1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年陕西省商洛市高二（上）期末数学试卷（理科）学年陕西省商洛市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知:1qx ，3， 2 231xx，则q为( ) A1x ，3， 2 231xx B1x ，3， 2 231xx C1x ，3， 2 231xx D1x ，3， 2 231xx 2 （5 分）已知集合 2 |340Ax xx， |323
2、Bxx ，则(AB ) A | 43xx B | 34xx C |01xx D | 31xx 3 （5 分）已知空间向量(2,1, 1)a ，(1, ,7)b，若ab，则( ) A5 B6 C7 D8 4 （5 分）双曲线 22 26xy的虚轴长为( ) A2 B2 C2 3 D2 6 5 （5 分）已知命题 p：若直线 l 的方向向量与平面 的法向量垂直，则 l，命题 q：等 轴双曲线的离心率为，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为假命题 Cp（q）为真命题 D （p）q 为真命题 6 （5 分） “2()kkZ”是“sin22sin”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条
3、件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，AC与BD的交点记为M设 1 A Aa， ABb，ADc，则下列向量中与 1 MB相等的向量是( ) A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 第 2 页（共 16 页） 8 （5 分）抛物线 2 1 2 xy上一点(4,)Pm到焦点F的距离为( ) A 33 8 B5 C 257 8 D33 9 （5 分）在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 点E在棱AD上，且2AEED，则异面直线BE与CD所成角的余弦
4、值为( ) A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 10（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且s i n2 s i n BA，34cab， 则cos(B ) A 1 3 B 1 4 C 1 2 D 2 3 11（5分） 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD， BD，则点 1 C到平面ABD的距离为( ) A 7 2 B 5 2 C 3 2 D 2 2 12 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为C上一 点， 12
5、120FPF， 12 FPF的内切圆与外接圆的半径分别为 1 r， 2 r，若 21 6rr，则C的离 心率为( ) A 3 2 B 15 4 C 19 20 D 9 10 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）若x，y满足约束条件 0 7510 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为 14 （5 分）已知0a ，0b ，42ab，则 11 ab 的最小值为 15 （5 分） “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇 ，其意思为“一 根一尺长的木棰
6、每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 1 a尺， 第二天被截取剩下的一半剩下 2 a尺，第五天被截取剩下的一半剩下 5 a尺，则 12 5 aa a 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab ， 直线xb与C的两条渐近线分别交于A， 第 3 页（共 16 页） B两点，过A作圆 222 :(2 )Mxbyb的切线，D为其中一个切点若| |ADAB，则C的 离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 n a是等差数列， 1 1a ，
7、8 50a （1）求 n a的通项公式； （2）求数列22 n n a的前n项和 n S 18 （12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 222 5 8 bcabc， sin2sinCB （1）求cos A； （2）若ABC的周长为615，求ABC的面积 19 （12 分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为 12 A A，且 12 |A A 等于双曲线 22 1 165 xy 的实轴长，C的离心率为 6 4 （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一动点，且P不在坐标轴上，求 12 PA A面积的取值范围 20 （12 分）在直四棱柱 1111 ABC
8、DABC D中，底面ABCD为正方形， 1 24AAAB，M， N，P分别是AD， 1 DD， 1 CC的中点 （1）证明：平面/ /MNC平面 1 AD P； （2）求直线DP与平面MNC所成角的正弦值 21 （12 分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，226ADBCAB， / /ADBC，ABBC 第 4 页（共 16 页） （1）证明：PCCD； （2）若PCAD，点E在线段CD上，且2CEED，求二面角APEC的余弦值 22 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点F （1）求C的方程，并求其准线l的方程； （2
9、）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线OA 与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明： 12 y y为定值，且四边形AMNB为 梯形 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年学年陕西省商洛市高二（上）期末数学试卷（理科）陕西省商洛市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （
10、5 分）已知:1qx ，3， 2 231xx，则q为( ) A1x ，3， 2 231xx B1x ，3， 2 231xx C1x ，3， 2 231xx D1x ，3， 2 231xx 【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题 即q为：1x ，3， 2 231xx， 故选：B 2 （5 分）已知集合 2 |340Ax xx， |323Bxx ，则(AB ) A | 43xx B | 34xx C |01xx D | 31xx 【解答】解： | 41Axx ， |3Bx x ， | 31ABxx 故选：D 3 （5 分）已知空间向量(2,1, 1)a ，(1, ,7)b，若ab，则( )
11、A5 B6 C7 D8 【解答】解：因为(2,1, 1)a ，(1, ,7)b，且ab， 所以270a b，解得5 故选：A 4 （5 分）双曲线 22 26xy的虚轴长为( ) A2 B2 C2 3 D2 6 【解答】解：由 22 26xy，得 22 1 63 xy ，所以 2 3b ， 故双曲线 22 26xy的虚轴长为22 3b 故选：C 第 6 页（共 16 页） 5 （5 分）已知命题 p：若直线 l 的方向向量与平面 的法向量垂直，则 l，命题 q：等 轴双曲线的离心率为，则（ ） Apq 为真命题 Bpq 为假命题 Cp（q）为真命题 D （p）q 为真命题 【解答】解：如果直线
12、 l 的方向向量与平面 的法向量垂直，那么 l 或 l，所以 p 为假命题， 等轴双曲线的离心率为，所以 q 是真命题， 故 pq 为假命题，pq 为真命题，p（q）为假命题， （p）q 为真命题 故选：D 6 （5 分） “2()kkZ”是“sin22sin”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： 若2()kkZ， 则s i n 2s i n 40 k，2sin2sin20k，sin22sin 成立； 若sin22sin，则2sincos2sin，得sin0或cos1， 当sin0时，()kkZ，当cos1时，2()kkZ， 故“2(
13、)kkZ”是“sin22sin”的充分不必要条件 故选：A 7 （5 分）如图，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，AC与BD的交点记为M设 1 A Aa， ABb，ADc，则下列向量中与 1 MB相等的向量是( ) A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 【解答】解：由题意知， 11 MBMBBB 1 1 2 DBBB 第 7 页（共 16 页） 1 1 () 2 ABADAA 1 11 22 ABADAA 11 22 abc 故选：B 8 （5 分）抛物线 2 1 2 xy上一点(4,)Pm到焦点F的距离为( ) A 33
14、8 B5 C 257 8 D33 【解答】解：依题意可得 2 1 4 2 m，所以32m ， 则 1257 |32 288 p PFm 故选：C 9 （5 分）在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 点E在棱AD上，且2AEED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( ) A 6 4 B 3 5 C 3 17 17 D 3 26 26 【解答】 解： 在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，2AB ，4BC ，3CD ，5BD ， 以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA为z轴， 建立空间直角坐标系， 则(0A，0，2)，(
15、0B，0，0)，(0C，4，0)，( 3D ，4，0)， 点E在棱AD上，且2AEED， 2 ( 2 3 AEAD ， 8 3 ， 4) 3 ，( 2BEBAAE ， 8 3 ， 2) 3 ，( 3CD ，0，0)， 设异面直线BE与CD所成角为， 则 |63 26 cos 26| |104 3 9 BE CD BECD 异面直线BE与CD所成角的余弦值为 3 26 26 故选：D 第 8 页（共 16 页） 10（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且s i n2 s i n BA，34cab， 则cos(B ) A 1 3 B 1 4 C 1 2 D 2 3
16、【解答】解：因为sin2sinBA，由正弦定理可得2ba， 因为34cab， 所以2ca， 则 222222 (2 )(2 )1 cos 2224 acbaaa B acaa 故选：B 11（5分） 正三棱柱 111 ABCABC的底面边长和高均为2， 点D为侧棱 1 CC的中点， 连接AD， BD，则点 1 C到平面ABD的距离为( ) A 7 2 B 5 2 C 3 2 D 2 2 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，O为 11 A B的中点， 由已知，得( 1A ，0，2)，(1B，0，2)，(0, 3,1)D， 1(0, 3,0) C， (2,0,0)AB ，(1, 3, 1
17、)AD ， 设平面ABD的法向量为( , , )nx y z， 第 9 页（共 16 页） 由 20 30 n ABx n ADxyz ，取1y ，可得(0,1, 3)n ， 又 1 (0,0,1)C D ， 点 1 C到平面ABD的距离为 1 |3 |2 C D n n 故选：C 12 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为C上一 点， 12 120FPF， 12 FPF的内切圆与外接圆的半径分别为 1 r， 2 r，若 21 6rr，则C的离 心率为( ) A 3 2 B 15 4 C 19 20 D 9 10 【解答】
18、解：设 12 | 2FFc，则 22 22 2 sin1203 cc rr 因为 12 | 2PFPFa， 所以 22 121212 |(|)2|(1 cos120 )FFPFPFPFPF， 则 22 12 44|caPFPF，则 2 12 | 4PFPFb 由等面积法可得 222 1 11 (22 )4sin1203() 22 ac rbac ， 整理得 1 3()rac， 因为 21 6rr，所以 2 6 3() 3 c ac，故 9 10 c e a 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把
19、答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）若x，y满足约束条件 0 7510 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为 15 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 10 页（共 16 页） 联立 0 7510 xy xy ，解得(5,5)A， 由图可知，当直线2zxy经过点(5,5)A时，z取得最大值，且最大值为 15 故答案为：15 14 （5 分）已知0a ，0b ，42ab，则 11 ab 的最小值为 9 2 【解答】解：0a ，0b ，42ab， 1111114 (4 )()(5) 22 ba ab ababab ， 44 24 bab a abab ，当且仅当 4ba ab
20、，即 21 , 33 ab时取等号， 119 2ab ，即 11 ab 的最小值为 9 2 故答案为： 9 2 15 （5 分） “一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自庄子天下篇 ，其意思为“一 根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 1 a尺， 第二天被截取剩下的一半剩下 2 a尺，第五天被截取剩下的一半剩下 5 a尺，则 12 5 aa a 24 【解答】解依题意可知， 1 a， 2 a， 3 a，成等比数列，且公比为 1 2 ， 则 12 5 5 11 24 24 1 2 aa a 故答案是：24 16（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0
21、) yx Cab ab ， 直线xb与C的两条渐近线分别交于A， 第 11 页（共 16 页） B两点，过A作圆 222 :(2 )Mxbyb的切线，D为其中一个切点若| |ADAB，则C的 离心率为 22 4 【解答】解：将xb代入C的渐近线方程 a yx b ，得ya ，则| 2ABa 不妨假设( , )A b a，则 22222 |(2 )8ADbbabba 因为| |ADAB，所以 22 82baa，即 2 2 3 8 b a ， 故 2 2 22 1 4 b e a 故答案为： 22 4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明
22、、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 n a是等差数列， 1 1a ， 8 50a （1）求 n a的通项公式； （2）求数列22 n n a的前n项和 n S 【解答】解： （1）因为 1 1a ， 8 50a ，所以公差 501 7 81 d ， 则 n a的通项公式为17(1)76 n ann （2）由（1）知2222(76) nn n an， 所以 12 2(12 )(176) 22752 122 n n n nn Snn 18 （12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 222 5 8 bcabc， sin2sinCB （1）求cos A； （2）若ABC
23、的周长为615，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为 222 5 8 bcabc， 所以 222 5 cos 216 bca A bc （2）因为sin2sinCB， 所以2cb 第 12 页（共 16 页） 由余弦定理得 2222 15 2cos 4 abcbcAb，则 15 2 ab 因为ABC的周长为615， 所以 15 3615 2 bb，解得2b 所以ABC的面积为 2 15231 21() 2164 bb 19 （12 分）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为 12 A A，且 12 |A A 等于双曲线 22 1 165 xy 的实轴长，C的离心率为 6 4
24、 （1）求C的标准方程； （2）若P为C上一动点，且P不在坐标轴上，求 12 PA A面积的取值范围 【解答】解： （1）因为双曲线 22 1 165 xy 的实轴长为2 168， 所以 222 28 6 4 a c a abc ，解得 2 2 16 10 a b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 1610 xy 或 22 1 1016 xy （2）因为 2 10b ，所以10b ， 所以P到 12 A A的距离(0, 10)d ， 而 12 PA A面积 12 11 |84(0,4 10) 22 SdA Add， 所以 12 PA A面积的取值范围为(0,4 10) 20 （12 分）在
25、直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形， 1 24AAAB，M， N，P分别是AD， 1 DD， 1 CC的中点 （1）证明：平面/ /MNC平面 1 AD P； （2）求直线DP与平面MNC所成角的正弦值 第 13 页（共 16 页） 【解答】 （1）证明：因为M，N，P分别是AD， 1 DD， 1 CC的中点， 所以 1 / /MNAD， 1 / /CNPD 又 1 AD 平面MNC，MN 平面MNC， 所以 1/ / AD平面MNC 同理 1/ / PD平面MNC， 又 111 ADPDD， 1 AD 平面 1 AD P， 1 PD 平面 1 AD P， 所以平面
26、/ /MNC平面 1 AD P （2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则(0D，0，0)，(0P，2，2)，(1M，0，0)，(0N，0，2)， (0C，2，0)，(0,2,2)DP ，( 1,0,2)MN ，( 1,2,0)MC 设平面MNC的法向量为( , , )nx y z， 则 20 20 MN nxz MC nxy ， 令1z ，得(2,1,1)n 设直线DP与平面MNC所成角为， 第 14 页（共 16 页） 则 |3 sin|cos,| 3| DP n DP n DP n ， 所以直线DP与平面MNC所成角的正弦值为 3 3 21 （12 分）如图，P
27、A平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，226ADBCAB， / /ADBC，ABBC （1）证明：PCCD； （2）若PCAD，点E在线段CD上，且2CEED，求二面角APEC的余弦值 【解答】 （1）证明：由题意易知 22 333 2AC 作CHAD，垂足为H，则3CHDH， 故 22 333 2CD 因为 222 ADACCD，所以ACCD 因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以APCD 因为AC 平面APC，AP平面APC，且ACAPA， 所以CD 平面APC 因为PC 平面APC，所以CDPC （2）解：因为6PCAD，3 2AC ，且PAAC， 所以 22 3 2APPC
28、AC 以A为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系Axyz 第 15 页（共 16 页） 则(0A，0，0)，(1E，5，0)，(3C，3，0)，(0,0,3 2)P， 从而(1,5,0)AE ，(0,0,3 2)AP ，( 2,2,0)CE ，( 3, 3,3 2)CP 设平面APE的法向量为 111 (,)nx y z， 则 1 11 3 20 50 n APz n AExy ，令 1 5x ，得(5, 1,0)n 设平面PCE的法向量为 222 (,)mxyz， 则 222 22 333 20 220 m CPxyz m CExy ， 令
29、 2 1x ，得(1,1, 2)m 设二面角APEC为，由图可知为锐角， 则 |5 1|26 cos |13262 n m n m 22 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p与双曲线 2 2 1 3 x y有相同的焦点F （1）求C的方程，并求其准线l的方程； （2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线OA 与准线l交于点N过点A作l的垂线，垂足为M证明： 12 y y为定值，且四边形AMNB为 梯形 第 16 页（共 16 页） 【解答】解： （1）因为双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点为(2,0)， 所
30、以(2,0)F，则2 2 p ，即4p ， 故C的方程为 2 8yx， 其准线l的方程为2x （2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为(2)(0)yxkk， 联立 2 (2) 8 yx yx k ，整理得 2 8160yykk， 所以 2 64640k恒成立， 所以 12 16 16y y k k ，故 12 yy为定值 因为点N在准线l上，设点N为( 2,)m， 则由 OAON kk，可得 1 1 2 ym x 又 2 1 16 y y ，所以 11 2 2 111 2216 8 yy my yxy 因此/ /BNx轴/ / AM， 易知， 12 xx，| |AMBN，故四边形AMNB为梯形
