1、第 1 页，共 14 页 天体质量和密度计算专题 一、单选题 1. 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，假设“嫦娥四号” 探测器在距月球表面高度为 6R 的圆形轨道 I 上做匀速圆周运动，运行周期为 T，到达轨道的 A点时点 火变轨进入椭圆轨道 II，到达轨道的近月点 B时，再次点火进入近月轨道 III绕月做匀速圆周运动，如 图所示，已知月球半径为 R，重力加速度约为1 6，引力常量为 G，则下列说法正确的是 A. 月球的质量可表示为343 23 2 B. 在轨道 II上 B 点速率等于1 6 C. “嫦娥四号”探测器在椭圆轨道 II上的周期小于轨道 I上的
2、周期 D. “嫦娥四号”探测器在轨道 I上的机械能小于轨道 II 上的机械能 2. 假设宇宙中有两颗相距无限远的行星 A 和 B，半径分别为 和两颗行星周围卫星的轨道半径的三次 方(3)与运行周期的平方(2)的关系如图所示，0为卫星环绕行星表面运行的周期。则( ) A. 行星 A 的质量小于行星 B 的质量 B. 行星 A的密度小于行星 B 的密度 C. 行星 A的第一宇宙速度等于行星 B的第一宇宙速度 D. 当两行星的卫星轨道半径相同时，行星 A 的卫星向心加速度大于行 星 B 的卫星向心加速度 3. 2019年 6 月 25日 2 时 09分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成
3、功发射第 46颗北斗 导航卫星。目前已有 46颗卫星在轨运行，其每一颗卫星运动的周期会因轨道半径的 不同而不同，根据测得的不同卫星做圆周运动的半径 r 与周期 T作出如图所示的图 像，则可求得地球密度为_。(已知引力常量为 G，地球的半径为)( ) A. 3 3 B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 4. 某高中的航天兴趣小组查询相关资料获取到以下信息：忽略地球自转时，距地心距离 r处的引力场 强度 a 随 r 变化的曲线如图所示，R 为地球的半径，在0范围内是过原点的直线，在范围内是 第 2 页，共 14 页 遵从“平方反比”的曲线，即在此区间内，引力场强度 a 与距地心距离 r的平方成
4、反比，引力场某点的 强度等于质点在该点受到的万有引力除以质点的质量； 轨道高度 = 处有一卫星 A绕地球做匀速圆 周运动的周期为 T；引力常量 G。则在忽略自转时下列说法正确的是 A. 可以推断出地球的平均密度 = 3 2 B. 可以推断出地表的重力加速度 = 162 2 C. 在深度为 4的深井底部的重力加速度大小等于卫星 A 的向心加速度大小 D. 在深度为3 4 的深井底部的重力加速度大小等于卫星 A 的向心加速度大小 5. 美国的“阿尔忒弥斯计划”拟在 2024年前，将首位女宇航员和一名男宇航员送上月球；任务是“展现 科技的最新进展，并为民间企业发展月球经济打下基础”.假设宇航员乘飞船
5、绕月球做圆周运动，测出 飞船做圆周运动时离月球表面的高度为 H，环绕的周期为 T及环绕的线速度为 v，引力常量为 G，由此 可得出( ) A. 月球的半径为 2 B. 月球表面的重力加速度大小为 23 (;2)2 C. 月球的质量为 2 2 D. 月球的第一宇宙速度大小为 422 (;)3 6. 如图所示，一卫星在距地面高度刚好等于地球半径的轨道上做匀速圆周运动，其轨道平面与地球赤道 平面重合，转动方向和地球自转方向相同，在地球赤道上某处有一个可以接收卫星信号的基站。已知 地球的半径为 R，自转周期为 T，第一宇宙速度为 v，引力常量为 G，则由以上信息可求得( ) A. 地球的质量为 B.
6、该卫星的周期为4 C. 基站能够连续接收到卫星信号的最长时间为42 3 D. 地球同步卫星的轨道半径为 22 42 3 第 3 页，共 14 页 7. 2020年 12月 17 日凌晨，“嫦娥五号”月球探测器载着月球土壤顺利返回地球。探测器在降落到月球 上之前绕月球表面运行一周的时间为0，已知引力常量为 G，月球的半径为 R，月球可看成质量分布均 匀的球体，不考虑月球自转的影响。下列分析正确的是 A. 月球的密度为 4 02 B. 探测器携带月球土壤离开月球和火箭一起加速上升时，探测器(含月球土壤)的质量增大 C. 若探测器在被月球捕获之前绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动， 则该探测器运动一
7、周的时间为0 D. 若将一石子从距月球表面的高度为 h处由静止释放，则从石子刚释放到下落至月球表面上用时为 0 2 8. 于 2020年 7月 23 日成功发射的“天问一号”( 1)火星探测器， 在 2020年除夕夜前后到达火 星。假设将来在火星表面完成下面的实验：在火星的北极(或南极)地面上竖直固定一个半径为 r 的光滑 圆轨道，如图所示，给静止放置在其最低点的质量为 m 的小球(可视为质点)水平向右、大小为 I 的瞬时 冲量后，小球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。已知火星的半径为 R，引力常量为 G，则火星的 质量为 A. 2 5 B. 22 52 C. 2 52 D. 5 二、多选题
8、 9. 如图所示，飞行器 P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，下列说法正确的是( ) A. 轨道半径越大，周期越长 B. 星球相对飞行器的张角越大，速度越大 C. 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D. 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 10. 我国成功发射的“天问一号”火星探测器， 预计于 2021年 2 月 10日进入火星轨道， 要到五月份才能在 火星上着陆，该探测器将对火星进行全面的科考。若某物体在地球北极表面时受到的重力大小为 N， 探测器在火星“赤道”上测得该物体受到的万有引力大小为 F。已知火星的半径为 R，自转角速度大小 为，引力常量为 G，地球北极
9、表面的重力加速度大小为 g，地球和火星均视为球体，下列说法正确的 是 第 4 页，共 14 页 A. 火星“赤道”的重力加速度大小为 2 B. 火星的质量为 2 C. 火星的同步卫星距火星“赤道”的高度为 2 2 3 D. 火星的第一宇宙速度为 11. 两颗互不影响的行星 1、2，各有一颗近地卫星 1、2 绕其做匀速圆周运动。图 中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度 a，横轴表示某位置到行星中心距 离 r 平方的倒数， 1 2关系如图所示，卫星 1、2 的引力加速度大小均为 0.则 ( ) A. 1的质量比 2 的小 B. 1 的质量比 2 的小 C. 1的第一宇宙速度比2 的大 D. 1
10、 的平均密度比 2 的小 12. 最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后发射过许多探测器称为“火星探路者”的火星探测 器曾于 1997年登上火星在探测器“奔向”火星的过程中，用 h表示探测器与火星表面的距离，a表 示探测器所受的火星引力产生的加速度，a 随 h 变化的图像如图所示，图像中1、2、0以及万有引力 常量 G已知下列判断正确的是( ) A. 火星的半径为 2 2:1 0 B. 火星表面的重力加速度大小为1 C. 火星的第一宇宙速度大小为102 1:2 D. 火星的质量大小为( 21 1;1) 2 2 13. 在星球 A 上将一小物块 P竖直向上抛出， P的速度的二次方2与位移 x
11、 间的关系如图中实线所示； 在另 一星球 B 上用另一小物块 Q完成同样的过程，Q的2 关系如图中虚线所示。已知 A 的半径是 B 的 半径的1 3，若两星球均为质量均匀分布的球体(球的体积公式为 = 4 3 3，r 为球的半径)，两星球上均 没有空气，不考虑两球的自转，则 A. A 表面的重力加速度是 B 表面的重力加速度的 9倍 B. P 抛 出后落回原处的时间是 Q 抛出后落回原处的时间的1 3 C. A的 第 5 页，共 14 页 第一宇宙速度是 B 的第一宇宙速度的 3倍 D. A 的密度是 B 的密度的 9 倍 14. (多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量探测器先在近星轨道
12、上做圆周运动测出运行周期 T； 着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度 h与抛出速度的二 次方的关系，如下图所示图中 a、b已知，引力常量为 G，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求 得( ) A. 该星球表面的重力加速度为2 B. 该星球的半径为 2 82 C. 该星球的密度为 3 2 D. 该星球的第一宇宙速度为4 第 6 页，共 14 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】 【分析】 根据万有引力提供向心力得出月球的质量；根据月球表面的第一宇宙速度的表达式及在轨道 II 上的 B点的 速度大于轨道 III上的速度分析选项 B。根据开普勒第三定
13、律得出选项 C。从轨道 II到达轨道 I 需要加速， 轨道 I的机械能大于轨道 II 上的机械能。 本题是天体部分的题目的综合，用到开普勒行星定律和中心天体质量的求解及变轨问题，常规题。 【解答】 A.有 得出月球的质量为，A错误； B.月球上的第一宇宙速度为1 6，在轨道 II 上 B点速度大于第一宇宙速度，B错误。 C.根据开普勒第三定律得出， “嫦娥四号”探测器在椭圆轨道 II 上的周期小于轨道 I 上的周期， 故 C正确； D.从轨道 II 到达轨道 I需要加速，轨道 I的机械能大于轨道 II上的机械能，D错误。 故选 C。 2.【答案】D 【解析】 【分析】 根据万有引力提供向心力得
14、出中心天体质量的表达式，结合图象判断质量大小，根据图象可知，在两颗行 星表面做匀速圆周运动的周期相同，根据密度公式判断密度大小，根据 = 2 0 判断第一宇宙速度大小，根 据 2 = ，进而比较向心加速度大小。 要比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，再进行比较，向心力的公式选取要根据题目 提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用。 【解答】 A.根据万有引力提供向心力得出： 2 = 42 2 得： = 423 2 ，根据图象可知，A的 3 2比 B 的大，所以行 星 A 的质量大于行星 B的质量，故 A错误； 第 7 页，共 14 页 B.根据图象可知，在两颗行星表面做匀速圆周
15、运动的周期相同，密度 = = 3 02，所以行星 A的密度等于 行星 B的密度，故 B 错误； C.第一宇宙速度 = 2 0 ，A的半径大于 B 的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则 A 的第一宇宙速 度大于行星 B 的第一宇宙速度，故 C错误； D.根据 2 = 得： = 2 ，当两行星的卫星轨道半径相同时，A的质量大于 B 的质量，则行星 A的卫星 向心加速度大于行星 B 的卫星向心加速，故 D正确。 故选 D。 3.【答案】C 【解析】 【分析】 根据万有引力提供向心力， 2 = 42 2 ，得到轨道半径与周期的函数关系，再结合图象计算斜率，从而 可以计算出地球的质量和密度。 此题
16、考查了万有引力定律及其应用，掌握万有引力提供向心力这个关系，同时要能理解图象的物理含义， 知道图象的斜率表示什么。 【解答】 由万有引力提供向心力有： 2 = 42 2 得：3= 2 42 ， 由图可知： 3 2 = 2 42 = 所以地球的质量为： = 42 地球的体积： = 4 3 3 所以地球的平均密度： = = 3 3，故 C 正确，ABD错误。 故选：C。 4.【答案】D 【解析】 第 8 页，共 14 页 【分析】 本题考查了卫星运动的问题，分析该问题时关键是利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力解题。 由 2 = 42 2 ，且 = 2，计算地球平均密度；由= 42(2) 2 ，
17、且由 2 = ，且 = 2， 2 = 计算地球的重力加速度；根据图像分析和卫星 A 的向心加速度相等的位置。 【解答】 A.对卫星 A， 2 = 42 2 ，且 = 2，可得 = 4 3 3 = 33 23 = 24 2，所以选项 A 错误； B.对卫星 A，= 42(2) 2 ，且由 2 = ，且 = 2， 2 = ，故可得 = (2)2 2 = 4，地表的重力加 速度 = 322 2 ，所以选项 B 错误； .由图直线部分可知，在距地心1 4的地方， = 4 = ，所以选项 D正确。 5.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查万有引力定律的应用，飞船绕月球做圆周运动，万有引力提供向心
18、力，在月球的表面，重力 等于万有引力。第一宇宙速度 = 。 【解答】 A.飞船在离火星表面的高度为H表面做匀速圆周运动， 轨道半径等于火星的半径R加上H， 由 = 2 ( + )， 解得： = 2 ，故 A 错误； .根据万有心力提供向心力，有： (:)2 = 42 2 ( + )， 在月球的表面有： = 2 ， 解得： = 42(:)3 2 ， = 23 (;2)2，故 B正确，C错误； D.第一宇宙速度为： = = 3 ;2，故 D错误。 故选 B。 6.【答案】D 第 9 页，共 14 页 【解析】 【分析】 根据第一宇宙速度 = 及星球表面的重力加速度 = 2求解地球的质量，根据万有引
19、力提供向心力及 地球的质量求解卫星的周期，根据几何关系结合圆周运动的规律分析基站接收信号的最长时间，根据同步 卫星的周期与地球自转的周期相同求解同步卫星的轨道半径。 该题解答的关键是正确理解万有引力提供向心力的公式及星球表面重力等于万有引力，知道同步卫星的周 期与地球自转的周期相同。 【解答】 A.由于地球的第一宇宙速度为 = ，而 = 2，两式联立可解得地球质量 = 2 ，选项 A错误； B.由万有引力提供向心力可得 42 = 42 2 2，结合 = 2 可解得卫星围绕地球做圆周运动的周期 = 42 ，选项 B 错误； C.以地球为参考系，则卫星围绕地球做圆周运动的角速度为 = 星 地= 2
20、 2 ，基站能够连续接 收到的卫星信号范围如图所示，由几何关系可知，故基站能够连续接收到卫星信号的最长时 间为 = 1 3 2 ，解得 = 42 3(;42)，选项 C错误； D.由于同步卫星的周期与地球自转的周期相同，设同步卫星的轨道半径为 r，则有 2 = 42 2 ，解得 = 22 42 3 ，选项 D 正确。 7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了万有引力与航天，目的是考查学生的分析综合能力。 根据万有引力提供向心力分析求解。 第 10 页，共 14 页 【解答】 A.由公式 2 = 42 0 2 ， = 4 3 3，解得月球的密度 = 3 0 2，故 A错误； B.探测器携带
21、月球土壤离开月球和火箭一起加速上升时， 探测器(含月球土壤)处于超重状态， 但其质量不变， 故 B 错误； C.探测器分别绕地球和月球做匀速圆周运动，中心天体发生了变化，不能用开普勒第三定律求周期，故 C 错误； D.由公式 = 42 0 2 ， = 1 2 2，解得 =0 2，故 D正确。 故选 D。 8.【答案】B 【解析】 【分析】 该题考查求解天体质量问题相关知识。分析好物理情景，灵活应用各相关公式是解决本题的关键。 结合机械能守恒定律和牛顿第二定律求出火星表面的重力加速度大小，根据火星表面的万有引力等于重力 求出火星的质量。 【解答】 设火星表面的重力加速度为 g，小球在最 高点的速
22、度为1，小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒： 1 2 2= 1 2 12+ 2 其中： = ，小球刚好做完整的圆周运动，在最高点有： = 12 由以上可得： = 2 52。 在火星表面，根据万有引力等于重力知： 2 = 解得： = 22 52，故 B 正确，ACD错误。 故选 B 9.【答案】ABC 第 11 页，共 14 页 【解析】 【分析】 根据开普勒第三定律，分析周期与轨道半径的关系；飞行器 P绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引 力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度。 本题关键掌握开普勒定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题
23、。 【解答】 A.根据开普勒第三定律 3 2 = ，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长，故 A正确； B.由图可知，张角越大，飞行器的轨道半径越小，由 = 知速度越大，故 B正确； C.设星球的质量为 M，半径为 R，平均密度为，张角为，飞行器的质量为 m，轨道半径为 r，周期为 T。 对于飞行器，根据万有引力提供向心力得： 2 = 42 2 由几何关系有： = 2 星球的平均密度 = 联立以上三式得： = 3 2(sin 2) 3，则测得周期和张角，可得到星球的平均密度，故 C正确； D.由 2 = 42 2 可得： = 423 2 ， 可知若测得周期和轨道半径， 可得到星球的质量， 但星球
24、的半径未知， 不能求出星球的平均密度，故 D错误。 故选 ABC。 10.【答案】AB 【解析】 【分析】 火星赤道上的物体随火星自转做圆周运动的向心力与重力之和等于万有引力，由牛顿第二定律求出火星赤 道上的重力加速度；火星表面附近的探测器绕火星做圆周运动，受到的引力等于万有引力，列式即可求出 火星的质量；根据同步卫星与火星自转的角速度相同，解出同步卫星的高度；区别火星自转时“赤道”上 物体的线速度大小和第一宇宙速度。 【解答】 第 12 页，共 14 页 A.火星“赤道”处有 = 2，物体的质量 = ，解得 = 2，故 A 正确； B.根据 = 2 可得 = 2 ，故 B 正确; C.同步卫
25、星的周期与火星自转的周期相同，故有 (:)2 = 2( + )，解得 = 2 2 3 ，故 C错误； D.由于是火星的自转角速度， 所以表示火星“赤道”上物体的线速度大小， 不是火星的第一宇宙速度， 故 D 错误。 故选 AB。 11.【答案】CD 【解析】 【分析】 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一思路，知道线速度、角速度、周期、加速度与轨道半径的关 系，并会用这些关系式进行正确的分析和计算。 【解答】 .根据牛顿第二定律得： 2 = ，则得行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为： = 2 ，由 此不能判断近地卫星1、2的质量大小。由数学知识知， 1 2图象的斜率等于 GM，斜率
26、越大，GM越大， M 越大，所以1的质量比2的大，故 A、B 均错误； C.设第一宇宙速度为 v。则0= 2 ，得 = 0.由图看出，1的半径比2的半径大，0相等，可知1的第 一宇宙速度比2的大，故 C正确； D.行星的平均密度 = 4 3 3 = 02 4 3 3 = 30 4，1的半径比2的半径大，0相等，则1的平均密度比2的小，故 D 正确。 故选 CD。 12.【答案】BD 【解析】解析：.分析图象可知，万有引力提供向心力 2 = 1 当 = 0时 (:0)2 = 2 联立解得， 火星的半径 = 2 1;2 0 火星的质量 = ( 12 1;2) 2 0 2 A 错误 D正确； .当
27、= 0时，探测器绕火星表 面运行，火星表面的重力加速度大小为1，B正确； .在火星表面，根据重力提供向心力得1= 2 ， 第 13 页，共 14 页 解得火星的第一宇宙速度 = 1 = 102 1;2，C 错误 故选 BD 13.【答案】AC 【解析】解：.设重力加速度为 g，根据速度位移关系式可知0 2= 2，得2= 2， 图象的斜率代表2，两图象斜率比为 9：1，所以 A 表面的重力加速度是 B表面的重力加速度的 9倍，故 A 正确。 B.根据竖直上抛运动对称性可知： = 20 根据图象可知，P的初速度为30，Q 的初速度为0，所以 P 抛出后落回原处的时间是 Q抛出后落回原处 的时间的
28、3 9 ，故 B错误。 C.根据第一宇宙速度的公式 = ，可知，A的第一宇宙速度是 B 的第一宇宙速度的3倍，故 C正确。 D.根据 2 = 结合密度公式 = = 4 3 3 解得： = 3 4 所以 A的密度是 B的密度的 27 倍，故 D错误。 故选：AC。 本题考查了万有引力定律及其应用、第一宇宙速度、匀变速直线运动规律等知识点。关键点：利用数学知 识，写出2关于 x 函数表达式，通过图象的斜率来求加速度是本题的关键。 14.【答案】BC 【解析】 【分析】 根据抛体运动规律，结合图象的斜率即可求出重力加速度；根据万有引力提供向心力求出星球的质量，结 合星球的体积求出星球的密度。第一宇宙
29、速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，万 有引力提供向心力，列式求解。 本题考查了万有引力定律的两个重要运用：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，通过运动学 公式结合图象求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键。 【解答】 第 14 页，共 14 页 A.物体竖直上抛，上升的最大高度 = 2 2， 2直线的斜率 = 1 2 = ，得 = 2，故 A 错误； B.探测器在近星轨道上做匀速圆周运动，设星球半径为 R，根据万有引力提供向心力，有 2 = 42 2 ， 得 = 4 23 对星球表面任意一个物体，有 = 2 联立得 = 2 ，将 = 2代入解得 = 2 82，故 B 正确； C.探测器先在近星轨道上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 2 = 42 2 ，解得 = 423 2 由密度公式有 = = 423 2 43 3 = 3 2，故 C正确； D.该星球的近地卫星的运行速度即第一宇宙速度，由 2 = = 2 ，得 = = 2 2 82 = 4， 故 D 错误。 故选 BC。
