 2 +1 1 2，即当 1 3 a1 时， （1a）2a， 第 22 页（共 22 页） （1+a）sin2 +1 =（1+a）sin（ 2 +1）（1+a）sin (1) +1 ， 由不等式（*）知： （1+a）sin(1) +1 （1+a）(1) +1 =（1a）， 由知 f（

49、x0）min2a， （1a） （2）当 a1 时，f（ ）sin（a ）asin = asin 0，f（3 2 ）sin（3 2 ） +a0， 故 f（ ） f（ 3 2 ）0， 由零点存在性定理知：f（x）在区间（ ， 3 2 ）上至少有 1 个零点， 当1 2 a1 时， 2， 2 a，2a2， f（ ）asin 0，f（）sina0，f（2）sin2a0， 由零点存在性定理知，f（x）在区间（，2）至少有 1 个零点， 当 0a 1 2时，f（x）acosaxacosxa（cosaxcosx） ， 令 g（x）cosaxcosx，则 g（x）asinax+sinx， 在区间（0，）上，cosaxcosx，f（x）0，f（x）递增， 在区间（，2）上，g（x）0，即 g（x）递减，即 f（x）递减，f（x）f（2） 0， 故 f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，2）上递减， 又 f（0）0，f（2）sin2a0，即在（，2）上，f（x）0， 故 f（x）在区间（0，2）上没有零点，满足题意， 综上，若 f（x）在区间（0，2）上没有零点， 则正数 a 的取值范围是（0，1 2