1、数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方 数、倍数与因数 （1）数的奇偶性 奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 奇数个奇数相加=奇数 偶数个奇数相加=偶数 奇数 奇数=奇数 偶数 偶数=偶数 奇数 偶数=偶数 只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数 （2）数的整除，常见的数的整除特征 2：个位是偶数 3：各个数位之和是 3 的倍数 5：个位是 0 和 5 4、25：后两位可以被 4（25）整除 8、125：后三位可以被 8（125）整除 9：各个数位之和是 9 的倍数 7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数
2、的 2 倍，差是 7 的倍数。例如， 判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：133 27，所以 133 是 7 的倍数；又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下：6139 2595 ， 595 249，所以 6139 是 7 的倍数。 11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是 11 的倍数。 13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被 13 整除即可被 13 整除。 17： 若一个整数的个位数字截去， 再从余下的数中， 减去个位数的 5 倍， 如果差是 17 的倍数， 则原数能被 17 整除。 （3）余数的性质 1.余数的可加性：和的余
3、数等于余数的和。 2.余数的可减性：差的余数等于余数的差。 3.余数的可乘性：积得余数等于余数的积。 4.同余的性质： 对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。 小试牛刀小试牛刀 1 （0505年人大附中考年人大附中考题）题） 有有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除 它本身。它本身。 2 （0505 年年 101101 中学考题）中学考题）
4、如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 9 倍，问这个两位数倍，问这个两位数 是。是。 3 （0505 年年首师附中首师附中考题）考题） 21 1 + + 2121 202 + + 21212121 13131313 212121 505 = =。 4 （0 04 4 年人大附中年人大附中考题）考题） 甲、乙、丙代表互不相同的甲、乙、丙代表互不相同的3 3个正整数，并且满足：甲个正整数，并且满足：甲甲甲= =乙乙+ +乙乙= =丙丙135135那那么甲最小是么甲最小是_。 5 (0202
5、年人年人大大附中考题附中考题) ) 下列数不是八进制数的是下列数不是八进制数的是( )( ) A A、125 B125 B、126 C126 C、127 D127 D、128 128 【附答案】【附答案】 1 【解】：【解】：6 6 2 2 【解】：设原【解】：设原来数为来数为 abab，这样后来的数为，这样后来的数为 a0b,a0b,把数字展开我们可得：把数字展开我们可得：100a+b=9100a+b=9(10a+b),(10a+b),所以我们所以我们 可以知道可以知道 5a=4b,5a=4b,所以所以 a=4,b=5,a=4,b=5,所以原来的两位数为所以原来的两位数为 4545。 3 【
6、解】：周期性数字，每个数约分后为【解】：周期性数字，每个数约分后为 21 1 + + 21 2 + + 21 5 + + 21 13 =1=1 4 【解】：题中要求丙与【解】：题中要求丙与135135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+ +乙），这样我们分解乙），这样我们分解135=5135=53 33，所以丙最小应该是，所以丙最小应该是2253，所以甲最小是：，所以甲最小是：2335=90。 5 5 【解】：八进制数是由除以【解】：八进制数是由除以 8 8 的余数得来的，不可能出现的余数得来的，不可能出现 8 8，所以答案是，所以答案是 D D。 四四、
7、典型例题解析、典型例题解析 1 1 数的整除数的整除 【例【例1 1】（）（）将将4 4个不同的数字排在一起，可以组成个不同的数字排在一起，可以组成2424个不同的四位数（个不同的四位数（4 43 32 21=241=24）。将这）。将这2424 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5 5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4 4整除的整除的 偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30003000- -40004000之间。请求出这之间。请求出这24
8、24个四位数中最大的一个个四位数中最大的一个。 【解】：【解】：不妨设这不妨设这4 4个数字分别是个数字分别是abcdabcd 那么从小到大的第那么从小到大的第5 5个就是个就是dacb,dacb,它是它是5 5的倍数，因此的倍数，因此b=0b=0或或5 5，注意到，注意到bcd,bcd,所以所以b=5;b=5; 从大到小排列的第从大到小排列的第2 2个是个是abdc,abdc,它是不能被它是不能被4 4整除的偶数；所以整除的偶数；所以c c是偶数，是偶数，c cb=5b=5，c=4c=4或或2 2 从小到大的第二十个是从小到大的第二十个是adbc,adbc,第五个是第五个是dacb,dacb
9、,它们的差在它们的差在30003000- -40004000之间，所以之间，所以a=d+4a=d+4； 因为因为ab,ab,所以所以a a至少是至少是6 6，那么，那么d d最小是最小是2 2，所以，所以c c就只能是就只能是4 4。而如果。而如果d=2d=2，那么，那么abdcabdc的末的末2 2位是位是2424，它是，它是4 4的的 倍数，和条件矛盾。因此倍数，和条件矛盾。因此d=3,d=3,从而从而a=d+4=3+4=7a=d+4=3+4=7。 这这2424个四位数中最大的一个显然是个四位数中最大的一个显然是abcd,abcd,我们求得了我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3a=7,
10、b=5,c=4,d=3 所以这所以这2424个四位数中最大的一个是个四位数中最大的一个是75437543。 【例【例2 2】（）一个一个5 5位数，它的各个位数字和为位数，它的各个位数字和为4343，且能被，且能被1111整除，求所有满足条件的整除，求所有满足条件的5 5位数？位数？ 思路思路 ：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被1111整除，但我们发现被整除，但我们发现被1111整除性质整除性质 的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 【解
11、】：【解】：5 5 位数数字和最大的为位数数字和最大的为 9 95=455=45，这样，这样 4343 的可能性只有的可能性只有 9 9，9 9，9 9，9 9，7 7 或或 9 9，9 9，9 9，8 8，8 8。这样。这样 我们接着用我们接着用 1111 的的整除特征，发现符合条件的有整除特征，发现符合条件的有 9997999979，9799997999，9898998989 符合条件。符合条件。 【例【例 3 3】 （）由由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？整除的最大的数是多少？ 【解】：【解】：各位数
12、字和为各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大，首位必须是为了使得该数最大，首位必须是 8，第，第 2 位是位是 7，14-8=6 那么第那么第 3 位一定是位一定是 5，第，第 5 位为位为 1 该数最大为该数最大为 875413。 拓展拓展 ：一个三位数，它由：一个三位数，它由 0 0，1 1，2 2，7 7，8 8 组成，且它能被组成，且它能被 9 9 整除，问满足条件的总共有几个？整除，问满足条件的总共有几个？ 【例【例 4 4】（）一个学校参加兴趣活一个学校参加兴趣活动的学生不到动的学生不到 10
13、0100 人，其中男同学人数超过总数的人，其中男同学人数超过总数的 4/7 4/7 ，女同学的，女同学的 人数超过总数的人数超过总数的 2/5 2/5 。问男女生各多少人？。问男女生各多少人？ 【来源】：【来源】：0606 年理工附入学测试题年理工附入学测试题 【解】：男生超过总数的【解】：男生超过总数的 4/74/7 就是说女生少个总数的就是说女生少个总数的 3/73/7，这样女生的范围在，这样女生的范围在 2/52/53/73/7 之间，同理可得之间，同理可得 男生在男生在 4/74/73/53/5 之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在 28/7
14、028/7030/7030/70 之间，所以只能是之间，所以只能是 2929 人，人， 这样男生为这样男生为 4141 人。人。 2 2 质数与合数（分解质因数）质数与合数（分解质因数） 【例【例5 5】（）200520056846843 37 75 5最后最后4 4位都是位都是0,0,请问请问里最小是几里最小是几? ? 【解】：【解】：先先分析分析1 12 23 34 41010的积的末尾共有多少个的积的末尾共有多少个0 0。由于分解出。由于分解出2 2的个数比的个数比5 5多，这样我们可以得多，这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个出就看所有数字中能分解出多少个5 5这个质因数。而
15、能分解出这个质因数。而能分解出5 5的一定是的一定是5 5的倍数。注意：的倍数。注意：5 5的倍数的倍数 能分解一个能分解一个5 5，2525的倍数分解出的倍数分解出2 2个个5 5，125125的倍数能分解出的倍数能分解出3 3个个5 5最终转化成计数问题，如最终转化成计数问题，如5 5的的 倍数有倍数有10/5=210/5=2个。个。 2005=52005=5401 684=2401 684=22 2171171 375=3375=35 55 55 5前三个数里有前三个数里有2 2个质个质因子因子2 2，4 4个质因子个质因子5 5，要使得乘积的最后，要使得乘积的最后4 4位都是位都是0
16、0 应该有应该有4 4个质因子个质因子2 2和和4 4个质因子个质因子5 5，还差，还差2 2个质因子。因此里最小是个质因子。因此里最小是4 4。 拓展拓展 ：20052005684684375375最后最后4 4位都是位都是0 0，且是，且是7 7的倍数，问里最小是的倍数，问里最小是_ 【例【例 6】 （）03 年年 101 中学招生人数是一个平方数，中学招生人数是一个平方数，04 年由于信息发布及时，年由于信息发布及时，04 年的招生人数比年的招生人数比 03 年多了年多了 101 人，也是一个平方数，问人，也是一个平方数，问 04 年的招生人数？年的招生人数？ 【解】 ：看见两个平方数，
17、发现跟平方差相关，这样我们大胆的设【解】 ：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设 03 年的为年的为 A A 2 ，0404 年的为年的为 B B 2 ，从中我，从中我 们发现们发现 0404 年的比年的比 0303 年多年多 101101 人，这样我们可以列式子人，这样我们可以列式子 B B 2 - - A A 2 =101=101 此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开， 所以所以 B B 2 - - A A 2 = =（A+BA+B） （） （A A- -B B）=101=101，可见右边的数也
18、要分成，可见右边的数也要分成 2 2 个数的积，还得考虑同奇偶性，但个数的积，还得考虑同奇偶性，但 101101 是个是个 质数，所以质数，所以 101101 只能分成只能分成 1011011 1，这样，这样 A+B=101A+B=101，A A- -B=1B=1，所以，所以 A=50A=50，B=51B=51，所以，所以 0404 年的招生人数为年的招生人数为 5151 51=260151=2601。 拓展拓展 ：一个数加上一个数加上 10，减去，减去 10 都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题） 3 3 约数和倍数约数和倍数 【例【例7
19、 7】（）从一张长从一张长20022002毫米，宽毫米，宽847847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如 果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断 的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？ 【解】 ：【解】 ：边长是边长是20022002和和847847的最大公约数，可用辗转相除法求得的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,84720
20、02,847）=77=77 所以最后剪得的正方形的边长是所以最后剪得的正方形的边长是7777毫米。毫米。 辗转相除示例：辗转相除示例： 20022002847=2847=2308 308 求求2 2个数的最大公约数，就用大数除以小数个数的最大公约数，就用大数除以小数 847847308=2308=2231 231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308308231=1231=177 77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 23123177=3 77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的
21、最大公约数最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 【例【例8 8】（）一根木棍长一根木棍长100100米，现从左往右每米，现从左往右每6 6米画一根标记线，从右往左每米画一根标记线，从右往左每5 5米作一根标记线，请米作一根标记线，请 问所有的标记线中有多少根距离相差问所有的标记线中有多少根距离相差4 4米？米？ 【解】：【解】：100100能被能被5 5整除，所以每整除，所以每5 5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右 作，可见转化成讨论作，可见转化成讨论5 5，6 6的最小公倍数中的情况，画图可
22、得有的最小公倍数中的情况，画图可得有2 2根距离为根距离为4 4米，所以米，所以3030，6060，9090里各有里各有2 2条，条， 但发现最后但发现最后9696和和100100也是距离也是距离4 4米，所以总共米，所以总共2 23+1=73+1=7。 拓展拓展 ：在一根长木棍上，有三种刻度线：在一根长木棍上，有三种刻度线. .第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份； 第三种将木棍分成十五等份第三种将木棍分成十五等份. .如果沿每如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成
23、多少段？ 【例【例 9 9】（）1 1、2 2、3 3、4 420082008 这这 20082008 个数的最小公倍数等与多少个个数的最小公倍数等与多少个 2 2 与一个奇数的积？与一个奇数的积？ 【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除 2 2 以外都是奇数质因数，可见我以外都是奇数质因数，可见我 们只要找需要多少个们只要找需要多少个 2 2，所以只要看，所以只要看 1 120082008 中中 2 2n n 谁最大，可见谁最大，可见 2 210=102410=1024，所以为，所以为 10 10 个个
24、 2 2。 【例【例1010】（）有有1515位同学，每位同学都有编号，它们是位同学，每位同学都有编号，它们是1 1号到号到1515号。号。1 1号同学写了一个自然数，号同学写了一个自然数，2 2 号说：“这个数能被号说：“这个数能被2 2整除”，整除”，3 3号说“这个数能被号说“这个数能被3 3整除”，整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能依次下去，每位同学都说，这个数能 被他的编号数整除，被他的编号数整除，1 1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1 1）说）说 得不对的两位同学，他们的
25、编号是哪两个连续自然数？（得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2 2）如果告诉你，）如果告诉你，1 1号写的数是五位数，请求出这号写的数是五位数，请求出这 个数。（写出解题过程）个数。（写出解题过程） 【解】：【解】：1 1）首先可以断定编号是）首先可以断定编号是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号 乘以乘以2 2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这
26、个数 能被能被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7都整除。都整除。 其次利用整除性质可知，这个数也能被其次利用整除性质可知，这个数也能被2 25 5，3 34 4，2 27 7都整除，即编号为都整除，即编号为1010，1212，1414的同学说的也对。的同学说的也对。 从而可以断定说的不对的编号只能是从而可以断定说的不对的编号只能是8 8和和9 9。 2 2）这个数是）这个数是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，1010，1111，1212，1313，1414，1515的公倍数的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是由于上述十二个数的最小公倍数是6006060060 因为
27、因为 6006060060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 1 号同学写的数就是号同学写的数就是 6006060060。 4 4 数论的综合题型数论的综合题型 【例【例 1111】（）某住宅区有某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是家住户，他们的门牌号分别是 1，2，,12.他们的电话号码依次是他们的电话号码依次是 12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字 都小于都小
28、于 6，并且门牌号是，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的电话号码是什么数？整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 【解】：【解】： 设第一户电话号是设第一户电话号是 x+1,第二户第二户 x+2,.第第 12 户电话号户电话号 x+12 根据条件得根据条件得 x+i 是是 i 的倍数的倍数(i=1,2,12)因此因此 x 是是 1，2，.12 的公倍数的公倍数 1,2,.12=27720 所以所以 x=27720m 27720m+9 是是 13 的倍数，的倍数，27720 除以除以 13 余数为余数为 4 所以所以 4m+9 是是 13
29、的倍数的倍数 m=1,14,27. 第一家电话号码是第一家电话号码是 27720m+1 m 取取 14 合适；合适； 因此第因此第一家电话号码是一家电话号码是 27720*14+1=388081 拓展拓展 ：写出连续的写出连续的 11 个自然数，要求第个自然数，要求第 1 个是个是 2 的倍数，第二个是的倍数，第二个是 3 的倍数第的倍数第 11 个是个是 12 的倍数？的倍数？ 【例【例1212】（）有有1515位同学，每位同学都有编号，它们是位同学，每位同学都有编号，它们是1 1号到号到1515号。号。1 1号同学写了一个自然数，号同学写了一个自然数，2 2 号说：“这个数能被号说：“这个
30、数能被2 2整除”，整除”，3 3号说“这个数能被号说“这个数能被3 3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能 被他的编号数整除，被他的编号数整除，1 1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1 1）说）说 得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2 2）如果告诉你，）如果告诉你，1 1号写的号写的数是五位数，请求出这数是五位数，请求出这 个数。（写出解题过程）个数。（写出解题过程） 【解】：【解
31、】：1 1）首先可以断定编号是）首先可以断定编号是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号 乘以乘以2 2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数 能被能被2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7都整除。都整除。 其次利用整除性质可知，这个数也能被其次利用整除性质可知，这个数也能被2 25 5，3 34 4，2 27 7都整除，即编号为都整除，即编号为1010，
32、1212，1414的同学说的也对。的同学说的也对。 从而可以断定说的不对的编号只能是从而可以断定说的不对的编号只能是8 8和和9 9。 2 2）这个数是）这个数是2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，1010，1111，1212，1313，1414，1515的公倍数的公倍数 由于上述十二个由于上述十二个数的最小公倍数是数的最小公倍数是6006060060 因为因为 6006060060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 1 号同学写的数就是号同学写的数就是 6006060060。 小结小结 本讲主要接触到
33、以下几种典型题型本讲主要接触到以下几种典型题型： 1 1）数的整除数的整除。 参见例参见例 1 1，2 2，3 3，4 4 2 2）质数与合数（分解质因数）质数与合数（分解质因数） 。参见例。参见例 5 5，6 6 3 3）约数和倍数约数和倍数。 参见例参见例 7 7，8 8，9 9，1010 4 4）数论的综合题型数论的综合题型。 参见例参见例 1111，1212 作业题作业题 （注：作业题（注：作业题-例题例题类型类型对照对照表表，供参考），供参考） 题题 1 1，4 4类型类型 1 1；题；题 2 2，6 6类型类型 3 3；题；题 3 3，5 5，8 8类型类型 2 2；题题 7 7类
34、型类型 2 2 1 1 （ （）在在 1 1100100 这这 100100 个自然数中，所有不能被个自然数中，所有不能被 9 9 整除的数的和整除的数的和是是多少？多少？ 解：解：1+2+1+2+100=5050+100=5050 9+18+27+9+18+27+99=9+99=9(1+2+(1+2+11)=495+11)=495 随意随意 1 1- -100100 中所有不能被中所有不能被 9 9 整除的数的和是整除的数的和是 50505050- -495=4555495=4555 2 2 （ （）某班学生不超过某班学生不超过 6060 人，在一次数学测验中，分数不低于人，在一次数学测验中
35、，分数不低于 9090 分的人数占分的人数占 7 1 ，得，得 80808989 分的人分的人 数占数占 2 1 ，得，得 70707979 分得人数占分得人数占 3 1 ，那么得，那么得 7070 分以下的有分以下的有_人。人。 解：有解：有 7 1 、 2 1 、 3 1 ，说明总人数一定为，说明总人数一定为 7 7 的倍数、的倍数、2 2 的倍数、的倍数、3 3 的倍数，故为的倍数，故为77、2 2、334242 的倍数；的倍数； 又由于人数不超过又由于人数不超过 6060 人，故这班的人数只能为人，故这班的人数只能为 4242 人。人。 从而从而 7070 分以下的有：分以下的有：42
36、42 3 1 2 1 7 1 11 1 人。人。 3 （）自然数自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自的个位数字与十位数字都是质数，这样的自 然数有然数有_个。个。 解：枚举法：解：枚举法：23，37，53，73， ，有， ，有 4 个个 4. （）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第 三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 解：
37、这三个自然数最小是解：这三个自然数最小是 6，10，15（分别是（分别是 23,25,35） 和的最小值为和的最小值为 31。 5、 （）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方） ，这五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方） ，这 样一组数中的最大数的最小值是样一组数中的最大数的最小值是多少？多少？ 解：设中间一个数为解：设中间一个数为 2x 那么那么 5 个数的和为个数的和为 10 x=m2 中间中间 3 个数的和为个数的和为 6x=n3 设设 x=2p 3q 5r 再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶
38、数， 一个数是立方数等价于他的各个质因子再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数， 一个数是立方数等价于他的各个质因子 的幂都是的幂都是 3 的倍数可以求得的倍数可以求得 p=5,q=2,r=3 X=36000 因此所求为因此所求为 2x+4=72004 6 6、 （）一个数减去一个数减去 100 是一个平方数，减去是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个是多少？也是一个平方数，问这个是多少？ 解：解：A 2 -B 2 =（A+B） （） （A-B）=37=371，考虑同奇偶性，可知，考虑同奇偶性，可知 A=19，B=18，这样这个数为，这样这个数为 461。 7 7、
39、 （）从左向右编号为从左向右编号为 1 1 至至 19911991 号的号的 19911991 名同学排成一行从左向右名同学排成一行从左向右 1 1 至至 1111 报数，报数为报数，报数为 1111 的的 同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右从左向右 1 1 至至 1111 报数，报数为报数，报数为 1111 的同学留下，其余的的同学留下，其余的 同学出列；留下的同学同学出列；留下的同学第三次从左向右第三次从左向右 1 1 至至 1l1l 报数，报到报数，报到 1111 的同学留下，其余同学出列那么最后的同学留下，其余同学出列那么最
40、后留下留下 的同学中，从左边数第一个人的最初编号是的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_ 【来源来源】北京市第七届】北京市第七届“迎春杯迎春杯”决赛第二题第决赛第二题第 4 4 题题 【解】第一次报数后留下的同【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是学，他们最初编号都是 1111 的倍数；第二次的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编报数后留下的同学，他们最初编 号都是号都是 2 11=121=121 的倍数；第三次报数后留下的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的同学，他们最初编号都是 3 11=1331=1331 的倍数因此，第三次的倍数因此，第三次 报数后留下的同报数
41、后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是学中，从左边数第一个人的最初编号是 13311331 8 8、 （） 有有 19971997 个奇数， 它们的和等于它们的乘积 其中只有三个数不是个奇数， 它们的和等于它们的乘积 其中只有三个数不是 l l， 而是三个不同的质数 那， 而是三个不同的质数 那 么，这样的三个质数可以是么，这样的三个质数可以是 、 、 【解】设【解】设 a a、b b、c c 为三个不同的质数，为三个不同的质数，根据题意根据题意 1994+a+b+C=a1994+a+b+C=ab bc c 取取 a a=3=3，b=5b=5，得，得 1994+3+5+1994+3+5+c c=15c=15c，解出，解出 c=143c=143 不是质数；不是质数； 取取 a a=3=3，b=7b=7，得，得 1994+3+7+c=21c1994+3+7+c=21c，解出，解出 c c= = 5 501 不是整数；不是整数； 取取 a a=5=5，b=7b=7，得，得 1994+5+7+c=35C1994+5+7+c=35C，解出，解出 c=59c=59 故故 5 5、7 7、5959 是满足题意的三个质数是满足题意的三个质数
