1、第十四讲 公式与通项归纳 通项简单的说就是一个数列的规律， 通过题目中的数据与等差数列， 等比数列的通项公 式之间的联系，推导出新数列的规律。 通项归纳法需要借助于代数，将算式化简，将“形似”的复杂算式及数列，用字母表示 后化简为常见的一般形式。 1.能用数列的通项公式解题。 2.用代数的形式表示数，并通过化简代数式来化简算式。 例例 1：12481632641282565121024_ 。 分析：方法一：令12481024a ，则2248 1610242048a ，两式 相减，得2048 12047a 。 方法二：找规律计算得到10242 1=2047 答案：2047 例例 2：在一列数：在
2、一列数： 1 3 5 7 9 3 5 7 9 11 ， ，中，从哪一个数开始，中，从哪一个数开始，1 与每个数之差都小于与每个数之差都小于 1 1000 ？ 分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大 2，分子为奇数列，要 1 21 21 n n 1 1000 ， 解出 n999.5，从 n1000 开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 答案： 1999 2001 例例 3：计算：计算： 111 1 12123122007 分析：先找通项公式 1211 2() 12(1)1 n a nnnnn 原式 111 1 2(21)3 (3 1)2007(20071) 222 2222 1 22
3、33 420072008 2007 2 2008 2007 1004 答案： 2007 1004 例例 4： 2244668 810 10 1 33 557799 11 分析： （法 1） ：可先找通项 2 22 11 11 11(1)(1) n n a nnnn 原式 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 1 33 557799 11 1155 5(1)55 2111111 （法 2） ：原式 288181832325050 (2)()()()() 3355779911 61014185065 21045 3579111111 答案： 5 511 例例 5 5：计算：计算： 222 2
4、22 1299 11005000220050009999005000 分析：本题的通项公式为 2 2 1005000 n nn ，没办法进行裂项之类的处理注意到分母 2 100500050001005000100100100nnnnnn ，可以看出如果把n换 成100n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一 个 2 2 50 5050005000 将项数和为 100 的两项相加，得 22 2 22 2222 100100220010000 2 100500010050001005000 100100 1005000 nnnnnn nnnnnn nn ， 所以原式
5、249199 （或者， 可得原式中 99 项的平均数为 1， 所以原式1 9999 ） 答案：99 例例 6：计算：计算： 222222222 35721 1121231210 分析：通项归纳， 222 2121111 1212111 nn nnnnnnnn 原式 111111 12231011 110 1 1111 答案：10 11 A A 1. 计算： 1111 33535735721 分析：先找通项： 111 1 35212 213 2 n a nn n nn 原式 111111 1 3243 5469 1110 12 111111 1 33 59 11244610 12 111111
6、21112212 175 264 答案： 175 264 2.2.计算：计算： 111111 224246246824681024681012 分析：先通项归纳： 111 1 2421 22 2 n a nn n nn ， 原式 111111 1 22334455667 1111111116 1 1223346777 答案： 6 7 3. 111 319992 111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 223231999 分析： 11 211 11 2() 1112 (1)(2)12 (1)(1)(1) 2312 nn n nnnn n 原式 11111111 ()()()()2 233
7、44519992000 答案： 999 1000 4. 222 111 111 2131991 分析： 22 22 1(1)(1) 1 (1)1(1)1(2) n nn a nnnn 原式 223 398 9899 99 (21)(21)(3 1)(3 1)(981)(98 1)(991)(991) 223 3445 598 98999929949 1 3 1425 364999710098110050 答案： 49 1 50 5.5.计算：计算： 222 222 2399 2131991 分析：通项公式： 22 11 1 11 12 n nn a nnn n ， 原式 223 34498 9
8、899 99 (21)(21)(3 1)(3 1)(41)(41)(981)(98 1)(991)(991) 223 3445598 989999 3 1425364999710098 22334498989999 132435979998100 29999 110050 答案： 99 50 B B 6. 12123123412350 2232342350 分析：找通项 (1) (1) 2 (1) (1)2 1 2 n nn nn a nn nn 原式 2334455623344556 41018281 4253647 ， 通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所
9、以有 原式 23344556484949505051 1 4253 647475048 514952 35023 2 15226 答案： 23 2 26 1000 999 1000 1 1 7.7.计算：计算： 1111 1 21 2231 223341 223349 10 分析：由于 1 1 223112 3 nnn nn ，则 13 1 223112nnn nn ， 原式 3333 1 232343459 10 11 3111111 21 22 32 33 49 1010 11 31181 22110110 答案： 81 110 8.8.计算：计算： 22222222 1223200420
10、0520052006 1 22 32004 20052005 2006 分析： （法 1） ：可先来分析一下它的通项情况， 2222 (1)(1)1 (1)(1)(1)1 n nnnnnn a nnnnnnnn 原式= 213243542005200420062005 ()()()()()() 122334452004200520052006 20052005 200524010 20062006 （法 2） ： 222 22 (1)22111 22 (1)(1) n nnnn a nnnnnnnn 答案： 2005 4010 2006 9. 12389 (1)(2)(3)(8)(9) 234
11、910 分析：通项为： 2 (1) 111 n nn nnn an nnn ， 原式 22222 123489 3 4 6 7 8 936288 2345910 答案：36288 10.10. 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226 分析： 222 22333 (1)(21) 12221211 6 () (1)123(1)31 4 n nnn nn a nnnnnnn 原式= 211111111 ()()()() 31223342627 = 2152 (1) 32781 答案： 52 81 C C 11. 222222
12、 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 分析：虽然很容易看出 32 1 3 1 2 1 ， 54 1 5 1 4 1 可是再仔细一看，并没有什么效 果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让 我们想到公式 2222 1 123.(1) (21) 6 nnnn ， 于是我们又有 ) 12() 1( 6 321 1 2222 nnnn 减号前面括号里的式子有 10 项， 减号后面括号里的式子也恰好有 10 项， 是不是 “一 个对一个”呢？ 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 2
13、11110 1 532 1 321 1 6 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 564 1 342 1 24 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 2120 1 564 1 54 1 342 1 32 1 24 2220 1 64 1 42 1 24 1110 1 32 1 21 1 6 11 1 16 11 60 答案： 60 11 12.12.计算：计算： 2222 2222 2461998 31517119991 分析：通项归纳： 2 2 222 2221 211 nnnn nnn n 原式= 1239991 23410001000 答案： 1
14、1000 13.13.计算：计算： 222222222 1232348910 3353517 分析：原式 222222222 222 1232348910 213191 通项归纳， 22 2 2 222 11325511 33 111211 nnnn nnnnn 原式 5111 3 81 22910 292 2427 99 答案： 2 27 9 14.计算： 2 3 2 3 2 3 3 （共2010条分数线） 分析： 3 2 2721 3 3321 4 3 261521 33 2 7721 3 3 5 4 2143121 33 2 151521 3 2 3 3 2 1 221 3 2 21 3
15、 2 3 3 n n ，所以2010条分数线的话，答案应该为 2012 2011 21 21 答案： 2012 2011 21 21 1.下面的算式是按一定规律排列的,那么第 100 个算式的得数是多少? 4+3,5+6,6+9,7+12, 解答： 仔细观察可知: 每个算式的第一个加数组成一个公差为 1 的等差数列:4,5,6,7,; 每个算式的第二个加数组成一个公差为 3 的等差数列:3,6,9,12,; 若要求第 100 个算式的得数,只要分别算出每个等差数列的第 100 项即可. 根据通项: dnaan) 1( 1 . 第一个加数为:4+(100-1)1=4+99=103; 第二个加数为
16、:3+(100-1)3=3+993=3100=300. 所以第 100 个算式的得数为:103+300=403. 2. 若干人围成 8 圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少 4 人.如果共有 304 人,最外圈有几人? 解答： 最外圈人数有: 1 a+(8-1)4=( 1 a+28)人. 所以共有人数可表示为: ( 11 aa +28)82=304 1 2a+28=76 1 2a=48 1 a=24 最外圈有: 24+28=52(人). 3. 在 1100 这一百个自然数中所有不能被 11 整除的奇数的和是多少? 解答： (1+3+5+7+97+99)-(11+22+33+44+55+66+
17、77+88+99) =(1+99)502-(11+99)4+55 =2500-495 =2005. 4. 在 2949,2950,2951,2997,2998 这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇 数之和多多少? 解答： 根据题意可列出算式: (2950+2952+2998)-(2949+2951+2997) 注意到这两个等差数列的项数相等,公差相同,且对应项差为1,所以 25 项就差 25 个 1, 即 原式=(2950-2949)+(2952-2951)+(2998-2997) =1+1+1+1 =25. 25 个 5. 求一切除以 4 后余 1 的两位数的和? 解答： 除以 4 后余
18、1 的最小两位数是多少? 12+1=13. 除以 4 后余 1 的最大两位数是多少? 96+1=97. 除以 4 后余 1 的两位数一共有多少个? 964-2=22(个). 它们的和是: 13+17+21+97 =(13+97)222 =1210. 1.在 1000 到 2000 之间，所有个位数字是 7 的自然数之和是多少？ 解答： 首先写出符合条件数列，在求值。 数列为：1007,1017,1027.1997 和为 (1007+1997)1002=150200 2.在 1100 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？ 解答： 我们先计算 1100 得自然数和，再减去能被 9
19、 整除的自然数和，就是所有不能被 9 整除的 自然数和了 1+2+100(1+100)1002=5050 9+18+27+99(9+99)112=594 所有不能被 9 整除的自然数和：5050-594=4456 3.在 1100 这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的奇数的和是多少？ 解答： 先计算 1100 的奇数和，再减去能被 9 整除的奇数和。 1+3+99-(9+27+45+99)(1+99)502(9+99)62=2176 4.在 1200 这二百个自然数中，所有能被 4 整除或能被 11 整除的数的和是多 少？ 解答： 先求出能被 4 整除的自然数和，再求出能被 11 整除的自
20、然数和，将二者相加，但是此时得 到的不是题目需要的和，因为 44、88 等数在两个数列中都存在，也就是说能被 44 整除的数 列被计算了两次，所以我们还应改减去能被 44 整除的数列和。 (4+8+12+ +200)+(11+22+33+ +198)-(44+88+132+176)=(4+200) 50 2+(11+198)182-(44+176)426541 5.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，从第三个数起，每一 个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第 1993 个数这 1993 个数之和。 解答： 经过观察可以发现，这是由两个数列组成的数列，
21、一个是全 1，另一个是公差为 1，首 项为 1993 的等差数列， 把 1,1993,1992 这样三个数算为一组， 整个数列到第 1993 个的时候 应该有 19933664 组，最后一个数是 1，所以总共有 665 个 1，等差数列有 6642 项， 最后四个数是 1,667,666,1 分为两个数列求和： (1993+666)13282+16651766241 6.求所有加 6 以后能被 11 整除的三位数的和。 解答： 我们可以先求能被 11 整除的三位数和，然后再减去 项数6，同时还要求这些三位数 减去 6 后仍然是三位数。 110-6+121-6+990-6+1001-6=(110
22、+1001)922-69250554 7.利用公式6) 12() 1(2211nnnnn，计算： 212116161515 解答： 公式是一个从 1 到 n2的和，而要求计算的是 152到 212的和，我们可以通过适当的变换，将 要求的算式变成能套用公式的形式。 212116161515 =)14142211 (21212211 =61142114146121212121）（）（）（）（ =2296 8.求和109433221 解答： 这类题我们可以用裂项的办法来求解。我们知道： )1() 1()2() 1( 3 1 ) 1(nnnnnnnn 将题目中每项都按照上面的公式拆分，就可以很方便的计算出结果。 109433221 )109811109321432210321 ( 3 1 )111091098432321321210( 3 1 11109 3 1 330 9.计算： 87654321876543217 6543216543215 43214321321211 解答： 上面序列的通项公式为! nn，我们可以这样来裂项：!)!1(!nnnn 87654321876543217 6543216543215 43214321321211 ! 8! 9! 7! 8! 6! 7! 5! 6! 4! 5! 3! 4! 2! 3! 1! 2 1! 9 362879
