1、专题专题 11 椭圆椭圆 一、单选题一、单选题 1 （2019 浙江省高二期末）椭圆 2 2 1 4 x y的长轴长为（ ） A1 B2 C2 3 D4 2（2020 黑龙江省铁人中学高二月考 （文） ） 方程 22 1 42 xy mm 表示椭圆的必要不充分条件是 （ ） A 1,2m B4,2m C 4, 11,2m D1,+m 3 （2020 咸阳市教育教学研究室高三一模（文） ）椭圆 22 21xmy的一个焦点坐标为0,2，则实数 m（ ） A 2 3 B 2 5 C 2 3 D 2 5 4 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）已知 12 ,F F是椭圆 22 1 169 xy
2、 的两焦点,过点 2 F的直线交椭圆于 点 A、 B,若 5AB ,则 11 AFBF( ) A11 B10 C9 D16 5 （2020 安徽省高二期末（文） ）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 ，则该椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 6 （2020 天津市实验中学滨海学校高三一模）设椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是C上的点 212 PFFF， 12 30PFF，则C的离心率为（ ）
3、 A 6 6 B 1 3 C 1 2 D 3 3 7 （2020 北京高三月考）已知曲线 C 的方程为 22 1 xy ab ，则“a b”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （2020 安徽省六安一中高二开学考试（理） ）点P为椭圆 22 1 1615 xy 上任意一点，EF为圆 22 :(1)1Nxy的任意一条直径，则PE PF 的取值范围是（ ） A(8,24) B8,24 C5,21 D(5,21) 9 （2020 定远县育才学校高二月考 （文） ） 已知椭圆 22 1 259 xy 上
4、一点M到椭圆的一个焦点的距离等于 4， 那么点M到另一个焦点的距离等于（ ） A1 B3 C6 D10 10 （2020 安徽省高三三模（理） ）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 5 ，左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 过左焦点 1 F作直线与椭圆在第一象限交点为 P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则直线 1 PF的斜率为( ) A 4 2 7 B 7 2 8 C4 5 D 8 2 7 二、多选题二、多选题 11 （2020 海南省高三零模）已知 P 是椭圆 2 2 :1 6 x Cy上的动点，Q 是圆 22 ( 5 1 :1)Dxy上的动点， 则（ ） A
5、C 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 12 （2020 高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆， 如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千 米，并且FA B、 、三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 22 2a b c、 、，则（ ） AacmR BacnR C2amn D()()bmR nR 13 （2020 南京市秦淮中学高二期末） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 10 xy ab
6、 ab 上存在点P， 使得 12 3PFPF，其中 1 F、 2 F分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A 1 4 B 1 2 C3 5 6 D 3 4 三、填空题三、填空题 14 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）焦点在x轴，两准线间的距离为18 5 5 ，焦距为2 5的椭圆方 程为_. 15 （2019 浙江省高二期中） 若方程 22 1 21 xy mm 表示椭圆， 则实数m的取值范围是_； 当1m 时，椭圆的焦点坐标为_. 16 （2020 黑龙江省高三一模（理） ）已知椭圆C： 22 1 62 xy 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，如图AB是 过 1
7、 F且垂直于长轴的弦，则 2 ABF的内切圆方程是_. 17（2020 合肥一六八中学高三月考 （理） ） 已知两定点 1,0A 和10B ,， 动点,P x y在直线l：3yx=+ 上移动，椭圆C以A，B，为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_. 四、解答题四、解答题 18 （2019 肃宁县第一中学高二月考）求下列椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，离心率 3 5 e ，且经过点 5 3 , 2 2 A ； （2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点3,0P. 19 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理） ）椭圆的两个焦点的坐标分别为 F1（2，0）
8、，F2 （2，0） ，且椭圆经过点（ ， ） （1）求椭圆标准方程 （2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率 20 （2020 河北省深州市长江中学高二月考） 已知椭圆 C 的两焦点分别为 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为 6 求椭圆 C 的标准方程; 已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长 度 21 （2019 江苏省淮阴中学高三月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦点为 1 ,0Fc ， 2 ,0F c，点A为上顶点，直线 1 AF交椭圆于点B. （1）若 2a ，1c，求点B的坐标；
9、（2）若 22 AFBF，求椭圆的离心率. 22 （2020 萍乡市湘东中学高二期中（文） ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经 过点(4,1)M，直线: l yxm交椭圆于不同的两点 A，B （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围 23 （2020 江西省高三其他（理） ）已知椭圆 22 22 :10 xy ab ab 的焦距为2 6，短轴长为2 2. （1）求的方程； （2）若直线2yx与相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程. 专题专题 11 椭椭圆圆 一、单选题一、单选题 1 （2019 浙江省高二期末）椭圆 2 2 1 4 x y的长轴长为（
10、 ） A1 B2 C2 3 D4 【答案】D 【解析】 由 2 2 1 4 x y可得 2 4a ，即2a 所以长轴长为24a 故选：D 2（2020 黑龙江省铁人中学高二月考 （文） ） 方程 22 1 42 xy mm 表示椭圆的必要不充分条件是 （ ） A 1,2m B4,2m C 4, 11,2m D1,+m 【答案】B 【解析】 方程 22 1 42 xy mm 表示椭圆的充要分条件是 40 20 42 m m mm ， 解得：( 4m ， 1)( 1 ，2)， 所以( 4m ， 1)( 1 ，2)是正确选项的真子集， 对照四个选项，只有4,2符合. 故选：B. 3 （2020 咸阳
11、市教育教学研究室高三一模（文） ）椭圆 22 21xmy的一个焦点坐标为0,2，则实数 m（ ） A 2 3 B 2 5 C 2 3 D 2 5 【答案】D 【解析】 椭圆的标准方程为 22 1 11 2 xy m ，由于该椭圆的一个焦点坐标为0,2，则 11 2 2m ， 解得 2 5 m . 故选：D. 4 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）已知 12 ,F F是椭圆 22 1 169 xy 的两焦点,过点 2 F的直线交椭圆于 点 A、 B,若 5AB ,则 11 AFBF( ) A11 B10 C9 D16 【答案】A 【解析】 如图， 由椭圆 22 1 169 xy 可得：
12、 2 16a ，则4a 又 11 416AFBFABa 且5AB 则 11 11AFBF 故选A 5 （2020 安徽省高二期末（文） ）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 ，则该椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 【答案】C 【解析】 设椭圆C标准方程为： 22 22 10 yx ab ab . 短轴长为2，22b，解得：1b. 离心率 2 5 5 c e a ，又 2222 1abcc ， 2 5a， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 5 y
13、 x. 故选：C. 6 （2020 天津市实验中学滨海学校高三一模）设椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是C上的点 212 PFFF， 12 30PFF，则C的离心率为（ ） A 6 6 B 1 3 C 1 2 D 3 3 【答案】D 【解析】 设 2 PFx， 212 PFFF， 12 30PFF， 1 2PFx， 12 3FFx， 又 12 2PFPFa， 12 2FFc 23ax，23cx， C的离心率为： 23 23 c e a . 故选：D. 7 （2020 北京高三月考）已知曲线 C 的方程为 22 1 xy ab ，则“a b”
14、是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若0ab，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则满足0ab ， 即0a，0b ，满足ab，即必要性成立， 即“ab”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 8 （2020 安徽省六安一中高二开学考试（理） ）点P为椭圆 22 1 1615 xy 上任意一点，EF为圆 22 :(1)1Nxy的任意一条直径，则PE PF 的取值范围是（ ） A(8,24) B8,
15、24 C5,21 D(5,21) 【答案】B 【解析】 由题意， 22 PE PFPNNEPNNFPNNEPNNEPNNE 又EF为圆 22 :(1)1Nxy的任意一条直径，则1NE ， 在椭圆 22 1 1615 xy 中，有a cPNac，即35PN， 所以， 2 8124PN ，故 2 1PE PFPN的取值范围为8,24. 故选：B. 9 （2020 定远县育才学校高二月考 （文） ） 已知椭圆 22 1 259 xy 上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于 4， 那么点M到另一个焦点的距离等于（ ） A1 B3 C6 D10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得,- =25，2a=10，由
16、椭圆的定义可得点 M 到另一焦点的距离等于 6，故选 C. 10 （2020 安徽省高三三模（理） ）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 5 ，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过左焦点 1 F作直线与椭圆在第一象限交点为 P， 若 12 PFF为等腰三角形， 则直线 1 PF的斜率为( ) A 4 2 7 B 7 2 8 C4 5 D 8 2 7 【答案】A 【解析】 因为点P在第一象限，所以 12 | |PFPF， 因为 3 5 c e a ，所以 5 3 ac， 当 112 | | 2PFFFc时， 2 4 | 22 3 PFacc满足 12 | |PFPF，
17、 222 1122 12 112 | cos 2| | PFFFPF PFF PFFF 222 2 16 44 7 9 89 ccc c ， 所以 12 494 2 sin1 819 PFF， 所以 12 12 12 4 2 sin4 2 9 tan 7 cos7 9 PFF PFF PFF ， 所以直线 1 PF的斜率为 4 2 7 ， 当 212 | | 2PFFFc 时， 122 4 | 2| 22| 3 PFaPFaccPF，不符合题意. 综上所以直线 1 PF的斜率为 4 2 7 . 故选：A 二、多选题二、多选题 11 （2020 海南省高三零模）已知 P 是椭圆 2 2 :1 6
18、 x Cy上的动点，Q 是圆 22 ( 5 1 :1)Dxy上的动点， 则（ ） AC 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 【答案】BC 【解析】 依题意可得6 15c ，则 C 的焦距为2 5， 530 66 e . 设( , )(66)P x yx， 则 2 2 2222 56441 |(1)(1)1 665555 x PDxyxx ， 所以圆 D 在 C 的内部，且|PQ的最小值为 415 555 . 故选：BC. 12 （2020 高密市第一中学高三月考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆， 如图所示，
19、已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千 米，并且FA B、 、三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 2 2 2a b c、 、，则（ ） AacmR BacnR C2amn D()()bmR nR 【答案】ABD 【解析】 因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 macR nacR ， （*） a cmR ，故 A 正确； acnR ，故 B 正确； （*）两式相加22m naR，可得22am nR ，故 C 不正确； 由（*）可得 mRac nRac ，两式相乘可得 22 mRnRac 222 a
20、cb ， 2 bmRnRbmRnR ， 故 D 正确. 故选：ABD 13 （2020 南京市秦淮中学高二期末） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 22 22 10 xy ab ab 上存在点P， 使得 12 3PFPF，其中 1 F、 2 F分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ） A 1 4 B 1 2 C3 5 6 D 3 4 【答案】BD 【解析】 设椭圆的焦距为20c c ，由椭圆的定义可得 12 12 3 2 PFPF PFPFa ，解得 1 3 2 a PF ， 2 2 a PF ， 由题意可得 2 3 2 a ac a ac ，解得 1 2 c a ，又01 c a
21、 ，所以， 1 1 2 c a ， 所以，该椭圆离心率的取值范围是 1 ,1 2 . 故符合条件的选项为 BD. 故选：BD. 三、填空题三、填空题 14 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）焦点在x轴，两准线间的距离为18 5 5 ，焦距为2 5的椭圆方 程为_. 【答案】 22 1 94 xy 【解析】 设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ，依题意 2 222 18 5 2 5 22 5 a c c abc ， 解得3,2,5abc. 所以椭圆方程为 22 1 94 xy . 故答案为： 22 1 94 xy 15 （2019 浙江省高二期中） 若方程 22 1 21
22、 xy mm 表示椭圆， 则实数m的取值范围是_； 当1m 时，椭圆的焦点坐标为_. 【答案】 11 ( 2,)(,1) 22 ； ( 0 ,1) , ( 0 , 1). 【解析】 根据椭圆的方程特征，方程 22 1 21 xy mm 表示椭圆，则 20 10 21 m m mm 解得： 11 ( 2,)(,1) 22 m ； 1m时，椭圆的方程 2 2 1 2 y x ，焦点在y轴，其坐标分别为(0, 1),(0,1) 故答案为： 11 ( 2,)(,1) 22 m ；(0, 1),(0,1) 16 （2020 黑龙江省高三一模（理） ）已知椭圆C： 22 1 62 xy 的左、右焦点分别为
23、 1 F， 2 F，如图AB是 过 1 F且垂直于长轴的弦，则 2 ABF的内切圆方程是_. 【答案】 2 2 44 39 xy 【解析】 由已知， 6 ( 2,) 3 A ， 6 ( 2,) 3 B ， 2(2,0) F，设内切圆的圆心为( ,0)(2)tt ，半径为r，则 2 1222 111 ()4 222 ABF SABFFABAFBFrar ，故有 2 6 44 6 3 r， 解得 2 3 r ，由 2 |( 2)| 3 t ， 4 3 t 或 8 3 t （舍） ，所以 2 ABF的内切圆方程为 2 2 44 39 xy . 故答案为： 2 2 44 39 xy . 17（2020
24、 合肥一六八中学高三月考 （理） ） 已知两定点 1,0A 和10B ,， 动点,P x y在直线l： 3yx=+ 上移动，椭圆C以A，B，为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_. 【答案】 5 5 【解析】 由题意得，22cAB，所以1c，2aPAPB 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值， 设点1,0A 关于直线l：3yx=+的对称点为 ( , ) A x y， 则 1 1 1 3 22 y x yx ，解得 3 2 x y ， 所以 ( 3,2) A ， 则 PAPBPAPBAB，所以 22 5aAB， 所以当5a 时，椭圆的离心率最大， 此时， 15 55 c a 故答案为：
25、 5 5 四、解答题四、解答题 18 （2019 肃宁县第一中学高二月考）求下列椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，离心率 3 5 e ，且经过点 5 3 , 2 2 A ； （2）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点3,0P. 【答案】 （1） 22 1 2516 xy ； （2） 2 2 1 9 x y或 22 1 819 yx . 【解析】 （1）因为焦点在x轴上，即设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 椭圆经过点 5 3 , 2 2 A ， 22 754 1 4ab .， 由已知 22222 3333 ,() 5555 c ecabacaa a
26、 ，即 22 16 25 ba.， 把代入，得 22 754 25 1 416aa ，解得 22 25,16ab， 椭圆的标准方程为 22 1 2516 xy . （2）若焦点在x轴上，设方程为 22 22 10 . xy ab ab 因为椭圆过点3,0P,所以 22 22 30 1 ab ，又23 2ab ， 3,1ab 椭圆的标准方程为 2 2 1 9 x y， 若焦点在y轴上，设方程为 22 22 10 . yx ab ab 因为椭圆过点3,0P，,所以 22 22 03 1 ab ，又 23 2ab ， 9,3ab 椭圆的方程为 22 1 819 yx 综上，所求的椭圆方程是 2 2
27、1 9 x y或 22 1 819 yx 19 （2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理） ）椭圆的两个焦点的坐标分别为 F1（2，0） ，F2 （2，0） ，且椭圆经过点（ ， ） （1）求椭圆标准方程 （2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率 【答案】 （1）椭圆的标准方程为：+=1， （2）椭圆的长轴长：2，短轴长 2，离心率 e= 【解析】 （1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0） ， 则 2a= +=2， 即 a=， 又c=2， b2=a2c2=6， 故椭圆的标准方程为：+=1， （2）由（1）得： 椭圆的长轴长：2， 短轴长 2， 离心率 e= 20 （2020 河北省深州市长
28、江中学高二月考） 已知椭圆 C 的两焦点分别为 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为 6 求椭圆 C 的标准方程; 已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长 度 【答案】 （1） 22 1 91 xy ； （2） 6 3 5 【解析】 由 12 2 2,02 2,0FF、，长轴长为 6 得：2 2,3ca所以1b 椭圆方程为 22 1 91 xy 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,由可知椭圆方程为 22 1 91 xy , 直线 AB 的方程为2yx 把代入得化简并整理得 2 1036270 xx 所以 1212 1827
29、 , 510 xxx x 又 2 2 2 18276 3 (1 1 )(4) 5105 AB 21 （2019 江苏省淮阴中学高三月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦点为 1 ,0Fc ， 2 ,0F c，点A为上顶点，直线 1 AF交椭圆于点B. （1）若 2a ，1c，求点B的坐标； （2）若 22 AFBF，求椭圆的离心率. 【答案】 （1） 41 (,) 33 ； （2） 5 5 . 【解析】 （1）因为 2a ，1c，所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y，直线:1AB yx， 2 2 2 1 340 2 1 x y xx yx
30、，所以0 x或 4 3 x ， 所以点B的坐标为 41 (,) 33 . （2）设 1 BFx，则 2 2BFax， 因为点A为上顶点，所以 12 AFAFa， 因为 22 AFBF，所以 222 (2)()aaxax，所以 2 3 a x . 在三角形 2 BAF中， 2 2 3 cos 5 AF BAF AB , 在三角形 12 AFF中， 2 22 22 2 12 2 224 cos1 2 22 aacac F AFe a aa , 所以 2 3 12 5 e，即 5 5 e . 22 （2020 萍乡市湘东中学高二期中（文） ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且
31、经 过点(4,1)M，直线: l yxm交椭圆于不同的两点 A，B （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围 【答案】 （1） 22 1 205 xy ； （2）55m 【解析】 （1）由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，得 3 2 c e a ， 即 222 22 3 4 cab aa ，a24b2，依题意设椭圆方程为： 22 22 1 4 xy bb ， 把点（4，1）代入得 b25，椭圆方程为 22 1 205 xy ； （2）因为直线: l yxm交椭圆于不同的两点 A，B. 联立 22 1 205 yxm xy ，得 5x2+8mx+4m2200 由64m220（
32、4m220）40016m20，解得5m5 m 的取值范围是（5，5） 23 （2020 江西省高三其他（理） ）已知椭圆 22 22 :10 xy ab ab 的焦距为2 6，短轴长为2 2. （1）求的方程； （2）若直线 2yx 与相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的标准方程. 【答案】 （1） 22 1 82 xy ； （2） 22 8248 5525 xy . 【解析】 （1）设椭圆的焦距为20c c ，则2 2 6c ，2 2 2b ， 所以 6c ， 2b ， 222 8abc，所以的方程为 22 1 82 xy ； （2）设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，联立 22 2 1 82 yx xy ，消去y，得 2 51680 xx . 由韦达定理得 12 16 5 xx ， 12 8 5 x x ， 所以 12 8 25 xx ，线段AB的中点坐标为 8 2 , 5 5 . 2 2 22 121212 1688 3 1 11 1424 555 ABxxxxx x ， 所以，所求圆的标准方程为 22 8248 5525 xy .
