1、171一元二次方程 什么是一元一次方程？ 有一个未知数，未知数的最高次数是一 的整式方程叫做一元一次方程 一元一次方程的一般形式是什么？ 00axba（） 由题意可知截取由题意可知截取 后的底面积故后的底面积故 应根据面积找相应根据面积找相 等关系解题等关系解题 用一块长用一块长80cm，宽，宽60cm的薄钢片，在的薄钢片，在 四个角上截去四个相同的小正方形，然四个角上截去四个相同的小正方形，然 后做成底面积为后做成底面积为1500cm2的无盖长方形的无盖长方形 盒子试求出截去的小正方形的边长盒子试求出截去的小正方形的边长 即即 x2-70 x+8250 解：解：设小正方形边长为设小正方形边长
2、为xcm，则盒子底面，则盒子底面 的长、宽分别为（的长、宽分别为（80-2x）cm、（、（60-2x） cm，则有（，则有（80-2x）（）（60-2x）1500 x x x x 80-2x 60-2x 这个方程和以前这个方程和以前 学过的方程有什么学过的方程有什么 异同？异同？ 分析：分析：要解决此问题，需求出铁片的长和要解决此问题，需求出铁片的长和 宽，由于长比宽多宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数，可设宽为未知数 来列方程来列方程 剪一块面积是剪一块面积是150cm2的长方形的长方形 铁片，使它的长比宽多铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片，这块铁片 应怎样剪？应怎样剪？ 即即 x2
3、+5x-1500 解：解：设这块铁片宽设这块铁片宽xcm，则长是，则长是 （x+5）cm根据题意，可得根据题意，可得x （x+5）150 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个场比赛，比赛组织者应该邀请多少个 队参赛？队参赛？ 解：设应邀请解：设应邀请x个队参加比赛，由题意得：个队参加比赛，由题意得： 2 1 128 2 560 x x) xx （ 即 x2-70 x+8250 x2+5x-1500
4、 观察观察 这两个方程有什么共同点？这两个方程有什么共同点？ 方程中未知数的个数方程中未知数的个数 、次数各是多少？、次数各是多少？ 梳理梳理 等号两边都是整式，只含有一个未知数等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次方程的一元二次方程 ，经过整理，都能化成如下形式：，经过整理，都能化成如下形式： ax2+bx+c=0 （a0） 这种形式叫做这种形式叫做一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 ，其中，其中ax
5、2是二次项，是二次项，a是二次项系数；是二次项系数；bx 是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数项是常数项 梳理梳理 为什么？为什么？ 明辨是非明辨是非 判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次 方程，请说明理由？方程，请说明理由？ 1、（、（x1）2 2、x22x=8 4、x2y+ 5、x22x2 6、ax2 + bx + c 3、x2+ 1 x 1、下列方程中哪些是一元二次方程？、下列方程中哪些是一元二次方程？ 2 1250 xx（） 2 2 4310 xy（） 2 30axbxc（） 4120 x x （）（） 2
6、1 50a a （） 2 621m（）（） 是一元二次方程的有：是一元二次方程的有： )(1 探究探究 )(4)(6 一元二次方程的概念：一元二次方程的概念： 1下列方程中是一元二次方程的是（下列方程中是一元二次方程的是（ ） A、2x10 B、y2x1 C、x210 D、 2 1 1x x C 2关于关于x的方程的方程 是一元二是一元二 次方程，求次方程，求m的值的值 2 2 (2)370 m mxx 一元二次方程三要素一元二次方程三要素: 1一个未知数一个未知数 2含未知项的最高次数是含未知项的最高次数是2次次 3方程两边都是整式方程两边都是整式 二次项的系数不等于二次项的系数不等于0 注
7、意注意: m=-2 一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式 2 0axbxc（a0） 一元二次方程一元二次方程 一般形式一般形式 二次项二次项 系数系数 一次项一次项 系数系数 常数常数 项项 3x=1 2y（y-3）= -4 3x -1=0 3 2 -6 -1 4 0 2y2-6y+4=0 例题讲解例题讲解 将方程（将方程（3x-2）（）（x+1）=8x-3 化为一元化为一元 二次方程的一般形式，并写出二次项系二次方程的一般形式，并写出二次项系 数、一次项系数及常数项数、一次项系数及常数项 解：解：去括号，得去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得移项，合并同类项得
8、 3x2-7x+1=0 所以得到一元二次方程的一般形式为：所以得到一元二次方程的一般形式为： 3x2-7x+1=0 其中二次项系数为其中二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-7， 常数项为常数项为1 2、将下列方程化为一元二次方程、将下列方程化为一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项的一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数和常数项系数、一次项系数和常数项 2 2 1 514 2 4810 xx x （） （） 解：解：方程方程(1)整理为整理为5x2-4x-1=0； 其中二次项系数为其中二次项系数为5，一次项系数为，一次项系数为-4 ，常数项为，常数项为-1 方程方程(2)
9、整理为整理为4x2-81=0；其中二；其中二 次项系数为次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为0，常数，常数 项为项为-81 80cm 50cm x x x x 1、在一幅长、在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周的矩形风景画的四周 镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示， 如果使整个挂图的面积是如果使整个挂图的面积是5400cm2，设金边的宽为，设金边的宽为 xcm，则列出的方程是，则列出的方程是 （80+2x）（）（50+2x）=5400 面积类应用题：面积类应用题： 如图，利用一面墙如图，利用一面墙（墙的长度不超过（墙的长度不
10、超过 45m45m），用，用80m80m长的篱笆围一个矩形场长的篱笆围一个矩形场 地地 怎样围才能使矩形场地的面积为怎样围才能使矩形场地的面积为750m750m2 2？ 能否使所围矩形场地的面积为能否使所围矩形场地的面积为810m810m2 2， 为什么？为什么？ B A D C 墙墙 2、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会 主义现代化，力争国民生产总值到主义现代化，力争国民生产总值到2020年比年比2000年翻年翻 两番本世纪的头二十年（两番本世纪的头二十年（2001年年2020年），要实年），要实 现这一目标，以十年为单位，设每个十年
11、的国民生产现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产 总值的增长率都是总值的增长率都是x，那么，那么x满足的方程为满足的方程为 （ ） A、（、（1+x）2=2 B、（、（1+x）2=4 C、1+2x=2 D、（、（1+x）+2（1+x）=4 B 关键是理解关键是理解“翻两番是原来的翻两番是原来的4倍倍”，而不是原来的，而不是原来的2 倍倍 增长率类应用题：增长率类应用题： 2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年 代以来世界最严重的一场金融危机受金融危代以来世界最严重的一场金融危机受金融危 机的影响，某商品原价为机的影响，某商品原价为200元，
12、连续两次降价元，连续两次降价a 后售价为后售价为148元，下面所列方程正确的是（元，下面所列方程正确的是（ ） A.200（1+a）2=148； B.200（1-a)2=148； C.200（1-2a）=148； D.200（1+a2）=148. B 剪铁片的题目中，列得的方程为剪铁片的题目中，列得的方程为 x2+5x-1500 x 1 2 3 9 10 11 x2+5x-150 -144 -136 -126 -24 0 16 分析分析 可以发现，当可以发现，当x=10时，时，x2+5x-150=0 即即x=10时，方程左右两边相等，所以时，方程左右两边相等，所以 x=10是方程是方程x2+5
13、x-150的解一元二次的解一元二次 方程的解也叫一元二次方程的方程的解也叫一元二次方程的根根 通过计算可知，当通过计算可知，当x=-15时，方程左时，方程左 边为边为0，与方程右边相等，所以，与方程右边相等，所以x=-15 也是方程也是方程x2+5x-150=0的根的根 虽然方程虽然方程x2+5x-150=0有两个根（有两个根（ x=10和和x=-15），但剪铁片问题的答案），但剪铁片问题的答案 只有一个，宽应为只有一个，宽应为10cm 由实际问题列出方程并得出方程的由实际问题列出方程并得出方程的 解后，必须考虑这些解是否是该实际问解后，必须考虑这些解是否是该实际问 题的解，即是否符合生活实际
14、题的解，即是否符合生活实际 探究探究 （2）4x2=1 （1）3x2-27=0 1、下列哪些是方程的下列哪些是方程的x2+6x-16=0根？根？ 0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8 2、试写出下列方程的根、试写出下列方程的根 （3）x2-x=0 3、一元二次方程的根：、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等的未使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值叫做一元二次方程的知数的值叫做一元二次方程的根根 列方程解决实际问题时，解不仅要满列方程解决实际问题时，解不仅要满 足所列方程，还需满足适合实际足所列方程，还需满足适合实际 2、已知一元二次方程、已知一元二次方程x2=2x 的解是（
15、的解是（ ） （A）0 （B）2 （C）0或或-2 （D）0或或2 D 1、已知一元二次方程（、已知一元二次方程（x+1）（）（2x1）=0的解的解 是（是（ ） （A）-1 （B）1/2 （C）-1或或-2 （D）-1或或 1/2 D 2 2、若方程、若方程 是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则m的值为的值为 2 2 2120 m mxmx （）（） 3若若x=2是方程是方程x2+ax-8=0的解，则的解，则a= ； 2 4、写出一个根为、写出一个根为2，另一个根为，另一个根为5的一元二次方的一元二次方 程程 1、若、若 是关于是关于x的一元二的一元二 次方程则次方程则m 2 2220mxmx（）（） 2 巩固练习巩固练习 1、一元二次方程、一元二次方程3y（y1）=7（y2） 5化为一般形式为化为一般形式为 ；其中二次；其中二次 项系数为项系数为 ；一次项系数为；一次项系数为 ；常数；常数 项为项为 3y2-4y-9=0 3 -4 -9 2、已知关于、已知关于x的方程（的方程（k2-1）x2+kx- 1=0为一元二次方程，则为一元二次方程，则k 1 应用拓宽应用拓宽 2 21 )36 m mm xx （ 关于关于x的方程的方程 可能是一元二次方程吗？可能是一元二次方程吗？ 为什么？为什么
