1、扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 扫描全能王 创建 数学试卷 第 1 页（共 6 页） 2021 届通州区高三第三次调研测试 数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 14 B C B A 58 C C D A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 9 ABD 10ACD 11ACD 12BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 4 3 3 14432 157576 16 9 8 ， 2 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
2、17 （10 分） 【解】 （1）由表中数据可得，A=2.5，B=5，T=12 2 分 因为0，所以 22 = 126 T 因为 x=3 时 y 取得最大值，所以 3+ =+2 62 Zkk，解得2 Zkk， 所以这个函数解析式为 2.5sin()5 6 yx 4 分 （2）因为货船的吃水深度为 5 米，安全间隙至少要有 1.25 米， 所以 2.5sin()56.25 6 x，即 1 sin() 62 x ， 6 分 所以 5 +2 2 666 Nmxmm， 解得1+12512Nmxm m ， 8 分 取 m=0，m=1，得15 1317xx ， 答：该船 1：00 至 5：00 和 13：
3、00 至 17：00 期间可以进港，在港口最多能连续呆 4 个小时 10 分 18 （12 分） 【解】 （1）由题意可知， 22 1 2 1(1) 3 nn aa，令 2 1 nn ca ，则 1 2 3 nn cc 2 分 又 2 11 3 1 4 ca，则数列 n c是首项为 1 3 4 c，公比为 2 3 的等比数列， 即 1 3 2 4 3 n n c，故 1 2123 23 2 1( )1 4 34 3 n n nn aa 4 分 又 1 1 0 2 a ， 1 0 n n a a ， 数学试卷 第 2 页（共 6 页） 所以 113 2 ( 1)1( ) 4 3 nn n a，
4、11 2 ( ) 4 3 n n b 6 分 （2）假设数列 n b存在三项 rst bbb， ，()rst按某种顺序成等差数列 由于数列 n b是首项为 1 4 ，公比为 2 3 的等比数列，于是有 rst bbb， 则只有可能有2 srt bbb成立， 8 分 所以 111 1 21 21 2 2 4 34 34 3 srt ，即 222 2 333 srt ， 即 1 2332 stt st rt r 10 分 由于rst，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，矛盾 所以数列 n b中任意三项不可能成等差数列 12 分 19 （12 分） 【解】 （1）设事件 i A是“参赛
5、者甲回答第(1 2 3)i i，个问题” 所以 123123123 ()()()PP AA AP A A AP AA A 2 2 12 1 11 2 14 3 3 23 3 23 3 29 4 分 （2）的可能取值为2010 0 10 20 30， ， ， 5 分 123 1 (20)() 18 PP A A A， 123 1 (10)() 9 PP A A A， 123123 111 (0)()() 9186 PP A A AP A A A， 123123 211 (10)()() 993 PP AA AP A A A 123 1 (20)() 9 PP AA A， 123 2 (30)()
6、 9 PP AA A 9 分 所以的分布列为： 所以 11112 ( )( 20)( 10)10203010 189399 E 11 分 闯关成功的概率为 121 993 答：参赛者甲仅回答正确两个问题的概率为 4 9 ，的期望为 10，闯关成功的概率为 1 3 12 分 20 10 0 10 20 30 P 1 18 1 9 1 6 1 3 1 9 2 9 数学试卷 第 3 页（共 6 页） 20 （12 分） 【解】 （1）连结DM，由条件知，2DCMB，DCMB， 所以四边形DCBM是平行四边形， 所以2DMBC， 所以2ADDMAM， 即ADM是等边三角形， 因为N是AD的中点， 所以
7、MNAD 2 分 因为平面PAD 平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， MN平面ABCD，所以MN平面PAD 因为PD平面PAD，所以MNPD 因为PDNC，MNNC，平面ABCD，MNNCN， 所以PD 平面ABCD 4 分 （2）连结DB，由DBMN，所以DBAD，且2 3DB 由 112 2 2 3 323 D PABP DAB VVPD，得 3 3 PD 6 分 建立如图所示的空间直角坐标系，则 3 (0 0 0)(1 0 0)( 13 0)(13 0)(0 0) 3 DNCMP， ， ， ， ， 3 (1 0) 3 PN，( 23 0) NC， ，(03 0)NM， ， 设平
8、面PNC的一个法向量 1111 () xyz， ，n， 由 1 1 0 0 PN NC ， ， n n 得 11 11 3 0 3 230 xz xy ， ， 取 1 1x，则 11 2 3 3 3 yz，所以 1 2 3 (13) 3 ，n 8 分 设平面PNM的一个法向量 2222 () xyz， ，n， 由 2 2 0 0 PN NM ， ， n n 得 22 2 3 0 3 30 xz y ， ， 取 2 1x，则 22 03yz，所以 2 (1 03)，n 10 分 设二面角CPNM的大小为， 则 11 11 13 3 cos 2 4 3 2 3 nn nn ， 考虑到二面角CPNM
9、是锐二面角， 所以二面角CPNM的大小为30 12 分 B C D N M P A x y z 数学试卷 第 4 页（共 6 页） 21 （12 分） 【解】 （1）由函数 f(x)a+xlnx(aR)，得 f (x) 1 (ln2) 2 x x 2 分 令 f (x)0，得 xe-2列表如下： x (0，e-2) e-2 (e-2，+) f (x) 0 f(x) 极小值 因此，函数 f(x)的单调增区间为(e-2，+)，单调减区间为(0，e-2) 4 分 （2）由（1）可知，fmin(x)f(e-2)a2e-1 （i）当 a2e-1时，由 f(x)f(e-2)a2e-10，得函数 f(x)的
10、零点个数为 0 5 分 （ii）当 a2e-1时，因 f(x)在(e-2，+)上是单调增，在(0，e-2)上单调减， 故 x(0，e-2)(e-2，+)时，f(x)f(e-2)0 此时，函数 f(x)的零点个数为 1 6 分 （iii）当 a2e-1时，fmin(x)f(e-2)a2e-10 a0 时， 因为当 x(0，e-2时，f(x)axlnxa0， 所以，函数 f(x)在区间(0，e-2上无零点； 另一方面，因为 f(x)在e-2，+)单调递增，且 f(e-2)a2e-10， 又 e -2a (e-2，+)，且 f(e -2a )a(12e -a )0， 此时，函数 f(x)在(e-2，
11、+)上有且只有一个零点 所以，当 a0 时，函数 f(x)零点个数为 1 9 分 0a2e-1时， 因为 f(x)在e-2，+)上单调递增，且 f(1)a0，f(e-2)a2e-10， 所以，函数 f(x)在区间(e-2，+)有且只有 1 个零点； 另一方面，因为 f(x)在(0，e-2上是单调递减，且 f(e-2)a2e-10 又 4 e a (0，e-2)，且 f( 4 e a )a 2 4 eaa a 2 4 2 ( )a a 0， （当0 x 时， 2 exx成立） 此时，函数 f(x)在(0，e-2)上有且只有 1 个零点 数学试卷 第 5 页（共 6 页） 所以，当 0a2e-1时
12、，函数 f(x)零点个数为 2 综上所述，当 a2e-1时，f(x)的零点个数为 0；当 a2e-1，或 a0 时，f(x)的 零点个数为 1；当 0a2e-1时，f(x)的零点个数为 2 12 分 22 （12 分） 【解】 （1）依题意得 222 22 1 2 49 1 c e a abc ab ， ， ， 2 分 解得 a4，2 3b ，c2， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 1612 y x 4 分 （2） （解法一）设直线 PA 的方程为 y-3k（x-2） ， 因为直线 PA，PB 的倾斜角互补，则直线 PB 的方程为 y-3-k（x-2） 联立方程 22 3448 3(2)
13、xy yk x ， ， 消 y 得（34k2）x2-8k（2k-3）x4（4k2-12k-3）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 2 1 2 1624 2 34 kk x k ，即 2 1 2 8246 34 kk x k ， 所以 2 11 2 12129 (2)3 34 kk yk x k ， 6 分 同理得 2 2 2 8246 34 kk x k ， 2 2 2 12129 34 kk y k 8 分 设 M（x，y） ，则 2 12 2 86 234 xxk x k ， 2 12 2 129 234 yyk y k ， 所以 3 2 y x ，所以点 M 在直线 3
14、 2 yx 上， 10 分 所以当 PNOM 时，MNP 的面积为定值， 此时 PN 的直线方程为 3 3(2) 2 yx，即 3 6 2 yx 因为 2 2 1 1612 3 6 2 y x yx ， ， 消元得 x2-6x80，解得 x4 或 x2（舍去） 数学试卷 第 6 页（共 6 页） 所以椭圆 C 上存在不同于 P 的定点 N（4，0） ，使得MNP 的面积为定值12 分 （2） （解法二）设直线 PA，PB 的斜率为 k1，k2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 因为直线 PA，PB 的倾斜角互补，所以 k1k20 设直线 AB 的方程为 ykxb， 联立方程 22 34
15、48 xy ykxb ， ， 消元得（34k2）x28kbx4b2-480， 所以 12 2 8 34 kb xx k ， 2 12 2 448 34 b x x k ， 12 2 6 34 b yy k ， 所以 121221 1212 33(3)(2)(3)(2) 0 22(2)(2) yykxbxkxbx xxxx ， 6 分 即 2kx1x2（b-2k-3） （x1x2）-4（b-3）0， 所以 22 2 2 (448)(23)( 8)4(3)(34) 0 34 kbbkkbbk k ， 所以 4k2-8k32kb-b0，即（2k-1） （2k-3）b（2k-1）0， 即（2k-1） （2k-3b）0，所以 1 2 k 或 2k3-b（舍去） 8 分 直线 OM 的斜率 12 12 33 42 OM yy k xxk ， 所以点 M 在直线 3 2 yx 上， 10 分 所以当 PNOM 时，MNP 的面积为定值 此时 PN 的直线方程为 3 3(2) 2 yx，即 3 6 2 yx 因为 2 2 1 1612 3 6 2 y x yx ， ， 消元得 x2-6x80，解得 x4 或 x2（舍去） 所以椭圆 C 上存在不同于 P 的定点 N（4，0） ，使得MNP 的面积为定值12 分
