1、 数学试卷 第 1 页（共 9 页） 数学试卷 第 2 页（共 9 页） 数学试卷 第 3 页（共 9 页） 绝密 启用 前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 湖南 卷 ） 数学 （理工 农医类 ） 本试题 卷 包括 选择题、填空题和解答题 三部分 ,共 6 页 .时 量 120 分钟 .满分 150 分 . 一、选择题 ： 本 大 题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 i (1 i)z?(i 为 虚数单位 )在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.
2、某学校有男、女学生各 500 名 .为了解男 、 女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异 ,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查 ,则宜采用的抽样方法是 ( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 3.在 锐角中 ABC ,角 A ,B 所对的边长分别为 a ,b .若 2 sin 3a B b? ,则角 A 等于 ( ) A.12 B.6 C.4 D.3 4.若变量 x ,y 满足约束条件 2,1,1,yxxyy?,则 2xy? 的 最大值是 ( ) A. 52? B.0 C.53 D.52 5.函数 ( ) 2lnf x x? 的图 象 与函数 2( )
3、 4 5g x x x? ? ?的图 象 的交点个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 6.已知 a ,b 是单位向量 , 0?ab .若向量 c 满足 | | 1? ? ?c a b ,则 |c 的 取值 范围 是 ( ) A. 2 1, 2 1? B. 2 1, 2 2? C.1, 2 1? D.1, 2 2? 7.已知 棱 长为 1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形 ,则该正方体的正视图的面积 不 可能 等于 ( ) A.1 B. 2 C. 212? D. 212? 8.在等腰 直角 三角形 ABC 中 , =4AB AC? ,点 P 是边 AB 上异于 A ,B 的一点
4、,光线从点 P 出发 ,经 BC ,CA 发射后又回到原点 P （如图） .若光线 QR 经过 ABC 的中心 ,则 AP 等于 ( ) A.2 B.1 C.83 D.43 二、填空题 ： 本 大 题共 8 小题 ,考生 作答 7 小题 ,每小题 5 分 ,共 35 分 . （一）选做题 （ 请 考生在第 9,10,11 三 题中任选两题作答 ,如果全做 ,则按前两题 记分 ） 9.在平面直角坐标系 xOy 中 ,若 l ： ,xty t a? ?（ t 为 参数 ）过 椭圆 C ： 3cos ,2sinxy ? ?（ ? 为参数 ）的右 顶点 ,则常数 a 的 值为 . 10.已知 ,abc
5、?R , 236a b c? ? ? ,则 2 2 249a b c?的 最小值为 . 11.如图 ,在半径为 7 的 O 中 ,弦 AB ,CD 相交 于点 P ,2PA PB?, 1PD? ,则 圆心 O 到 弦 CD 的 距离为 . （二）必做题 （ 12 16 题 ） 12.若 20 d9Txx?,则常数 T 的 值为 . 13.执行如图所示的程序框图 ,如果输入 1a? , 2b? ,则输出的a 的 值为 . 14.设 1F , 2F 是双曲线 C ： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的两个焦点 ,P 是 C 上一点 .若 126PF PF a?,且 12PFF
6、 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为 . 15.设 nS 为数列 na 的前 n 项和 , 1( 1) 2nnnnSa? ? ?, *n?N ,则 （ 1） 3a? . （ 2） 1 2 100S S S? ? ? ? . 16.设函数 () x x xf x a b c? ? ?,其中 0ca? , 0cb? . （ 1）记集合 ( , , ) , , M a b c a b c a b? 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 边 长 , 且 =,则 ( , , )abc M? 所对应的 ()fx的零点的取值集合为 . （ 2）若 a ,b ,c 是 ABC 的 三条边 长
7、,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号 ) ( ,1)x? , ( ) 0fx? ； x?R ,使 xa , xb ,xc 不能 构成一个三角形的三条边长； 若 ABC 为 钝角三角形 ,则 (1,2)x? ,使 ( ) 0fx? . 三、解答题 ： 本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) s i n ( ) c o s ( )63f x x x? ? ? ?, 2( ) 2sin 2xgx? . （ ） 若 ? 是第一象限角 ,且 33() 5f ? ? ,求 ()g? 的值 ； （ ）
8、求使 ( ) ( )f x g x 成立的 x 的取值集合 . 18.（本小题满分 12 分） 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横 直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一 株 相同品种的作物 .根据历年的种植经验 ,一株该种作物的年收获量 Y （单位： ）与它的 “ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里 ,两株作物 “ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过 1 米 . （ ） 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 ,求它们恰好 “ 相近 ” 的概率 ； （ ） 从所种作物中随机选取一株
9、 ,求它的年收获量的分布列与数学期望 . -在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 提示：配详细答案解析，请到 搜索并免费下载！ 19.（本小题满分 12 分） 如图 ,在直棱柱11 1 1ABCD A B C D?中 , AD BC , 90BAD?, AC BD , 1BC? ,1 3AD AA?. （ ） 证明： 1AC BD ； （ ） 求直线 11BC 与 平面 1ACD 所成角的正弦值 . 20.（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系 xOy 中 ,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径 称 为 M 到N 的一条 “ L 路径 ”. 如图所示的路径 1
10、 2 3MMM M N 与 路径 1MNN 都是 M 到 N 的“ L 路径 ”. 某地有三个新建的居民区 ,分别位于平面 xOy 内三点 (3,20)A , ( 10,0)B? ,(14,0)C 处 .现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心 . （ ） 写出点 P 到居民区 A 的 “ L 路径 ” 长度最小值的表达式（不要求证明）； （ ） 若以原点 O 为圆心 ,半径为 1 的圆的内部是保护区 ,“ L 路径 ” 不能进入保护区 .请确 定 点 P 的位置 ,使其到三个居民区的 “ L 路径 ” 长度 之 和最小 . 21.（本小题满分 13 分） 过
11、抛物线 E : 2 2 ( 0)x py p?的焦点 F 作斜率分别为 1k , 2k 的两条不同的直线 1l ,2l ,且 122kk?.1l 与 E 相交于点 A ,B ,2l 与 E 相交于点 C ,D .以 AB ,CD 为直径的圆M ,圆 N （ M ,N 为圆心）的公共 弦 所在直线记为 l . （ ） 若 1 0k? , 2 0k? ,证明 ： 22FM FN P? ； （ ） 若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 755 ,求抛物线 E 的方程 . 21.（本小题满分 13 分） 已知 0a? ,函数 ( ) | |2xafx ? ? . （ ） 记 ()fx在 区间 0,4
12、 上 的最大值为 ()ga ,求 ()ga 的表达式 ； （ ） 是否存在 a ,使函数 ()y f x? 在区间 (0,4) 内的图 象 上存在两点 ,在该两点处的切线互相垂直？若存在 ,求 a 的取值范围；若不存在 ,请说明理由 . 本套试题配有详细的答案解析： 下载方式： 请到本站 ，搜索【 套题名称 +答案 】就可以获得结果并免费下载答案。 例如： 我要下载【 2012 年安徽省中考数学试卷】的答案解析，那么请在本站搜索【 2012 年安徽省中考数学试卷】即可。 输 入 套 题 名 称 - 搜索 - 免费 下载数学试卷 第 7 页（共 9 页） 数学试卷 第 8 页（共 9 页） 数学试卷 第 9 页（共 9 页）
