1、11.4.1 直线与平面垂直 课标阐释 思维脉络 1.理解异面直线所成角的含 义,结合实例概括出直线与平 面垂直的定义,了解直线与平 面垂直的性质. 2.理解线面垂直的判定定理, 能运用文字语言、图形语言 和符号语言对该定理加以表 述,初步学习运用该定理判定 或论证直线与平面垂直问题. 3.理解线面垂直的有关性质, 并能运用这些性质进行论证. 4.了解点到平面的距离的定 义. 激趣诱思 知识点拨 英国发明家瓦特(17361819)获得了蒸汽机专利后,从一个大学实 验员一跃成为博尔顿瓦特公司的老板,还成为英国皇家学会的会 员,引起了许多旧贵族的不满.据说,在一次皇家音乐会上,有个贵族 故意嘲讽地
2、对瓦特说:“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅 仅是棒子而已.”瓦特回答道:“是的,那的确是根棒子,但是我可以用 这样3根棒子组成12个直角,而你做不到.” 那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去,可始终无法摆出 12个直角.你能拼出12个直角吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:直线与直线所成角 一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别 作与a,b平行或重合的直线a,b,则a与b所成角的大小,称为异面直 线a与b所成角的大小. 为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0,这样 一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所 成的角也称为这两条
3、直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成 角的大小为90时,称l与m垂直,记作lm. 显然,若ab且bc,则一定有ac. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 设P是直线l外一定点,过点P且与l成30角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 答案:A 解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线ll,以 l为轴,与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1 所成角的余弦值为 . 答案:1 3 解析:设棱长为1,因为A1B1C1D1, 所以A
4、ED1就是异面直线AE与A1B1所成的角. 在AED1中,cosAED1=D1 E AE = 1 2 3 2 = 1 3. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:直线与平面垂直 1.定义:直线l与平面垂直,指的是直线l与平面内过它们公共点的 所有直线都垂直. 2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面 垂直的充要条件是直线l与平面内的任意直线都垂直.这可以用符 号表示为lm,lm. 3.画法: 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对线面垂直定义的理解 1.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免 两个错误:(
5、1)一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于 这个平面;(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直 于这个平面. 2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面 内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形. 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平 面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的? 提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个 平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可 能在平面内. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)若直线l垂直于平面内任意直线,则有l.( ) (2)垂
6、直于同一条直线的两条直线平行.( ) (3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.( ) (4)垂直于同一个平面的两条直线平行.( ) (5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) 激趣诱思 知识点拨 微练习 直线l平面,直线m,则l与m不可能( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 答案:A 解析:直线l平面,l与相交, 又m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm. 故l与m不可能平行. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:直线与平面垂直的判定定理与推论 1.判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直 线
7、与这个平面垂直 图形 语言 符号 语言 若la,lb,a,b,ab=P,则l 激趣诱思 知识点拨 2.结论 文字 语言 如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么 另一条直线也垂直于这个平面 图形 语言 符号 语言 若mn,m,则n 激趣诱思 知识点拨 3.性质定理 文字 语言 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 图形 语言 符号 语言 若a,b,则ab 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交, 缺一不可.此定理可简记为线线垂直线面垂直. 2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行 与垂直关系的转化. 激趣诱思
8、 知识点拨 微练习1 一条直线分别垂直于一个平面内的:三角形的两条边;梯形的 两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.其中不能保证该直 线与平面垂直的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而 中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直, 故选C. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E平面ABCD,F平面 A1B1C1D1,且EF平面ABCD.求证:EFAA1. 证明:AA1AB,AA1AD,且ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面 ABCD, AA1平面ABCD. 又EF平面A
9、BCD, EFAA1. 激趣诱思 知识点拨 知识点四:直线与平面所成的角 1.定义:如果A是平面外一点,B是平面内一点,则AB时,AB是平 面的垂线段.类似地,如果C是平面内一点,且AC与不垂直,则称 AC是平面的斜线段(相应地,直线AC称为平面的斜线,称C为 斜足). 因为B为A在平面内的射影,所以直线BC称为 直线AC在平面内的射影.特别地,ACB称为 直线AC与平面所成的角. 结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线. 激趣诱思 知识点拨 2.规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90;一条 直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此, 直线与平面所成的角的范围
10、是0,90. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 如图所示,若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍,则直线AB与 平面所成的角是( ) A.60 B.45 C.30 D.120 答案:A 解析:ABO即是斜线AB与平面所成的角,在RtAOB中,AB=2BO, 所以cosABO= ,即ABO=60. 1 2 激趣诱思 知识点拨 微练习2 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平 面ABC所成的角等于 . 激趣诱思 知识点拨 答案:45 解析:因为PA平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所 以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在PAB 中,BAP
11、=90,PA=AB,所以PBA=45, 即直线PB与平面ABC所成的角等于45. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线与直线所成角直线与直线所成角 例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2 ,D,E分别为PC和AB的 中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小. 5 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:如图,取AC的中点F,连接DF,EF, 在PAC中,D是PC的中点,F是AC的中点, DFPA,同理可得EFBC, DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角). 在DEF中,DE=3, 又 DF=1 2PA=2,EF= 1 2BC=5
12、,DE 2=DF2+EF2.DFE=90, 即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法,遇题设中有中点,常考 虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难 时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的 角. (3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090,则为 所求;若90180,则180-为所求. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1在四面体A
13、-BCD中,AB=CD,AB与CD成30角,E,F分别 是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG. E,F,G分别是BC,AD,BD的中点, EG1 2CD,GF 1 2AB, EGF(或EGF的补角)为AB与CD 所成的角,又AB与CD成30角, 即EGF=30或150. AB=CD,EG=GF, 故由等腰三角形EGF知GFE=75或15. 而由FGAB知,GFE就是EF和AB所成的角. 从而EF和AB所成的角为75或15. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 线面垂直的判定线面垂直的判定 例2 如图所示,RtABC所在平面外有一点
14、S,且SA=SB=SC,点D为斜 边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SDAC. 因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD, 所以ADSBDS.所以SDBD. 又ACBD=D,所以SD平面ABC. (2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BDAC. 又由(1)知SDBD, ACSD=D,所以BD平面SAC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直 的技巧 证明线面垂
15、直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出 的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、 菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等 都是找线线垂直的方法. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1平面PAC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:连接B1C, 由题知 PC2=2,P1 2=3,B1C2=5, 所以PB1C是直角三角形,所以PB1PC. 同理可得PB1PA. 因为PCPA=P,所以直线PB
16、1平面PAC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 线面垂直性质定理的应用线面垂直性质定理的应用 例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直 相交,垂足分别为F,E.求证:EFBD1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD. 因为DD1平面ABCD,AC平面ABCD, 所以DD1AC. 又ACBD,DD1BD=D, 所以AC平面BDD1. 又BD1平面BDD1, 所以ACBD1. 同理可证BD1B1C. 又ACB1C=C,所以BD1平面AB1C. 因为EFAC,EFA1D,又A1DB1
17、C, 所以EFB1C.又ACB1C=C, 所以EF平面AB1C.所以EFBD1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N 是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:(1)MNAD1; (2)M是AB的中点. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1, 所以CDAD1. 因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC. 又因为MN平面A1DC,所以MNAD1. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测
18、 (2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON, 在A1DC中, A1O=OD,A1N=NC, 所以 ON1 2CD 1 2AB. 所以ONAM. 又因为MNOA,四边形AMNO为平行四边形. 所以ON=AM. 因为 ON=1 2AB,所以 AM= 1 2AB. 所以M是AB的中点. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 线面角线面角 例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中: (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值; (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)直线A1A平面ABCD, A1CA为直
19、线A1C与平面ABCD所成的角. 设 A1A=1,则 AC=2, tanA1CA=2 2 . (2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB, 在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1, BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1, BB1A1C1. 又BB1B1D1=B1, A1C1平面BDD1B1,垂足为点O. A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 在 RtA1BO 中,A1O=1 2A1C1= 1 2A1B, A1BO=30. 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形
20、成 当堂检测 反思感悟 求线面角的方法 求直线和平面所成角的步骤:寻找过斜线上一点与平面垂直的直 线;连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影 所成的锐角或直角即为所求的角;把该角归结在某个三角形中, 通过解三角形,求出该角. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( ) A.22 3 B.2 3 C.2 4 D.1 3 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:D 解析:AA1平面A1B1C1D1, AC1A1为直线AC
21、1与平面A1B1C1D1所成角, AA1=1,AB=BC=2,AC1=3, sinAC1A1=1 1 = 1 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用 典例如图所示,已知P为ABC外一点,PA,PB,PC两两垂 直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 思路分析方法一:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.方 法二:利用等积法转化求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(方法一)过点P作PO平面ABC于点O,连接AO,BO,CO, 所以POOA,POOB,POOC.
22、 因为PA=PB=PC=a, 所以PAOPBOPCO. 所以OA=OB=OC,所以O为ABC的外心. 因为 PA,PB,PC 两两垂直,所以 AB=BC=CA=2a. 所以ABC 为正三角形,所以 OA=3 3 AB=6 3 a. 所以 PO= 2-2= 3 3 a. 所以点 P 到平面 ABC 的距离为3 3 a. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (方法二)由题意可知APBBPCCPA,且 AB=BC=CA=2a.设 点 P 到平面 ABC 的距离为 h, PA,PB,PC 两两垂直, AP平面 BPC.由 VP-ABC=VA-BPC,得1 3SABC h= 1 3SBP
23、C AP,即 1 3 3 4 (2a)2 h=1 3 1 2a 2 a,解得 h=3 3 a. 故点 P 到平面 ABC 的距离为3 3 a. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛1.求点到平面距离的基本步骤是: (1)找到或作出要求的距离; (2)使所求距离在某一个三角形中; (3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. 2.求点到平面距离的常用方法: (1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角 三角形中去求解; (2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面 的距离求解; (3)等积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距
24、离 (即棱锥的高). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA平面ABCD,且PA=1,取 对角线BD上一点E,连接PE,PEDE,则PE的长为 . 答案:13 5 解析:如图所示,连接AE. 因为PA平面ABCD, BD平面ABCD, 所以PABD. 又因为BDPE,PAPE=P, 所以BD平面PAE,所以BDAE. 所以 AE=34 5 = 12 5 .所以在 RtPAE 中, 由 PA=1,AE=12 5 ,得 PE=13 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.(2020上海高二期末)垂直于同一直线
25、的两条不同的直线平行; 垂直于同一平面的两条不同的直线平行;平行于同一平面的两 条不同的直线平行;平行于同一直线的两条不同的直线平行.以 上4个命题中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:对于,在空间中,垂直于同一直线的两条不同的直线可能平 行、相交或异面,故错误;对于,由线面垂直的性质可得垂直于 同一平面的两条不同的直线平行,故正确;对于,平行于同一平 面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故错误;对于,由 平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故正 确. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.如图,如果MC菱形ABCD所在的
26、平面,那么MA与BD的位置关系 是( ) A.平行 B.垂直且相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 答案:C 解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BDAC.又MC平面ABCD, 则BDMC.因为ACMC=C,所以BD平面AMC.又MA平面AMC, 所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的 位置关系是垂直但不相交. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.如图所示,AB是O的直径,PA平面O,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则点B到平面PAC的距离为 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:21 cm 解析:连
27、接BC,因为 C为圆周上的一点,AB为直径, 所以BCAC. 又因为PA平面O,BC平面O, 所以PABC. 又因为PAAC=A, 所以BC平面PAC,点C为垂足, 所以线段BC的长度即为点B到平面PAC的距离. 在RtABC中, BC= 2-2= 52-22= 21(cm). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD, ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小; (2)求证:AE平面PCD. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)解:在四棱锥P
28、-ABCD中, 因为PA底面ABCD,AB平面ABCD, 所以PAAB. 又ABAD,PAAD=A, 所以AB平面PAD. 所以PB在平面PAD内的射影为PA, 即APB为PB和平面PAD所成的角. 在RtPAB中,AB=PA, 故APB=45. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)证明:在四棱锥P-ABCD中, 因为PA底面ABCD,CD平面ABCD, 所以CDPA. 因为CDAC,PAAC=A, 所以CD平面PAC. 又AE平面PAC,所以AECD. 由PA=AB=BC,ABC=60, 可得AC=PA. 因为E是PC的中点,所以AEPC. 又PCCD=C,所以AE平面PCD.
