1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年上海市嘉定区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市嘉定区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】 1 （4 分）如果实数a，b，c，d满足 ac bd ，下列四个选项中，正确的是( ) A abcd bd B ac abcd C a
2、cc bdd D 22 ac bd 2 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,3)P，点P与原点O的连线与x轴的正半轴 的夹角为(090 )，那么tan的值是( ) A 10 10 B 1 3 C 3 10 10 D3 3 （4 分）抛物线 2 23yx的顶点坐标是( ) A(2, 3) B(2,3) C(0, 3) D(0,3) 4 （4 分）已知单位向量e与非零向量a，b，下列四个选项中，正确的是( ) A|a ea B|e bb C 1 | ae a D 11 | ab ab 5 （4 分）在Rt ABC中，90ACB，30A，CDAB，垂足为D，下列四个选项 中，不正确的是(
3、 ) A 3 2 AC AB B 3 2 BC CD C 3 3 BD CD D 3 3 BC AC 6 （4 分）二次函数 2 ()ya xmk的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是( ) A0m ，0k B0m ，0k C0m ，0k D0m ，0k 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接分） 【请将结果直接填入答题纸的相应填入答题纸的相应 位置】位置】 7 （4 分）正方形的边长与它的对角线的长度的比值为 8（4 分） 已知点P是线段AB的一个黄金分割点， 且APBP， 那么:AP AB的比值为 9 （
4、4 分）如图，点D在ABC的AB边上，当 AD AC 时，ACD与ABC相似 第 2 页（共 21 页） 10 （4 分） 已知向量关系式26()0abx， 那么向量x （用向量a与向量b表示） 11 （4 分）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30，那么APB 的度数为 12 （4 分） 已知一个斜坡的坡度1:3i ， 那么该斜坡的坡角的度数是 度 13 （4 分）如果抛物线 2 (21)yax的开口向下，那么实数a的取值范围是 14 （4 分）二次函数 2 (1)3yx的图象与y轴的交点坐标为 15 （4 分）如果抛物线 2 ()2yxmk的顶点在x轴上，那么常数k为
5、16 （4 分）如果抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴是直线1x ，那么2ab 0 （从 ，中选择） 17 （4 分）如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线 上，联结AD、BD，那么cotADB的值为 18 （4 分）已知在ABC中，90ACB，10AB ， 5 sin 5 A（如图） ，把ABC绕着 点C按顺时针方向旋转(0360)，将点A、B的对应点分别记为点A，B，如果 AAC为直角三角形，那么点A与点 B 的距离为 第 3 页（共 21 页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10
6、分）计算：2sin452sin60tan60tan45 20 （10 分）我们已经知道二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象是一条抛物线，研究二次 函数的图象与性质， 我们主要关注抛物线的对称轴、 抛物线的开口方向、 抛物线的最高点 （或 最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向 看） 已知一个二次函数 2 (0)yaxbxc a的大致图象如图所示 （1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可） （2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次 函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的
7、解析式 21 （10 分）如图，已知AC与BD相交于点O，联结AB （1）如果/ /ADBC，4 AOD S，9 BOC S，求： ABO S； （2）分别将AOD、AOB、BOC记为 1 S、 2 S、 3 S，如果 2 S是 1 S与 3 S的比例中项，求 证：/ /ADBC 第 4 页（共 21 页） 22 （10 分）如图，在ABC中，10ABAC， 4 sin 5 B （1）求边BC的长度； （2）求cos A的值 23（12 分） 如图， 已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上， 顶点G，F分别在边AB、 AC上，ABC的高AH交GF于点l （1）求证：BD EHDH CE；
8、（2）设(DEn EF n为正实数） ，求证： 11n BCAHEF 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点( 1,2)A ，点(1,6)B，点(1,4)C，如果抛物 线 2 3(0)yaxbxa恰好经过这三个点之中的两个点 （1）试推断抛物线 2 3yaxbx经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由； （2）求常数a与b的值； （3） 将抛物线 2 3yaxbx先沿与y轴平行的方向向下平移 2 个单位长度， 再与沿x轴平 行的方向向右平移(0)t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点(1,4)C，设这个新抛 物线的顶点是D，试探究ABD的形状 第 5 页（共 21 页） 2
9、5 （14 分）在矩形ABCD中，6AB ，8AD ，点E在CD边上， 1 tan 2 EAD点F是 线段AE上一点，联结BF，CF （1）如图 1，如果 3 tan 4 CBF，求线段AF的长； （2）如图 2，如果 1 2 CFBC， 求证：CFEDAE ； 求线段EF的长 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年上海市嘉定区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市嘉定区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选
10、项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】 1 （4 分）如果实数a，b，c，d满足 ac bd ，下列四个选项中，正确的是( ) A abcd bd B ac abcd C acc bdd D 22 ac bd 【解答】解：A、 ac bd ， abcd bd ，故选项正确； B、当0abcd时，等式不成立，故选项错误； C、当0bd时，等式不成立，故选项错误； D、无法得到 22 ac bd ，故选项错误 故选：A 2 （4 分）在平面直角坐标系xOy
11、中，已知点(1,3)P，点P与原点O的连线与x轴的正半轴 的夹角为(090 )，那么tan的值是( ) A 10 10 B 1 3 C 3 10 10 D3 【解答】解：如图，过P点作PAx轴于A， 则POA， 点P的坐标为(1,3)， 1OA，3PA ， 3 tan3 1 PA POA OA ， 即tan3 故选：D 第 7 页（共 21 页） 3 （4 分）抛物线 2 23yx的顶点坐标是( ) A(2, 3) B(2,3) C(0, 3) D(0,3) 【解答】解：抛物线 2 23yx， 抛物线顶点坐标为(0, 3)， 故选：C 4 （4 分）已知单位向量e与非零向量a，b，下列四个选项
12、中，正确的是( ) A|a ea B|e bb C 1 | ae a D 11 | ab ab 【解答】解：A、当单位向量e与非零向量a的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符 合题意 B、当单位向量e与非零向量b的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意 C、当单位向量e与非零向量a的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意 D、 11 | ab ab ，故本选项符合题意 故选：D 5 （4 分）在Rt ABC中，90ACB，30A，CDAB，垂足为D，下列四个选项 中，不正确的是( ) A 3 2 AC AB B 3 2 BC CD C 3 3 BD CD D 3 3 BC AC
13、【解答】解：90ACB，30A， 2ABBC，60B， CDAB， 30BAC， 2BCBD， 设BDx，则2BCx，4ABx， 22 2 3ACABBCx， 22 3CDBCBDx， 2 33 42 ACx ABx ， A不合题意； 22 3 33 BCx CDx ， 第 8 页（共 21 页） B符合题意； 3 33 BDx CDx ， C不合题意； 23 32 3 BCx ACx ， D不合题意； 故选：B 6 （4 分）二次函数 2 ()ya xmk的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是( ) A0m ，0k B0m ，0k C0m ，0k D0m ，0k 【解答】解：二次函数 2
14、()ya xmk 顶点为(, )mk， 顶点在第四象限， 0m，0k， 0m，0k， 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应分） 【请将结果直接填入答题纸的相应 位置】位置】 第 9 页（共 21 页） 7 （4 分）正方形的边长与它的对角线的长度的比值为 2 2 【解答】解：四边形ABCD是正方形， ABBCCDAD，ACBD，90ABC， 2222 2ACABBCABABAB， 2 22 ABAB ACAB ； 故答案为： 2 2 8 （4 分）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，
15、且APBP，那么:AP AB的比值为 51 2 【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，且APBP， 51 2 ADAB ， 51 2 AP AB ， 故答案为： 51 2 9 （4 分）如图，点D在ABC的AB边上，当 AD AC AC AB 时，ACD与ABC相似 【解答】解：AA ， 当 ADAC ACAB 时，ACD与ABC相似， 故答案为： AC AB 10 （4 分）已知向量关系式26()0abx，那么向量x 1 3 ab （用向量a与向量b 表示） 【解答】解：26()0abx， 1 3 xab， 第 10 页（共 21 页） 故答案为： 1 3 ab 11 （4 分）如图，飞机
16、P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30，那么APB 的度数为 60 【解答】解：根据题意可知： 90PAB，30B， 903060APB 故答案为：60 12（4 分） 已知一个斜坡的坡度1:3i ， 那么该斜坡的坡角的度数是 30 度 【解答】解： 3 tan1:3 3 ， 坡角30 13 （4 分）如果抛物线 2 (21)yax的开口向下，那么实数a的取值范围是 1 2 a 【解答】解：抛物线 2 (21)yax的开口向下， 210a ， 即 1 2 a 故答案为 1 2 a 14 （4 分）二次函数 2 (1)3yx的图象与y轴的交点坐标为 (0, 2) 【解答】解： 2 (1
17、)3yx， 当0 x 时，2y ， 即二次函数 2 (1)3yx的图象与y轴的交点坐标为(0, 2)， 故答案为(0, 2) 15 （4 分）如果抛物线 2 ()2yxmk的顶点在x轴上，那么常数k为 2 【解答】解：抛物线 2 ()2yxmk的顶点在x轴上， 第 11 页（共 21 页） 20k， 解得：2k， 故答案为：2 16 （4 分） 如果抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴是直线1x ， 那么2ab 0（从 ，中选择） 【解答】解对称轴为1x ， 1 2 b a ， 20ab， 故答案为 17 （4 分）如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线
18、 上，联结AD、BD，那么cotADB的值为 3 【解答】解：连接BF交AD于G， 设正方形的边长为a， 2BDBFa， / /ABDF， ABGDFG， 1 2 BGAB FGDF ， 11 33 BGBFa， cot3 1 3 BDa ADB BG a ， 故答案为：3 18 （4 分）已知在ABC中，90ACB，10AB ， 5 sin 5 A（如图） ，把ABC绕着 点C按顺时针方向旋转(0360)，将点A、B的对应点分别记为点A，B，如果 第 12 页（共 21 页） AAC为直角三角形，那么点A与点 B 的距离为 2 5或6 5 【解答】解：分两种情况： 当点 B 在线段AC上时，
19、AAC为直角三角形， 90ACB，10AB ， 5 sin 5 A， 55 102 5 55 BCAB， 2 5B C， 22 4 5ACABBC， 4 52 52 5ABACB C； 当点 B 在线段AC的延长线上时，AAC为直角三角形， 同理可得，2 5B C，4 5AC ， 4 52 56 5ABACB C； 综上所述，点A与点 B 的距离为2 5或6 5 第 13 页（共 21 页） 故答案为：2 5或6 5 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算：2sin452sin60tan60tan45 【解答】解：原式 2
20、3 223 1 22 233 2 20 （10 分）我们已经知道二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象是一条抛物线，研究二次 函数的图象与性质， 我们主要关注抛物线的对称轴、 抛物线的开口方向、 抛物线的最高点 （或 最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向 看） 已知一个二次函数 2 (0)yaxbxc a的大致图象如图所示 （1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可） （2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次 函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式 【解答】解：
21、（1）由图象可得， 该函数图象的对称轴是直线2x ； 抛物线开口向下； 抛物线有最高点，最高点的坐标为(2,7)； 当2x 时，y随x的增大而增大，当2x 时，y随x的增大而减小； （2）依据目前的信息，不可以求出这个二次函数的解析式， 补充条件，点C的坐标为(0,3)， 第 14 页（共 21 页） 设该函数解析式为 2 (2)7ya x， 则 2 3(02)7a， 解得1a ， 即该函数解析式为 2 (2)7yx 21 （10 分）如图，已知AC与BD相交于点O，联结AB （1）如果/ /ADBC，4 AOD S，9 BOC S，求： ABO S； （2）分别将AOD、AOB、BOC记为
22、1 S、 2 S、 3 S，如果 2 S是 1 S与 3 S的比例中项，求 证：/ /ADBC 【解答】 （1）解：/ /ADBC， AODCOB， 2 () AOD COB SOA SOC ，即 2 4 () 9 OA OC ， 解得， 2 3 OA OC ， 2 3 AOB BOC SOA SOC ，即 2 93 ABO S ， 解得，6 ABO S； （2）证明： 2 S是 1 S与 3 S的比例中项， AOBBOC AODAOB SS SS ， OBOC ODOA ， / /ADBC 22 （10 分）如图，在ABC中，10ABAC， 4 sin 5 B （1）求边BC的长度； （2）
23、求cos A的值 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）如图，过点A作ADBC于点D， 10ABAC， 2BCBD， 在Rt ABD中，sin AD B AB ， 4 sin108 5 ADABB， 2222 1086BDABAD， 则212BCBD； （2）如图，过B作BHAC于H， 11 22 ABC SAC BHBC AD ， 12 848 105 CB AD BH AC ， 2222 4814 10() 55 AHABBH， 14 7 5 cos 1025 AH BAC AB 23（12 分） 如图， 已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上， 顶点G，F分别在边AB、
24、AC上，ABC的高AH交GF于点l （1）求证：BD EHDH CE； （2）设(DEn EF n为正实数） ，求证： 11n BCAHEF 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：四边形DEFG是矩形， GDBC，FEBC，DGEF， AHBC， / / /GDAHFE， BDGABH，FECACH， GDBDBD AHBHBDDH ， FECECE AHCHCEEH ， GDFE， BDCE BDDHCEEH ， ()()BD CEEHCE BDDH， BD EHDH CE； （2）证明：/ /DFBC， AGFABC， GFAF BCAC ， FCEF ACAH ， 1 GF
25、EFAFFCAFFC BCAHACACAC ， GFDEn EF， 1 n EFEF BCAH ， 11n BCAHEF 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点( 1,2)A ，点(1,6)B，点(1,4)C，如果抛物 线 2 3(0)yaxbxa恰好经过这三个点之中的两个点 （1）试推断抛物线 2 3yaxbx经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由； 第 17 页（共 21 页） （2）求常数a与b的值； （3） 将抛物线 2 3yaxbx先沿与y轴平行的方向向下平移 2 个单位长度， 再与沿x轴平 行的方向向右平移(0)t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点(1,4)
26、C，设这个新抛 物线的顶点是D，试探究ABD的形状 【解答】解： （1）抛物线与y轴的交点记作点E， 针对于抛物线 2 3yaxbx， 当0 x 时，3y ， 抛物线与y轴的交点E的坐标为(0,3)， 点(1,6)B，点(1,4)C， / /BCy轴， 抛物线 2 3yaxbx经过点B、C两点中其中的一点， 而点( 1,2)A ，(0,3)E，(1,4)C， 点A，E，C从左到右，横坐标依次增加 1，纵坐标也依次增加 1， 点A，E，C再同一条直线上， 点C不在物线 2 3yaxbx上， 即抛物线 2 3yaxbx经过点A、B、C之中的A、B两个点； （2）将点( 1,2)A 、(1,6)B代
27、入抛物线 2 3yaxbx中，得 32 36 ab ab ， 第 18 页（共 21 页） 1 2 a b ， 即a，b的值分别为 1，2； （3）由（2）知，1a ，2b ， 抛物线的解析式为 22 23(1)2yxxx ， 由平移得，平移后新抛物线的解析式为 2 (1)22yxt ， 即新抛物线的解析式为 2 (1)yxt ， 抛物线经过点(1,4)C， 2 4(1 1) t ， 0t （舍)或4t ， 新抛物线的解析式为 2 (3)yx， 顶点(3,0)D， 点( 1,2)A 、(1,6)B， 22 (1 1)(62)2 5AB， 22 (3 1)(02)2 5AD 22 (3 1)(0
28、6)2 10BD， ABAD， 222 202040ABADBD， ABD是等腰直角三角形 25 （14 分）在矩形ABCD中，6AB ，8AD ，点E在CD边上， 1 tan 2 EAD点F是 线段AE上一点，联结BF，CF （1）如图 1，如果 3 tan 4 CBF，求线段AF的长； （2）如图 2，如果 1 2 CFBC， 求证：CFEDAE ； 求线段EF的长 第 19 页（共 21 页） 【解答】解： （1）如图 1， 四边形ABCD是矩形， 90BACABC ， 过点F作FGAB于G， / / /ADGFBC， DAEAFG ， 1 tan 2 EAD， 1 tan 2 AFG，
29、 在RtAGF中， 1 tan 2 AG AFG FG ， 设AGm，则2FGm， / /FGBC， BFGCBF ， 3 tan 4 CBF， 3 tan 4 BFG， 在RtBGF中， 3 tan 4 BG BFG FG ， 3 24 BG m ， 3 2 BGm， 6ABAGBG， 3 6 2 mm， 12 5 m， 12 5 AG， 24 2 5 FGm， 第 20 页（共 21 页） 根据勾股定理得， 2222 122412 5 ()() 555 AFAGFG； （2）如图 2， 四边形ABCD是矩形， / /ADBC，8BCAD，6CDAB，90D， 在Rt ADE中， 1 tan
30、 2 DE DAE AD ， 11 84 22 DEAD， 2CECDDE， 延长AE，BC相交于点H， / /ADBC， ADEHCE， ADDE CHCE ， 84 2CH ， 4CH， 1 4 2 CFBC， CFCH， HCFE ， / /ADBC， HDAE， CFEDAE ； 如图 3， 过点F作FPCD于P， / /ADFP， PFEDAE， 1 tan 2 DAE， 1 tan 2 PFE， 第 21 页（共 21 页） 在Rt EPF中， 1 tan 2 PE PFE PF ， 设PEn，则2PFn， 由知，2CE ， 2CPn， 在Rt CPF中，4CF ，根据勾股定理得， 222 CFPFCP， 222 4(2 )(2)nn， 2n （舍)或 6 5 n ， 6 5 PE， 12 2 5 PEn， 根据勾股定理得， 2222 6126 5 ( )() 555 EFPEPF
