1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有项是符合题目要求的有项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“ 0 (0,)x， 2 00 1 2xx ”的否定为( ) A(0,)x ， 2 1 2xx B(0,)x ， 2 12xx C(x ，0， 2 1 2xx D(x ，0， 2 12xx 2 （5 分）已知直线 1: 210lmxy ， 2:
2、(1)10lxmy ，则“2m ”是“ 12 / /ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）若向量，且，则实数 的值是 （ ） A0 B1 C2 D1 4（5 分） 已知圆C的圆心是直线10 xy 与直线10 xy 的交点， 直线34110 xy 与圆C交于A，B两点，且| 6AB ，则圆C的方程为( ) A 22 (1)18xy B 22 (1)3 2xy C 22 ()18xyy D 22 (1)3 2xy 5 （5 分）已知双曲线 22 2 1 5 xy m 的一个焦点与抛物线 2 12yx 的焦点重合，则此双曲线 的离心率为
3、( ) A6 B 3 4 C 3 2 2 D 3 2 6 （5 分）若函数( )2 1 a f xx x 在区间0，)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A0a B2a C2a D2a 7 （5 分）一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形， 制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为()x cm，小盒子的容积为 3 ()V cm，则( 第 2 页（共 19 页） ) A当2x 时，V有极小值 B当2x 时，V有极大值 C当 20 3 x 时，V有极小值 D当 20 3 x 时，V有极大值 8（5 分） 设函数( )f x是定义在R上的函数， 其导函数为(
4、 )fx若( )( )1f xfx，(0)2020f， 则不等式( )2019 xx e f xe的解集为( ) A(,0) B(，0)(2019，) C(2019,) D(0,) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分. 9 （5 分） 设( )f x，( )g x都是单调函数， 其导函数分别为( )fx，( )g x，( )(
5、)( )h xf xg x， 下列命题中正确的是( ) A若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递增 B若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递增 C( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递减 D若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递减 10 （5 分）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( ) A设A，B为两个定点，k为非零常数，|PAPB k，则动点P的轨迹为双曲线 B设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 1 () 2 OPOAOB，则动点P 的轨迹为椭圆 C方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D双曲线 2
6、2 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 11 （5 分）如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进 入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心 的圆形轨道绕月飞行，若用 1 2c和 2 2c分别表示椭圆轨道和的焦距，用 1 2a和 2 2a分别 表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是( ) 第 3 页（共 19 页） A 1122 acac B 1122 acac C 121 2 c aa c D 12 12 cc aa
7、 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列说法正确的是( ) A 0 2x 是( )f x的极小值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正整数k，使得( )f xx k恒成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）直线l过坐标原点且与线 x ye相切，则l的方程为 14 （5 分）已知过点 3 (1,) 2 M的椭圆C的焦点分别为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，则椭圆C的标准 方程是
8、 15 （5 分）如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽 16 米，当水面上涨 2 米后达到警戒水 位，水面宽变为 12 米，此时桥洞顶部距水面的高度约为 米（精确到 0.1 米） 16 （5 分）如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为 2，O是底面正方形ABCD中心，E 为PC中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为 第 4 页（共 19 页） 四、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知点(5,1)A关于x轴的对称点为B，关于原点的对称点为C （1）求过线段AB、BC的中点的直线方程； （2）在ABC中，求A
9、C边上的高所在的直线方程 18 （12 分）已知 22 :2 340C xyxym与直线330 xy相切 （1）求圆C的方程； （2）若圆C上两点M，N关于直线230 xyn对称，且| 2 2MN ，求n的值及直 线MN的方程 19 （12 分）如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路 线， 在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路， 在路的两侧边缘种植绿化带； 从点C到 点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带 （注:小路及绿化带的宽度 忽略不计） （1）设BAC（弧度） ，将绿化带总长度( )S表示为的函数； （2）试确定的值，使得绿化带总长度
10、最大 20 （12 分）如图，正四棱锥PABCD的高为 1，底边长为 2 （1）求证：平面PAD 平面PBC； （2）求二面角APDC的余弦值 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y是抛物线 2 :4C xy上的两点，满足OAOB， O是坐标原点 （1）求证： 12 16x x ； （2）若ODAB于点D，求点D的轨迹方程 22 （12 分）为圆周率，2.71828e 为自然对数的底数 （）求函数( ) lnx f x x 的单调区间； （）求 3 e，3e，e， e ，3， 3 这 6 个数中的最大数和最小数； （）将 3
11、e，3e，e， e ，3， 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有项是符合题目要求的有项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“ 0 (0,)x， 2 00 1 2xx ”的否定为( ) A(0,)x ， 2 1 2xx B(0,)x ， 2 12xx
12、 C(x ，0， 2 1 2xx D(x ，0， 2 12xx 【解答】解：根据存在性命题的否定为全称命题， 则命题“ 0 (0,)x， 2 00 1 2xx ”的否定为“(0,)x ， 2 12xx ” 故选：B 2 （5 分）已知直线 1: 210lmxy ， 2: (1)10lxmy ，则“2m ”是“ 12 / /ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：直线 1: 210lmxy ， 2: (1)10lxmy ， 若 12 / /ll，则有 (1) 1 ( 2)0 2( 1) (1) 10 mm m ，解得2m ， 故“2m
13、”是“ 12 / /ll”的充要条件 故选：C 3 （5 分）若向量，且，则实数 的值是 （ ） A0 B1 C2 D1 【解答】解：因为， 所以， 因为， 第 7 页（共 19 页） 所以1+10， 解得 2 故选：C 4（5 分） 已知圆C的圆心是直线10 xy 与直线10 xy 的交点， 直线34110 xy 与圆C交于A，B两点，且| 6AB ，则圆C的方程为( ) A 22 (1)18xy B 22 (1)3 2xy C 22 ()18xyy D 22 (1)3 2xy 【解答】解：由 10 10 xy xy ，得 0 1 x y ，得直线10 xy 与直线10 xy 的交点坐 标为
14、(0, 1)， 即圆心的坐标为(0, 1)， 圆心C到直线AB的距离 22 | 411|15 3 5 34 d ， | 6AB ， 根据勾股定理得到半径 22 333 2r ， 圆的方程为 22 (1)18xy 故选：A 5 （5 分）已知双曲线 22 2 1 5 xy m 的一个焦点与抛物线 2 12yx 的焦点重合，则此双曲线 的离心率为( ) A6 B 3 4 C 3 2 2 D 3 2 【解答】解：抛物线 2 12yx 的6p ，开口方向向左，焦点是( 3,0)， 双曲线 22 2 1 5 xy m 的3c ， 2 954m ， 3 |2 cc e am 故选：D 6 （5 分）若函数
15、( )2 1 a f xx x 在区间0，)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A0a B2a C2a D2a 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：根据题意，函数( )2 1 a f xx x ，其导数 2 ( )2 (1) a fx x ， 若函数( )2 1 a f xx x 在区间0，)上单调递增， 则 2 ( )20 (1) a fx x 在区间0，) 上恒成立， 必有 2 2(1)ax， 又由0 x，则2a， 即实数a的取值范围是2a， 故选：D 7 （5 分）一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形， 制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边
16、长为()x cm，小盒子的容积为 3 ()V cm，则( ) A当2x 时，V有极小值 B当2x 时，V有极大值 C当 20 3 x 时，V有极小值 D当 20 3 x 时，V有极大值 【解答】解：由题意可知05x， 则盒子的容积 32 (162 )(102 )452160Vxx xxxx， 则 2 12104160Vxx， 令0V ，解得02x，令0V ，解得25x， 所以函数V在区间(0,2)上单调递增，在(2,5)上单调递减， 则当2x 时，V有最大值为 144 故选：B 8（5 分） 设函数( )f x是定义在R上的函数， 其导函数为( )fx若( )( )1f xfx，(0)2020
17、f， 则不等式( )2019 xx e f xe的解集为( ) A(,0) B(，0)(2019，) C(2019,) D(0,) 【解答】解：设( )( ) xx g xe f xe， 则( )( )( ) ( )( ) 1 xxxx g xe f xe fxeef xfx， ( )( )1f xfx，0 x e ， 第 9 页（共 19 页） ( ) ( )( ) 10 x g xef xfx， ( )g x是R上的增函数， 又(0)(0)12019gf ， ( )2019g x的解集为(0,)， 即不等式( )2019 xx e f xe的解集为(0,) 故选：D 二、多项选择题：本题共
18、二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分. 9 （5 分） 设( )f x，( )g x都是单调函数， 其导函数分别为( )fx，( )g x，( )( )( )h xf xg x， 下列命题中正确的是( ) A若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递增 B若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递增 C( )0fx，( )0g x，
19、则( )h x单调递减 D若( )0fx，( )0g x，则( )h x单调递减 【解答】 解： 对于( )f x，( )g x都是单调函数， 其导函数分别为( )fx，( )g x，( )( )( )h xf xg x， 所以( )( )( )h xf xg x ， 当( )0fx，( )0g x时，( )0g x ， 故( )( )( )0h xfxg x ，所以函数( )h x为单调递增函数；故B正确， 当( )0fx，( )0g x时，( )0g x ， 故( )( )( )0h xfxg x ，所以函数( )h x为单调递减函数；故C正确， 对于A和D，由于( )0fx，( )0g
20、x，和( )0fx，( )0g x， 不能判定( )h x的正负，则( )h x的单调性不能确定，故A和D错误 故选：BC 10 （5 分）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( ) A设A，B为两个定点，k为非零常数，|PAPB k，则动点P的轨迹为双曲线 B设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 1 () 2 OPOAOB，则动点P 的轨迹为椭圆 第 10 页（共 19 页） C方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 【解答】解：对于A，动点P的轨迹仅为双曲线的一支或为一条射线，所
21、以A错； 对于B，由 1 () 2 OPOAOB知，点P弦AB中点，弦AB定长， 所以弦AB中点距圆心定长，所点P的轨迹是圆，所以B错； 对于C，解方程 2 2520 xx，得两根为 2 和 1 2 ， 所以 1 2 可作为椭圆离心率，2 可作双曲线的离心率，所以C对； 对于D，设双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y的半焦距分别为 2 1 25934c ， 2 2 35 134c ， 所以 12 cc，所以D对 故选：CD 11 （5 分）如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后
22、卫星在P点第二次变轨进 入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心 的圆形轨道绕月飞行，若用 1 2c和 2 2c分别表示椭圆轨道和的焦距，用 1 2a和 2 2a分别 表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是( ) A 1122 acac B 1122 acac C 121 2 c aa c D 12 12 cc aa 【解答】解：如图可知 12 aa， 12 cc， 1122 acac； A不正确， 第 11 页（共 19 页） 11 |acPF， 22 |acPF， 1122 acac；B正确 1221 acac 可得 22 1221 ()()aca
23、c， 2222 111 2222 1 22acacaca c， 即 22 11 222 1 22bacba c， 12 bb 所以 121 2 c aa c C正确； 可得 12 12 cc aa ，D不正确 故选：BC 12 （5 分）关于函数 2 ( )f xlnx x ，下列说法正确的是( ) A 0 2x 是( )f x的极小值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正整数k，使得( )f xx k恒成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 ()()f xf x，则 12 4xx 【解答】解：对于A，因为 22 212 ( ) x fx xxx
24、 ， 当02x时，( )0fx，当2x 时，( )0fx； 当02x时，( )f x递减，当2x 时，( )f x递增，所以A对； 对于B， 2 ( )yf xxlnxx x ， 2 2 222 71 () 212 42 10 x xx y xxxx ， 函数y在(0,)上单调递增，又因为当1x 时，10y ， 当 2 xe时， 2 2 2 20ye e ， 所以函数( )yf xx有且只有 1 个零点，所以B对； 对于C，令( )( )g xf xxk， 2 22 212 ( )0 xx g x xxx k k， 1 80( kk为正整数） ， 第 12 页（共 19 页） ( )g x在(
25、0,)上单调递减，又当x时，( )g x ，所以C错； 对于D，令( )( )(4)F tf tft， 2 2222 228(2) ( )( )(4)0 (4)(4) ttt F tftft tttt ， 所以( )F t在(0,4)上单调递减，当(0,2)t时，( )F tF（2）0， 即( )(4)0f tft，( )(4)f tft； 任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 ()()f xf x，不妨设 12 xx， 因为当02x时，( )f x递减，当2x 时，( )f x递增， 12 ()()f xf x，所以 12 02xx， 211 ()()(4)f xf x
26、fx，则 21 4xx，于是 12 4xx，所以D对 故选：ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）直线l过坐标原点且与线 x ye相切，则l的方程为 yex 【解答】解：设切点为 0 (x， 0) y， 由 x ye，得 x ye，则 0 0 | x x x ye ， 曲线 x ye在切点处的切线方程为 00 0 () xx yeexx， 把(0,0)O代入，可得 00 0 xx ex e，即 0 1x 直线l的方程为(1)yee x，即yex 故答案为：yex 14 （5 分）已知过点 3 (1,) 2 M的椭圆C的焦点分
27、别为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，则椭圆C的标准 方程是 22 1 43 xy 【解答】解：设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab ，(0,0)ab， 椭圆左右焦点分别为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，且椭圆C经过点点 3 (1,) 2 M， 22 1 35 |(1 1)() 22 MF ， 22 2 33 |(1 1)() 22 MF ， 12 53 2|4 22 aMFMF2a， 第 13 页（共 19 页） 222 4 13bac ， 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 故答案为： 22 1 43 xy 15 （5 分）如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下
28、水面宽 16 米，当水面上涨 2 米后达到警戒水 位，水面宽变为 12 米，此时桥洞顶部距水面的高度约为 2.6 米（精确到 0.1 米） 【解答】解：根据题意，设抛物线的方程为 2 xmy，(0)m | 16AB ，当水面上涨 2 米后达到CD，| 12CD ， 设(8, )Aa，(6,2)Ca， 则有 64 36(2) ma m a ，解可得 32 7 a ， 则 3218 222.6 77 a ， 则此时桥洞顶部距水面的高度约为 2.6 米， 故答案：2.6 16 （5 分）如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为 2，O是底面正方形ABCD中心，E 为PC中点，则直线OE与直线PD所成角
29、的余弦值为 1 2 第 14 页（共 19 页） 【解答】解：四棱锥PABCD中，所有棱长均为 2，O是底面正方形ABCD中心，E为 PC中点， ACBD，PO 平面ABCD， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0O，0，0)，(2C ，0，0)，(0P，0，2)， 2 ( 2 E ，0， 2 ) 2 ，(0D，2，0)， 2 ( 2 OE ，0， 2 ) 2 ，(0,2PD ，2)， 设直线OE与直线PD所成角为， 则 |11 cos 2| |14 OE PD OEPD ， 直线OE与直线PD所成角的余弦值为 1 2 故答案为： 1 2 四、解答题：解
30、答应写出文字说明。证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知点(5,1)A关于x轴的对称点为B，关于原点的对称点为C （1）求过线段AB、BC的中点的直线方程； （2）在ABC中，求AC边上的高所在的直线方程 【解答】解： （1） 点(5,1)A关于x轴的对称点为(5, 1)B，关于原点的对称点为( 5, 1)C ， 故AB的中点为(5,0)M，BC边的中点(0, 1)N， 第 15 页（共 19 页） 故过AB，BC边上中点的直线方程为1 51 xy ，即550 xy （2）由于AC的斜率为 1 11 555 ，故AC边上高线的斜率为5，
31、故AC边上高线所在的直线方程为15(5)yx ，即5240 xy 18 （12 分）已知 22 :2 340C xyxym与直线330 xy相切 （1）求圆C的方程； （2）若圆C上两点M，N关于直线230 xyn对称，且| 2 2MN ，求n的值及直 线MN的方程 【解答】解： （1）将圆 22 :2 340C xyxym 化为圆的标准方程： 22 (3)(2)7xym， 圆心坐标为( 3, 2)C，半径7rm， 圆 22 :2 340C xyxym与直线330 xy相切， 圆心( 3, 2)到直线330 xy的距离 |32 33| 7 2 drm ， 解得4m ， 圆C的方程为 22 2
32、3440 xyxy （2）圆C上两点M，N关于直线230 xyn对称， 该直线过圆心( 3, 2)，即2 32 30n，解得4 3n ， 由题意可知直线MN与直线230 xyn垂直， 则可设直线MN的方程为320 xyb， | 2 2MN ，半径3r ， 圆心( 3, 2)到线MN的距离为321， 即 |34| 1 7 b ， 解得：17b 直线MN的方程为32170 xy 第 16 页（共 19 页） 19 （12 分）如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路 线， 在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路， 在路的两侧边缘种植绿化带； 从点C到 点B设计为沿圆
33、弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带 （注:小路及绿化带的宽度 忽略不计） （1）设BAC（弧度） ，将绿化带总长度( )S表示为的函数； （2）试确定的值，使得绿化带总长度最大 【解答】解： （1）如图，连接OC，BC， 在直角三角形ABC中，CAB，200AB ， 所以200cosAC， 由于22COBCAB ，所以弧BC的长为1002200， 所以( )2 200cos200400cos200S，(0,) 2 ， 即( )400cos200S，(0,) 2 ； （2）( )200( 2sin1)S，(0,) 2 ， 当0 6 时，( )0S，当 6 时，( )0S， 当 62 时，
34、( )0S， 所以( )S在(0,) 6 上单调递增，在(,) 6 2 上单调递减， 当 6 时，( )S有最大值 100 ()400cos200200 3 6663 S ， 所以当 6 时，绿化带总长度最大 20 （12 分）如图，正四棱锥PABCD的高为 1，底边长为 2 （1）求证：平面PAD 平面PBC； （2）求二面角APDC的余弦值 第 17 页（共 19 页） 【解答】解：设底面ABCD的中心为O，连结OP， PABCD是正四棱锥，所以PO 底面ABCD， 过点O作/ /OxCB，/ /OyAB，以O为原点建立如图的空间直角坐标系， 由已知可得(0P，0，1)，(1A，1，0)，
35、( 1D ，1，0)，(1B，1，0)，( 1C ，1，0) （1）证明：(1, 1, 1)PA ，( 1, 1, 1)PD 设平面PAD的一个法向量为( , , )mx y z， 则 ( , , ) (1, 1, 1)0 ( , , ) ( 1, 1, 1)0 m PAx y zxyz m PDx y zxyz 可取(0,1, 1)m，(1,1, 1)PB ，( 1,1, 1)PC ， 设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z， 则 ( , , ) (1,1, 1)0, ( , , ) ( 1,1, 1)0. n PBx y zxyz n PCx y zxyz 可取(0,1,1)
36、n ， 则(0,1, 1) (0,1,1)0m n， 所以平面PAD 平面PBC （2）由（1）平面PAD的一个法向量为(0,1, 1)m， 设平面PDC的一个法向量为( , , )px y z， 则 ( , , ) ( 1,1, 1)0 ( , , ) ( 1,1, 1)0 p PBx y zxyz p PCx y zxyz 可取(1,0, 1)p ， 1 cos, |2 m p m p mp ， 第 18 页（共 19 页） 又二面角APDC为钝角， 所以二面角APDC的余弦值为 1 2 21 （12 分）已知点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y是抛物线 2 :4C x
37、y上的两点，满足OAOB， O是坐标原点 （1）求证： 12 16x x ； （2）若ODAB于点D，求点D的轨迹方程 【解答】 （1）证明：由题意可设AB的方程为yxbk，0b ， 由 2 , 4 . yxb xy k 可得 2 440 xxbk， 所以 1 x， 2 x是该方程的两根，所以 2 16160bk且 12 4xx k， 12 4x xb ， OAOB， 1212 0 x xy y， 即 22 1 2121 212 ()()(1)()0 x xxbxbx xbxxbkkkk， 可得 222 4(1)40bbbkk，0b ， 解得：4b 此时 2 16160bk成立， 12 416
38、x xb （2）解：由（1）可得直线AB的方程为4yxk， 所以直线AB过定点(0,4)M， 又ODAB于点D，所以点D在以OM为直径的圆上， 可得点D的轨迹方程为 22 (2)4xy 22 （12 分）为圆周率，2.71828e 为自然对数的底数 （）求函数( ) lnx f x x 的单调区间； （）求 3 e，3e，e， e ，3， 3 这 6 个数中的最大数和最小数； （）将 3 e，3e，e， e ，3， 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论 【解答】解： （）函数( )f x的定义域为(0,)， ( ) lnx f x x ， 2 1 ( ) lnx fx x ，
39、当( )0fx，即0 xe时，函数( )f x单调递增； 当( )0fx，即xe时，函数( )f x单调递减 第 19 页（共 19 页） 故函数( )f x的单调递增区间为(0, ) e，单调递减区间为( ,)e （）3e， 3elneln，3lneln，即3e e lnln，3lneln 于是根据函数ylnx， x ye， x y在定义域上单调递增， 可得 3 3e e ， 3 3ee ， 故这六个数的最大数在 3 与3之中，最小数在3e与 3 e之中 由3e及（）的结论，得( )ff（3）f（e） ，即 3 3 lnlnlne e ， 由 3 3 lnln ，得 3 3lnln ， 3
40、3； 由 3 3 lnlne e ，得 3 3elnlne， 3 3ee 综上，6 个数中的最大数是3，最小数是3e （）由（）知， 3 33 ee ， 3 3ee， 又由（）知， lnlne e ，得 e e， 故只需比较 3 e与 e 和e与 3 的大小 由（）知，当0 xe时，( )f xf（e） 1 e ，即 1lnx xe 在上式中，令 2 e x ，又 2 e e ，则 2 ee ln ， 从而2 e ln ，即得2 e ln 由得， 2.72 (2)2.7(2)2.7(20.88)3.0243 3.1 e elne ，即3eln，亦即 3e lnlne， 3e e 又由得， 3 366 e lne ，即3ln， 3 e 综上可得， 33 33 ee ee ， 即 6 个数从小到大顺序为3e， 3 e， e ，e， 3 ，3
