1、 第 1 页 共 8 页 省市省市 班级班级 姓名姓名_ 准准考考证证号号_ 装订线 绝密绝密 启用前启用前 中小学数学教师招聘考试模拟检测试卷 （满分：（满分：1 15050 分；时间：分；时间：150150 分钟）分钟） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。 1、已知全集1,2,3,4,5 ,2,3,4 ,3,5UAB，则下列结论正确的是( ) ABA B1,5 UA C 3AB D2,4,5AB 2、在ABC中, AB
2、ACABAC,4AB ,3AC ,则BC在CA方向上的投影是 ( ) A.4 B.3 C.-4 D.-3 3、设有下面四个命题 1 P:若z满足zC,则Rz z , 2 P:若虚数iR,Rab ab是方程 32 10xxx 的根,则iab也是方程的根, 3 P:已知复数 12 ,z z则 12 2zz的充要条件是 1 2 Rz z , 4 P:若复数 12 zz,则 12 ,Rz z . 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4、已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 60 根据
3、表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为6.517.5yx，则表中m的值 为（ ） A45 B50 C55 D70 5、函数 3 3 ( ) x x f x e 的大致图象是( ) A. B. C. D. 6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.67 3 B.103 C.123 D.12 7、若 3 sin() 25 ,为第二象限角,则tan ( ) A. 4 3 B. 4 3 第 2 页 共 8 页 C. 3 4 D. 3 4 8、已知数列 n a为等比数列,前n项和为 n S,且满足2n n Sa,则数列 n na的前n项和 n T ( ) A. 2n
4、na B. 21 n n C. (1) 21 n n D. (1) 21 n n 9、设 m是直线, , 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若/ / ,/ /mm,则/ / B.若/ / ,mm则 C.若,/ /aB m,则m D.若,m,则/ /m 10、已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点，若点 1 F关于双曲线渐近线的 对称点P满足 22 OPFPOF（O为坐标原点）,则E的离心率为（ ） A. 5 B.2 C. 3 D. 2 11、已知BxAxf)sin()( 0,0,| 2 A（）部分图象如图，则)(xf的一个对称中
5、 心是( ) A(,0) B (,0) 12 C 5 (1) 6 ， D (, 1) 6 12、已知函数( ) x f xee,( )ln1g xx,若对于 1 xR , 2 (0,)x,使得 12 ( )()f xg x, 则 12 xx的最大值为( ) A. e B. 1 e C. 1 D. 1 1 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13、由 100 3 32x展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有_项. 14、已知直线:40l xy与圆 22 :(1)(1)2Cxy,则 C上各点到l的距离的最小值 为 . 15、若实数, x y满足 22 2 2 xy
6、 xy y ,则zxy的最大值为_. 16、已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F准线l与x轴的交点为M,过点M的直线 l 与抛物线C的 交点为,?P Q连接PF并延长交抛物线C于点A,连接QF并延长交抛物线C于点B若 | 22 | PFQF AFBF ,则直线 l 的方程为_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、在ABC中，, ,A B C对应的边为, ,a b c，已知 1 cos 2 aCcb. 1.求角A； 第 3 页 共 8 页 2.若4b ，6c ，求cosB和cos2AB的值. 18、如图,四边形PCBA是直角梯形, 90PCB, / /,1
7、,2PMBC PMBC,又 1,120 ,ACACBABPC,直线AM与直线PC所成的角为60. 1.求证: PCAC; 2.求二面角MACB的余弦值. 19、全国人大常委会会议于 2015 年 12 月 27 日通过了关于修改人口与计划生育法的决定, “全面 二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了 男性市民 30 人、女性市民 70 人进行调查, 得到以下的2 2列联表: 支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计 60 40 100 1.根椐以上数据,能否有 0 90 0 的把握认为A市市民“支持全面二孩”与
8、“性别”有关? 2.将上述调查所得到的频率视为概率, 现在A市所有市民中,采用随机抽样的方法抽3位市民进行 长期跟踪调查, 记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X,求X的分布列及数学期望 2 2 n adbc K abcdbd 2 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010? 0.005 k 2.706? 3.841? 5.024 6.635 7.879 20、设 12 ,F F分别是椭圆 22 2 :1 4 xy E b 的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点, 12 PF PF的 最大值为1. 1.求椭圆E的方程; 第 4 页 共 8 页 2.设直线:1l xky与椭圆交于不
9、同的两点,?A B,且AOB为锐角(其中 O为坐标原点),求 k 的取 值范围. 21、已知函数 2 8lnRf xxxax a 1.当1?x 时, f x取得极值,求a的值并判断1?x 是极大值点还是极小值点 2.当函数 f x有两个极值点 1212 ,x xxx,且 1 1x 时,总有 21 11 1 ln 43 1 ax txx x 成立,求t的取 值范围. 22、在极坐标系中，曲线 12 ,C C的极坐标方程为 2cos ,cos()1. 3 1.求曲线 1 C和 2 C的交点的极坐标； 2.过极点O作动直线与曲线 2 C交于点Q在OQ上取一点P，使| |OQ|=2OP 求点P的轨迹的
10、直角坐 标方程 23、已知函数 1f xx 1.解不等式 21f xx; 2.Rx ,使不等式26f xf xm成立,求 m 的取值范围. 第 5 页 共 8 页 参考参考答案答案与详细解析与详细解析 1.B 解析：由题知集合A与集合B互相没有包含关系，且 3AB，2,3,4,5AB， 1,5 UA ，故选 B. 2.D 3.C 解析：对于 1 P中,若zC,设i,Rzab a b,则 22 Rz zab,所以是正确的; 对于 2 P中,若虚数i,Rab a b是方程的根,则iab也一定是方程的一个根,所以是正确的; 对于 3 P中,例如iz ,则iz ,此时1z z,所以不正确; 对于 4
11、P中,若 12 zz,则 12 ,z z必为实数,所以是正确的, 综上正确命题的个数为三个,故选 C. 4.C 5.C 6.C 7.A 解析：由 3 sin() 25 ,得 3 cos 5 , 因为为第二象限角, 2 4 sin1cos 5 . 则 sin4 tan cos3 . 故选:A. 8.C 解析：数列 n a为等比数列,且2n n Sa,当1n 时, 1 2aa,当2n时, 11 1 222 nnn nnn aSSaa ,可知 2 2,2qa, 2 2 2a ,1a ,经检验,符合 题意, 1 2n n a ,则 1 2n n nan , 021 1 22 23 2.2n n Tn
12、, 23 21 22 23 2.2n n Tn ,两式相减可得 21 1 2 1 22.222 1 2 n nnn n Tnn ,(1) 21 n n Tn. 9.B 10.B 11.D 12.D 13.17 解析：通项 100 100 32 11003 2 rr rr r TCx ,其中0,1,2,100r, 若系数为有理数,则100 2 r Z , 3 r Z, 所以r是 6 的倍数, r为 0,6,12,96,共 17 项. 14.2 15.6 解析：不等式组所表示的平面区域为图中ABC及其内部,分析知当目标函数表示的直线经过点 4,2C时,z取得最大值 6. 第 6 页 共 8 页 1
13、6. 6 (2) 6 yx 解析：设直线:2(0)lxmym,联立 2 8 2 yx xmy 故 222 8160,64640,1ymymm 设 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 则 1212 8 ,16yym y y 由抛物线的对称性可知, 2 12 21 y|QF| 4222 | yPF m AFBFyy 解得 2 6m ,故 6m ,故直线 l 的方程为 6 (2) 6 yx 17. 1.由条件 1 cos 2 aCcb，得 1 sincossinsin 2 ACCB， 又由sinsinBA C，得 1 sincossinsincoscossin 2 ACCACAC. 由si
14、n0C ，得 1 cos 2 A，故 3 A . 2.在ABC中，由余弦定理及4b ，6c ， 3 A , 有 222 2cosabcbcA，故2 7a . 由sinsinbAaB得 3 sin 7 B ，因为ba，故 2 cos 7 B . 因此sin22sincosBBB 4 3 7 , 2 cos22cos1BB 1 7 . 所以cos(2 )AB 11 coscos2sinsin2 14 ABAB . 18.1.,BCPC ABPC ABBCB, PC 平面ABC, AC 平面ABC, PCAC. 2.在平面ABC内,过点 C作BC的垂线,建立空间直角坐标系,如图所示 设0,0,Pz
15、313 3 0,0,0,1,0, 2222 CPzAMzz uuruuur 2 2 cos60cos, 3 AM CPz AM CP zzAM CP uuur uur uuur uur uuur uur ,且0z , 2 1 2 3 z z ,1z , 3 3 ,1 22 AM uuur 设平面MAC的一个法向量为( , ,1)nx y, 则由 33 10 0 22 031 0 22 xy n n CA xy AM , 3 3 1 x y 3 , 1,1 3 n r 又平面ABC的一个法向量为0,0,1CP uur , 第 7 页 共 8 页 21 cos, 7 CP P n C C n P
16、n 显然,二面角MACB为锐二面角 所以二面角MACB的余弦值为 21 7 . 19.1. 0.79372.706?k 没有把握 2. 3,0.6XB,1.8E X X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 20.1.易知2?a , 2 4cb, 2 4b , 所以 2 1 4,0Fb, 2 2 4,0Fb, 设,P x y,则 2 12 4,PF PFbxy 222 222222222 4,44124 44 b xb bxyxybxbbxb , 因为2,2x ,故当2x,即点P为椭圆长轴端点时, 12 PF PF有最大值1, 即 2 2 11424 4 b
17、 b ,解得 2 1b , 故所求的椭圆方程为 2 2 1 4 x y。 2.设 11 ,A x y, 22 ,B xy,由 1 11 3 x e , 得 12 2 2 4 k yy k , 12 2 3 4 yy k , 2 22 212 416480kkk , 因为AOB为锐角,所以cos0AOB, 所以 1 212 0OA OBx xy y, 又 2 12121212 11x xy yky yk yy 2 2 22 32 11 44 k k kk 222 2 3324 4 kkk k 2 2 14 0 4 k k , 所以 2 1 4 k ,解得 11 22 k, 所以 k 的取值范围是
18、 1 1 , 2 2 。 21.1. 2 28 0 , 10 xxa fxxf x ,则 6a 从而 213 0 xx fxx x ,所以0,1x时, 0fx , f x为增函数; 1,3x时, 0fx , f x为减函数,所以1?x 为极大值点. 2.函数 f x的定义域为0,?,有两个极值点 1212 ,x xxx,则 2 280t xxxa在 0,?上有两个不等的正实根, 所以08a, 由 12 12 12 4 2 xx a x x xx 可得 1 11 02 24 x axx 从而问题转化为在 1 02x,且 1 1x 时 21 11 1 ln 43 1 ax txx x 成立.即证
19、1112 11 1 24ln 43 1 xxx txx x 成立. 第 8 页 共 8 页 即证 11 1 1 2ln 1 1 xx t x x 即证 11 1 1 2ln 10 1 xx t x x 亦即证 2 1 1 1 11 1 2ln0 1 t x x x xx . 令 2 1 2ln02 t x h xxx x 则 2 2 2 02 txxt h xx x 1)当0t 时, 0h x,则 h x在0,2上为增函数且 10h,式在1,2上不成立. 2)当0t 时, 2 44t 若0,即1t 时, 0hx ,所以 h x在0,2上为减函数且 10h, 1 1 1 x x 、 2 1 1
20、1 1 2ln t x x x 在区间0,1及1,2上同号,故式成立. 若0,即10t 时, 2 2ytxxt的对称轴 1 1x t , 令 1 min,2a t ,则1xa时, 0h x ,不合题意. 综上可知: 1t 满足题意. 解析：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转 化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22. 1. 2 1: 2 cosC， 22 20xyx. 2 13 :1 22 Cxy即32xy. 22 2 20 230, 32 xyx yy xy 得0y 或 3 2 y 解得： 2 0 x y 或 1 2 3
21、2 x y 1 C和 2 C交点的极坐标为 5 (2,0),(1,) 3 2.设 00 (,), ( , )QP ，则 0 0 2, , ，即 0 0 2 , ， 因为点 00 (,)Q 在曲线 2 C上所以 00 cos()1, 3 将带入，得 2 cos()1, 3 即2cos()(0) 3 为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为 22 13 ()()1, 22 xy去掉点(0,0). 23.1.当10x 即1x 时, 121xx ,10x , 当10x 即1x 时, 121xx 1x , 不等式的解集为|0x x . 2.21f xx,67f xx 17xxm xR ,使不等式17xxm 成立. m大于17xx 的最小值 8m .
