1、2021 届高考物理二轮复习力与曲线运动专项练习（届高考物理二轮复习力与曲线运动专项练习（6） 双星及多星问题双星及多星问题 1.如图所示,“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮 挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星.在地球上通过望远镜观察这种双星,视线 与双星轨道共面.观测发现每隔时间 T 两颗恒星与望远镜共线一次,已知两颗恒星AB、间距 为 d,引力常量为 G,则可推算出双星的总质量为( ) A. 22 2 d GT B. 32 2 d GT C. 2 22 2 d GT D. 2 32 4 d GT 2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,
2、其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为 M 的恒星位于等边三角形的三个顶点上,任意两颗恒星的距离均为 R,三颗恒星均绕三角形的 中心 O 做匀速圆周运动.如果忽略其他星体对它们的引力作用,引力常量为 G.以下对该三星 系统的说法中正确的是( ) A.每颗恒星做圆周运动的角速度为 3 3 GM R B.每颗恒星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关 C.若距离 R 和每颗恒星的质量 M 都变为原来的 2 倍,则角速度变为原来的 2 倍 D.若距离 R 和每颗恒星的质量 M 都变为原来的 2 倍,则线速度大小不变 3.2019 年 4 月 10 日，天文学家宣布首次直接拍摄到黑洞的照片.假设在宇
3、宙空间有一个恒星 和黑洞组成的孤立双星系统， 黑洞的质量大于恒星的质量， 它们绕二者连线上的某点做匀速 圆周运动，双星系统中的黑洞能“吸食”恒星表面的物质，造成质量转移且两者之间的距离减 小，它们的运动轨道均可以看成圆周，则在该过程中( ) A.恒星做圆周运动的周期不断增加 B.双星系统的引力势能减小 C.黑洞做圆周运动的半径变大 D.黑洞做圆周运动的周期大于恒星做圆周运动的周期 4.双星系统是存在于宇宙中的一种稳定的天体运动形式。如图所示,质量为 M的恒星和质量 为 m的行星在万有引力作用下绕二者连线上的 C点做匀速圆周运动。已知行星的轨道半 径为 a,引力常量为 G,不考虑恒星和行星的大小
4、以及其他天体的影响,则（ ） A.恒星与 C点间的距离为 M a m B.恒星的运行速度为 mGM Mma C.若行星与恒星间的距离增大,则它们的运行周期减小 D.行星和恒星轨道半径的三次方和运行周期的平方成反比 5.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星 体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m,半径均为 R,四颗星稳定分布在 边长为 a 的正方形的四个顶点上。 已知引力常量为 G。 关于四星系统,下列说法错误的是( ) A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B.四颗星的轨道半径均为 2 a C.四颗星表面的重力加速度均为 2
5、m G R D.四颗星的周期均为 2 2 (42) a a Gm 6.北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能.“北斗”系统中两颗工作卫 星 1 和 2 均绕地心 O 做匀速圆周运动，轨道半径均为 r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道 上的AB、两位置，如图所示.若两颗卫星均沿顺时针方向运行，地球表面处的重力加速度为 g，地球半径为 R，不计两卫星间的相互作用力，则下列判断正确的是( ) A.这两颗卫星的向心加速度大小相等，均为 2 2 R g r B.卫星 1 由位置 A 运动至位置 B 所需的时间为 2 3 rr Rg C.如果使卫星 1 加速，它就一定能追上卫星 2 D.
6、卫星 1 由位置 A 运动到位置 B 的过程中万有引力做正功 7.由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在 相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在 三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为ABC、 、三颗星体质量不相同时的一般 情况)。若A星体质量为2m，BC、两星体的质量均为 m ，三角形的边长为 a ，则下列说 法正确的是( ) A.A星体所受合力大小 2 2 2 A m FG a B.B星体所受合力大小 2 2 2 7 B m FG a C.C星体的轨道半径 7 2 C Ra D.三星体做圆周运动的周期
7、3 a T Gm 8.如图所示,双星系统由质量不相等的两颗恒星组成,质量分别是 ()Mm Mm、,它们围绕共 同的圆心 O 做匀速圆周运动.从地球看过去,双星运动的平面与AO垂直,AO、间距离恒为 L. 观测发现质量较大的恒星M 做圆周运动的周期为T,运动范围的最大张角为(单位是弧度). 已知引力常量为 G,很小,可认为sintan ,忽略其他星体对双星系统的作用力. 则( ) A.恒星 m 的角速度大小为 2M Tm B.恒星 m 的轨道半径大小为 2 ML m C.恒星 m 的线速度大小为 ML mT D.两颗恒星的质量 m 和 M 满足关系式 323 22 () )2 ( mL mMGT
8、 9.科学家威廉 赫歇尔首次提出了“双星”这个名词.现有由两颗中子星AB、组成的双星系统， 可抽象为如图所示绕 O 点做匀速圆周运动的模型，已知 A 的轨道半径小于 B 的轨道半径， 若AB、的总质量为MAB， 、间的距离为 L，其运动周期为 T，则( ) A.中子星 B 的线速度一定小于中子星 A 的线速度 B.中子星 B 的质量一定小于中子星 A 的质量 C.L 一定，M 越大，T 越小 D.M 一定，L 越大，T 越小 10.2019 年 4 月 10 日， 天文学家宣布首次直接拍摄到黑洞的照片。 假设在宇宙空间有一个恒 星和黑洞组成的孤立双星系统.黑洞的质量大于恒星的质量，.它们绕二者
9、连线上的某点做匀 速圆 动，双星系统中的黑洞能“吸食”恒星表面的物质，造成质量转移且两者之间的距离减小，它 们的运动轨道可以看成圆周.则在该过程中（ ） A.恒星做圆周运动的周期不断增加 B.双星系统的引力势能减小 C.黑洞做圆周运动的半径变大 D.黑洞做圆周运动的周期等于恒星做圆周运动的周期 11.引力波探测于 2017 年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙 中有一双星系统由P Q、 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力的 作用下做匀速圆周运动，测得 P 星的周期为 T，P Q、 两颗星间的距离为, l P Q、 两颗星的 轨道半径之差为r（P 星
10、的轨道半径大于 Q 星的轨道半径），引力常量为 G，则（ ） A.QP、两颗星的质量差为 2 2 4rl GT B.PQ、两颗星的运动半径之比为 l lr C.PQ、两颗星的线速度大小之差为 2 r T D.PQ、两颗星的质量之比为 lr lr 12.宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为 d的星球 A和星球 B。在星球 A上将一轻弹簧 竖直固定在水平桌面上，把物体 P轻放在弹簧上端，如图（a）所示， P由静止向下运动， 其加速度 a与弹簧的压缩量 x间的关系如图（b）中实线所示。在星球 B上用完全相同的 弹簧和物体 P完成同样的过程，其ax关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等。 星球 A
11、的质量为 0 m，引力常量为 G。假设两星球均为质量均匀分布的球体。 （1）求星球 A和星球 B的表面重力加速度的比值； （2）若将星球 A看成是以星球 B为中心天体的一颗卫星，求星球 A的运行周期 1 T； （3）若将星球 A和星球 B看成是远离其他星球的双星模型，这样算得的两星球做匀速圆 周运动的周期为 2 T。求此情形中的周期 2 T与上述第 2 问中的周期 1 T的比值。 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：每隔时间 T 两颗恒星与望远镜共线一次,则两颗恒星做圆周运动的周期为2T,由万有 引力定律得 2 22 4 (2 ) ABA A m mr Gm dT , 2 22 4
12、, (2 ) ABB BAB m mr Gmdrr dT .联立解得 23 2 AB d mm GT ,B 正确,A、C、D 错误. 2.答案：D 解析：由几何知识知,每颗恒星做圆周运动的轨道半径为 3 2 sin603 R rR ,由万有引力定律 得 2 2 2 2cos30 M GMr R ,解得每颗恒星做圆周运动的角速度为 3 3GM R ,A 错误;由万有 引力定律得 2 2 2cos30 M GMa R ,解得每颗恒星做圆周运动的向心加速度为 2 3GM a R ,故加 速度与三星的质量有关,B 错误;若距离 R 和每颗恒星的质量 M 都变为原来的 2 倍,则由 3 3GM R 知,
13、角速度变为原来的 1 2 ,C错误;线速度 GM vr R ,若距离R和每颗恒星的质 量 M 都变为原来的 2 倍,则线速度大小不变,D 正确. 3.答案：B 解析：对于该双星系统，由万有引力提供向心力有 2 1 22 ()()4 () mm Mm Gmmr LT ， 2 2 22 ()()4 () mm Mm GMmr LT ，联立解得 3 2 () L T G Mm ，由此可知，两者之间 的距离 L 减小时，做圆周运动的周期减小，选项 A 错误；根据题述可知双星系统中的黑洞 能“吸食”恒星表面的物质，造成质量转移且两者之间的距离减小，则引力做正功，双星系统 的引力势能减小， 选项 B 正确
14、； 由题意得 22 2112 ,MrMr rrL， 联立解得 1 M rL Mm ， 又该双星系统中的黑洞能“吸食”恒星表面的物质，恒星质量减小，两者之间的距离减小，故 黑洞做圆周运动的半径变小，选项 C 错误；对于双星系统，黑洞和恒星做圆周运动的周期 相同，选项 D 错误. 4.答案：B 解析：本题考查万有引力知识,意在考查考生运用万有引力定律解决双星系统问题的能力。 根据题意可知行星与恒星运动的角速度相等,它们做圆周运动的向心力由万有引力提供,有 22 1 2 M GMm maMR Ra ,解得 m xM RA 错误;对恒星有 2 2 M M M MvGMm R Ra ,把 m MM Ra
15、 代入,可解得 M mGM M v ma ,B 正确;由于 2 22 4 M GMm ma T Ra 、 2 2 4 2T M M GMm MR Ra ,化 简后两式相加可得 2 32 ()4 M G Mm T Ra ,所以当行星和恒星间的距离增大时,它们的运行周期也 增大,C 错误;根据 2 22 4 M GMm ma T Ra ,得 32 232 4 () GM mMaT ,由此可知行星轨道半径的三次 方和运行周期的平方成正比,同理可得恒星轨道半径的三次方和运行周期的平方也成正比,D 错误。 5.答案：B 解析：四星系统中任何一颗星体在其他三颗星体的引力作用下,合力方向指向对角线的交点,
16、围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,如图所示,A 正确;由几何关系知,四颗星体做圆周 运动的轨道半径均为 2 2 ra,B 错误;在星球表面附近,设某物体的质量为 m ,根据物体所受 的万有引力等于重力有 2 mm Gm g R ,解得星球表面的重力加速度 2 m gG R ,C 正确;根据三颗 星体对剩余一颗星体的引力的合力提供向心力,可知 22 2 2 2 22 2cos45() 2( 2 ) mm GGma aTa ,解得 2 2 (42) a Ta Gm ,D 正确,故选 B。 6.答案：A 解析：根据 2 2 , Mm Gma GMgR r ，联立解得 2 2 R g a r ，轨
17、道半径相等，则向心加速度大小 相等，选项 A 正确；根据 22 2 , Mm Gmr GMgR r ，联立解得 2 3 gR r ，则卫星 1 从位置 A 运动到位置 B 的时间 2 3 3 3 rr t Rg gR r ，选项 B 错误；如果卫星 1 加速，万有引力 不足以提供其做圆周运动所需的向心力，卫星 1 将做离心运动，离开原轨道，不能追上卫星 2，选项 C 错误；卫星 1 从位置 A 运动到位置 B，万有引力方向与其速度方向垂直，万有引 力不做功，选项 D 错误. 7.答案：D 解析：A.由万有引力定律,A 星受到 B.C 的引力的大小： 2 2 2 BACA G m FF a 方向
18、如图,则合力 的大小为： 2 2 2 3 2cos30 ABA Gm FF a ，故 A 错误； B.同上,B 星受到的引力分别为： 22 22 2 , ABCB G mGm FF aa ，方向如图； B F沿x方向的分力： 2 2 2 cos60 BxABCBB Gm FFFF a 沿 y 方向的分 力: 2 2 3 sin60 ByAB Gm FF a 可得： 2 22 2 7 BBxBy Gm FFF a ，故 B 错误； C.通过对于B的受力分析可知,由于： 2 2 2 AB G m F a ,合力的方向经过BC的中垂线AD的中点, 所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处。所以： 2
19、 2 37 244 CB aa RRa ， 故 C 错误； D.由题可知C的受力大小与B的受力相同,对B星： 22 22 747 4 B Gm Fma aT ,解得： 3 a T Gm ，故 D 正确。 故选：D。 8.答案：BCD 解析：恒星 m 与 M 具有相同的角速度,则角速度为 2 T ,A 错误;恒星 M 的轨道半径为 1 tan 22 RLL ,对双星系统,有 22 mrMR,解得恒星 m 的轨道半径为 2 ML r m ， B 正确;恒星 m 的线速度大小为 1 2 2 MLML vr TmmT ,C 正确;对双星系统,有 22 2 () Mm GmM rR Rr ,解得 222
20、2 () ,()GMr rRGmR rR,两式相加得 23 ()()G MmRr,联立可得 323 22 () )2 ( mL mMGT ,D 正确. 9.答案：BC 解析：因双星的角速度相等，故轨道半径小的线速度小，选项 A 错误；由于双星的向心力 都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由 2 Fmr可得各自的轨 道半径与其质量成反比，即 1 r m ，所以轨道半径小的质量大，选项 B 正确；设双星质量分 别为 12 mm、，对质量为 1 m的星球有 212 11 2 2 () m m Gmr LT ，对质量为 2 m的星球有 212 22 2 2 () m m Gmr L
21、T ，又因 1212 ,rrL mmM，解得 3 2 L T GM ，由此式可知，L 一定， M 越大，T 越小；M 一定，L 越大，T 越大，选项 C 正确，D 错误. 10.答案：BD 解析：对于双星系统中的恒星，由万有引力提供向心力有 2 1 2 2 () mM GMr LT ，解得 2 1 2 L r T Gm ，由此可知.两者之间的距离:减小时，恒星做圆周运动的周期减小，选项 A 错 误;根据题述，双星系统中的黑洞能“吸食”恒星表面的物质，造成质量转移且两者之间的距 离减小，引力做正功，双星系统的引力势能减小.选项 B 正确;双星系统中的黑洞能“吸食”恒 星表面的物质.质量增大.两者
22、之间的距离减小，黑洞做圆周运动的半径变小.选项 C 错误;对 于双星系统，黑洞和恒星做圆周运动的周期相同，选项 D 正确。 11.答案：CD 解析：画出双星运动示意图如图所示。对 P 星有 2 12 1 1 22 4mm Gmr lT ，对 Q 星有 2 12 2 2 22 4mm Gm r lT ，可得 2 22 2 12 21 22 44 , l rl r mm GTGT ，所以Q P、 两星的质量差 2 22 2 12 21 22 4()4lrrlr mm GTGT ，选项 A 错误；据题意 1212 ,rrl rrr ，解得 12 , 22 lrlr rr ，所以PQ、两星的运动半径之
23、比 1 2 rlr rlr ，选项 B 错误；P 星的线 速度 1 1 2 , r vQ T 星的线速度 2 2 2r v T ，所以PQ、两星的线速度大小之差 12 12 2()2rrr vv TT ，选项 C 正确；由前面的运算结果可知，PQ、两星的质量之比 12 21 mrlr mrlr ，选项 D 正确。 12.答案： （1）对物体 P受力分析，根据牛顿第二定律：mgkxma 可得： kx ag m 结合xa图像可知，纵截距表示星球表面重力加速度。 则有： 0 0 21 42 A B ag ga （2）设星球 B的质量为 M。 根据黄金替换公式： 2 Mm Gmg R 根据质量与体积关
24、系式： 3 4 3 MR 联立得： 3 4 g GR 由于星球 A和星球 B密度相等，可见 1 2 ABA ABB ggR RRR 则星球 B与星球 A的质量比： 3 3 0 B A RM mR 联系以上各式可得： 0 8Mm 星球 A以星球 B为中心天体运行时，受到星球 B的万有引力作用做匀速圆周运动。 研究星球 A，根据向心力公式： 2 0 0 2 1 2 () Mm Gmd dT 解得： 1 0 2 d Td Gm （3）将星球 A和星球 B看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动。 研究星球 A： 2 0 0 2 2 2 () A Mm Gmr dT 研究星球 B： 2 0 0 2 2 2 () B Mm Gmr dT 又： AB rrd 联立可得 2 0 2 3 d Td Gm 则 2 1 2 2 3 T T
