1、化学工业出版社化学工业出版社 化工仪表及自动化化工仪表及自动化 第八章第八章 对象特性和建模对象特性和建模 化学工业出版社化学工业出版社 内容提要内容提要 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 被控对象数学模型被控对象数学模型 数学模型的主要形式数学模型的主要形式 机理建模机理建模 一阶对象一阶对象 积分对象积分对象 时滞对象时滞对象 1 化学工业出版社化学工业出版社 内容提要内容提要 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 放大系数放大系数 时间常数时间常数 滞后时间滞后时间 实测建模实测建模 2 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 自动控制系统自
2、动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控 制器和执行器组成。 研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素，如下图所示。 通道通道 调节通道调节通道 干扰通道干扰通道 ？ 几个概念几个概念 3 一、被控对象数学模型一、被控对象数学模型 图8-1 对象的输入、输出量 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型 静态数学模型静态数学模型 动态数学模型动态
3、数学模型 基础基础 特例特例 4 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 一般是在工艺一般是在工艺 流程和设备尺流程和设备尺 寸等都确定的寸等都确定的 情况情况，研究对研究对 象的输入变量象的输入变量 是如何影响输是如何影响输 出变量的出变量的。 研究的目研究的目 的是为了的是为了 使所设计使所设计 的控制系的控制系 统达到更统达到更 好的控制好的控制 效果效果。 在产品规格和产在产品规格和产 量已确定的情况量已确定的情况 下下，通过模型计通过模型计 算算，确定设备的确定设备的 结构结构、尺寸尺寸、工工 艺流程和某些工艺流程和某些工 艺条件艺条件。 （
4、a） （b） （c） 用于用于控制控制的数学模型（的数学模型（a、b）与用于）与用于工艺设计与分析工艺设计与分析的数学的数学 模型（模型（c）不完全相同。）不完全相同。 5 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 分类 数学模型建立的途径不同 机理建模 实测建模 混合模型 6 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 机理模型从机理出发,即从对象内在的物理和化学 规律出发, 建立描述对象输入输出特性的数学模型。 经验模型对于已经投产的生产过程,我们可以通过 实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数 据,通
5、过数学回归方法进行处理。 混合模型通过机理分析,得出模型的结构或函数形 式，而对其中的部分参数通过实测得到。 7 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 二、数学模型的主要形式二、数学模型的主要形式 8 非参量模型非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称 为非参量模型。 特点特点 形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 缺点缺点 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往 比较困难 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参 量模型。 参量模型参量模型 9 静态
6、数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。 动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、 差分方程及状态方程等 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 10 对于线性的集中参数对象 在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入 量的导数项可表示为 txtyatyatyatya n n n n 01 1 1 txbtxbtxbtxb tyatyatyatya m m m m n n n n 01 1 1 01 1 1 通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述 （8-1）
7、1.1.微分方程微分方程 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 11 txtyatya 01 举例举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性述其特性（通常称一阶对象通常称一阶对象），则可表示为则可表示为 （8-3） tKxtytyT 00 1 1 , a K a a T 或表示成或表示成 式中式中 （8-4） tKxtx a ty 0 1 如果系统处于平衡状态如果系统处于平衡状态 (静态静态) ,变量的导数项均为零变量的导数项均为零 （8-5） 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型
8、及描述方法数学模型及描述方法 2.2.传递函数传递函数 sX sY sG 所谓一个环节 (或对象)的传递函数是在初始条件为 零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变 换之比,记为 （8-6） dtetfsF st 0 拉氏变换是对函数的一种变换,定义为 （8-7） 12 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 sXbssXbsXsbsXsb sYassYasYsasYsa m m m m n n n n 01 1 1 01 1 1 运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式 (8-1) 两端分别取拉氏变换,则得 由此式可以方便地得到系统传递函数的
9、一般形式 01 1 1 01 1 1 asasasa bsbsbsb sX sY sG n n n n m m m m （8-8） 13 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 sKXsYsTsY 对于一阶对象,由式 (8-4)两端取拉氏变换,得 1 Ts K sG 因此一阶对象的传递函数形式为 （8-9） 14 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 3.3.差分方程差分方程 差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来 描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间 的关系。 kxbkxbmkxbmkxb k
10、yakyankyankya mm nn 011 011 11 11 （8-10） 式 (8-10)称为 n阶差分方程,当n= 1时称为一阶差 分方程。 15 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 t kyky dt tdy 1 如果将各个信号经过采样,采样间隔时间 (采样周期)为t tKxty dt tdy T 对于一阶微分方程 （8-11） kKxky t kyky T 1 kKxky t T ky t T 11 将上述关系代入式 (7-11) ,可得 或 16 化学工业出版社化学工业出版社 第一节第一节 数学模型及描述方法数学模型及描述方法 Kb
11、 t T a t T a 001 1 式中 kxbkyakya 001 1 写成一阶差分方程的一般形式,为 （8-12） kxbkyakyakya 0012 12 对于二阶微分方程 （8-13） kx a b ky a a ky 1 0 1 0 1 1121 0010 1 0 1 0 1 0 1 0 x a b y a a yk x a b y a a yk 时， 时， 递推公式为 17 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 一一、一阶对象一阶对象 1.1.水槽对象水槽对象 对象物料蓄存量的变化率对象物料蓄存量的变化率 单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物单位时间
12、流入对象的物料单位时间流出对象的物料料 依据依据 18 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 19 AdhdtQQ 21 （8-14） s R h Q 2 若变化量很微小变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比 将上式代入（8-14）式，移项 1 QRh dt dh AR ss ss RKART, 1 KQh dt dh T 令令 则则 图8-2 水槽对象 1 1 Ts K sQ sH sG 水槽对象的传递函数为 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 20 2.2.RC电路电路 0 eiRei ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫
13、定理 dt de Ci 0 由于由于 i ee dt de RC 0 0 i ee dt de T 0 0 RCT 消去消去i i 或或 图8-3 RC电路 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 二二、积分对象积分对象 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时， 称为称为积分对象积分对象。 21 dtQ A dh 1 1 Q2为常数，变化量为0 dtQ A h 1 1 说明，所示贮槽具有积分特性。 其中，A为贮槽横截面积 （8-27） 图8-4 积分对象 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机
14、理建模 sQ As sH 1 1 在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式 (8-27)进行拉氏变换,则有 AssQ sH sG 1 1 积分对象的传递函数G(s)为 22 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 三、时滞对象三、时滞对象 有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要 隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的 对象,而这段时间就称为时滞0 (或纯滞后)。 时滞的产生一般是由于介质的输送需要一段时间 而引起的。 23 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 24 显然显然，纯滞后时间0与皮带输送机的传送速度v和传送距 离L
15、有如下关系： v L 0 （8-30） 溶解槽及其 反应曲线 纯滞后时间 举例举例 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合 适等原因也会造成传递滞后。 图8-6 蒸汽直接加热器 当加热蒸汽量增大时，槽 内温度升高，然而槽内溶液流 到管道测温点处还要经过一段 时间0。所以，相对于蒸汽流 量变化的时刻，实际测得的溶 液温度T要经过时间0后才开始 变化。 注意：注意：安装成分分析仪器时安装成分分析仪器时，取样管线太长取样管线太长，取样点安装离设取样点安装离设 备太远备太远，都会引起较大的纯滞后时间都会引起较大的纯滞后时间，工
16、作中要尽量避免工作中要尽量避免。 25 化学工业出版社化学工业出版社 26 第二节第二节 机理建模机理建模 图8-7 时滞对象输入、 输出特性 x为输入量 （8-31） 0 00 , 0 , t ttx y 0 txy sXesY s 0 将 在初始条件为零时进行拉 氏变换,得 （8-32） s esG 0 因此,时滞对象的传递函数为 化学工业出版社化学工业出版社 第二节第二节 机理建模机理建模 0 tKxty dt tdy T 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞0 （8-33） sXKesYsYT s s 0 s e Ts sG 0 1 1 在初始条件为零
17、时,对上式进行拉氏变换,得 这时整个对象的传递函数为 （8-34） 说明说明：基于机理通过推导可以得到描述对象特性的微分 方程式或传递函数。 27 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 一、放大系数一、放大系数K 对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶 跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某 一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入， 而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时， 对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象 的静态特性。 28 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参
18、数描述对象特性的参数 29 1 Q h K s 1 QKhs 或 K在数值上等于对象重新稳定后的输 出变化量与输入变化量之比。K越大， 就表示对象的输入量有一定变化时， 对输出量的影响越大，即被控变量对 这个量的变化越灵敏。 图8-8 水槽液位的变化曲线 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 30 举例举例 以合成氨的转换炉为例以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被说明各个量的变化对被 控变量控变量K的影响的影响 生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少， 触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量， 来间接地控制转换率和其他指标
19、。 图8-9 一氧化碳变换过程示 意图 图8-10 不同输入作用时的被控变量 变化曲线 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、 蒸汽流量和半水煤气流量蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门改变阀门1 1、2 2、3 3的开度就可的开度就可 以分别改变冷激量以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小蒸汽量和半水煤气量的大小。从右从右 上图看出上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量 对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相
20、对对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对 放大系数最小放大系数最小。 31 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 二、时间常数二、时间常数T 32 从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后， 被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象 在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才 能达到新的稳态值。 图8-11 不同时间常数对象的反应曲线 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 如何定量地表示对象受如何定量地表示对象受 干扰后的这种特性呢？干扰后的这种特性呢？ 在自动化领域中，往往用 时
21、间常数T来表示。时间常 数越大，表示对象受到干 扰作用后，被控变量变化 得越慢，到达新的稳定值 所需的时间越长。 33 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 34 举例举例 简单水槽为例 1 KQh dt dh T由前面的推导可知 Tt eKQth 1 1 假定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1为一常数，如左图。 则函数表达式为 （8-36） 图8-12 反应曲线 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 对于简单水槽对象对于简单水槽对象，K= =RS，即放大系数只与出水阀的阻即放大系数只与出水阀的阻 力有关力
22、有关，当阀的开度一定时当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数放大系数就是一个常数。 1 KQh 1 Q h K 从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被 控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到 了新的稳态值h（），这时上式可得： 或或 （8-37） 35 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 36 1 1 1 632. 01KQeKQTh 将 t=T 代入式（8-36），得 （8-38） hTh632. 0 将式（8-37）代入式（8-38），得 （8-39） 当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的 63.2所需的时间，就是
23、时间常数T，实际工作中，常用这 种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的 变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 图8-13 不同时间常数对象的反应曲线 T1T2T3T4 说明说明 时间常数大的对象（如时间常数大的对象（如T4) 对输入的反应较慢，对输入的反应较慢， 一般认为惯性较大。一般认为惯性较大。 37 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 38 在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？ Tt e T KQ dt dh 1 将式（8-36）
24、对 t 求导，得 （8-40） T h T KQ dt dh t 1 0 当 t =0 （8-41） 0 t dt dh 当 t 时，式（8-40）可得 （8-42） 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 图8-14 时间常数T的求法 由左下图所示，式（8-41）代表了曲线在起始点时切 线的斜率，这条切线在新的稳定值h（）上截得的一段时 间正好等于T。 hKQeKATh95. 095. 013 1 3 由式（8-36），当 t =时，h = KQ1。当 t=3T时，代入式（8-36）得 （8-43） 从加入输入作用后从加入输入作用后，经过经过3T时间
25、时间，液位已经变化了全部液位已经变化了全部 变化范围的变化范围的95，这时这时，可以近似地认为动态过程基本结束可以近似地认为动态过程基本结束。 所以所以，时间常数时间常数T是表示在输入作用下是表示在输入作用下，被控变量完成其变被控变量完成其变 化过程所需要的时间的一个重要参数化过程所需要的时间的一个重要参数。 结论 39 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 三、滞后时间三、滞后时间 分类 定义 对象在受到输入作用后，被控变量却不能 立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。 滞 后 性 质 时滞 容量滞后 时滞又叫纯滞后，一般用0表示。0 的产生一般
26、是由于介质的输送需要一段 时间而引起的。 对象在受到阶跃输入作用x后，被控变 量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后 又变慢直至逐渐接近稳定值。 40 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 0 tKxty dt tdy T 1.1.时滞时滞 0 0 1 teKAty T t 当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0, x(t)是一个发生在t = 0的阶跃输入, 幅值为 A,对上述方程式求解,可得 （8-44） 图8-15 具有纯滞后的一阶 对象反应曲线 可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象, ,它
27、它 们的反应曲线在形状上完全相同们的反应曲线在形状上完全相同, ,只是具有时滞的反应曲线只是具有时滞的反应曲线 在时间上错后一段时间在时间上错后一段时间0 0。 41 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 2.2.容量滞后容量滞后 图8-16 具有容量滞后对象 的反应曲线 图8-17 图解近似方法 42 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 在容量滞后与纯滞 后同时存在时，常常把 两者合起来统称滞后时 间，即0h。 自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在 设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时
28、间减到最小。 结论 43 图8-18 滞后时间示意图 化学工业出版社化学工业出版社 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 目前常见的化工对象的滞后时间和时间常 数T大致情况如下： 被控变量为压力的对象不大,T也属中等; 被控变量为液位的对象很小,而T稍大; 被控变量为流量的对象和T都较小,数量 级往往在几秒至几十秒; 被控变量为温度的对象和T都较大,约几 分至几十分钟。 44 化学工业出版社化学工业出版社 第四节第四节 实测建模实测建模 定义 通过实验来测取对象的输入输出数据。 几个概念 系统辨识 参数估计 测试信号 测试信号的不同 阶跃反应曲线 矩形脉冲特性曲线 频率特性 45
29、 化学工业出版社化学工业出版社 第四节第四节 实测建模实测建模 在测试过程中要注意： 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳 定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。 对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时， 其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开 始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计 算滞后时间。 为保证测试精度，排除测试过程中其他干扰的影响， 测试曲线应是平滑无突变的。 46 化学工业出版社化学工业出版社 第四节第四节 实测建模实测建模 加试测试信号后，要密切注视各干扰变量和被控变 量的变化，尽可能把与测试无关的干扰排除。 测试和记录工作应该持续进行到
30、输出量达到新稳定 值基本不变时为止。 在反应曲线测试工作中，要特别注意工作点的选取。 47 化学工业出版社化学工业出版社 第四节第四节 实测建模实测建模 图8-19 测试的对象特性连接图 48 化学工业出版社化学工业出版社 例题分析例题分析 1.某温度计是一静态放大系数为1的一阶环节。当温度计由 温度为 0的地方突然插入温度为100的沸水中，经1min 后,温度指示值达到98.5。试确定该温度计的时间常数T, 并写出其相应的微分方程式与传递函数。 解：解：参照式 (8-36) ，已知 K= 1，输入阶跃幅值为100， t= 60s时，其温度值 y= 98. 5，则有 T e 60 11005
31、.98 由上式可以解得 T= 14. 3 (s) 49 化学工业出版社化学工业出版社 例题分析例题分析 xy dt dy 3 .14 由此可写出描述该温度计的微分方程为 式中， y表示输出量 (温度值) ； x表示输入变化量， 式中的时间量纲为s。 13 .14 1 ssX sY sG 将上述微分方程式在零初始条件下进行拉氏变换， 可得传递函数为 50 化学工业出版社化学工业出版社 例题分析例题分析 2.将上述温度计的信号进行采样,采样周期t=0.0715s。 试写出相应的差分方程。 t kyky dt dy kxtxkyty 1 ， xy dt dy 3 .14 解：解：将 代入微分方程 kxky kyky 0715. 0 1 3 .14得 kxkyky1991200简化后得 上式就是描述该温度特性的差分方程。当采样周期t改 变后，相应的差分方程的系数也会作相应的改变。 51 化学工业出版社化学工业出版社
