1、数学试卷 第 1 页 共 4 页 一. 单项选择题（每小题 5 分，共 8 小题，合计 40 分） 1已知集合 2 13A, ,a ，1B,a2，若ABB，则实数a的取值为（ ） A1 B-1 或 2 C2 D-1 或 1 2下列命题为真命题的是（ ） A若0ab，则 11 ab B若0ab，则 22 acbc C若0cab，则 ab cacb D若0abc，则 aac bbc 3明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三 项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法比如，若已知 黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=
2、大吕黄钟 太簇， 2 3 =大吕黄钟夹钟， 2 3 =太簇黄钟夹钟据此，可得正项等比数列 n a 中， k a （ ） A 1 1 n k n k n aa B 1 1 n k n k n a a C 1 1 1 n kk n n aa D 1 1 1 kn k n n aa 4已知 M 是ABC 内的一点，且4 3AB AC，30BAC，若MBC, MCA 和MAB 的 面积分别为1 x y， ， ，则 19 xy 的最小值是（ ） A12 B14 C16 D18 5在ABC 中，满足 222 sin 2sin 2sin 2ABC，则下列说法中错误的是（ ） AC可能为 4 BC可能为 2
3、CC可能为 3 4 D ABC 可能为等腰Rt 6已知复数 1 z和 2 z满足 11 8 14546zizi ， 12 3zz，则 2 z的取值范围为（ ） 重庆强基联合体高三（下）质量检测 数 学 试 题 2021 年 3 月 考生注意： 1. 本试卷满分：150 分，考试时长：150 分钟，试卷页数：6 页。 2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区作答，超出答题区域书写的答案无效， 在试题卷、草稿纸上答题无效 。 3. 做选择题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 4. 本试卷分：一. 单项选择题（40 分） ；二. 多项
4、选择题（20 分） ；三. 填空题（20 分） ； 四. 解答题（70 分） 。 5 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填涂在答题卡指定的位置。 数学试卷 第 2 页 共 4 页 A0,13 B 3,9 C0,10 D3,13 7俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升 机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的。1992年，为了远程性和安全性上与 美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 A340，是一种有四台发动机的远程双过道 宽体客机，取代只有两台发动机的 A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-p，且 各引
5、擎是否有故障是独立的，已知 A340 飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； A310 飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安 全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ） A 2 ,1 3 B 1 ,1 3 C 2 0, 3 D 1 0, 3 8 已知在R上的函数 f x满足如下条件： 函数 f x的图象关于y轴对称； 对于任意Rx， 220fxfx； 当0,2x时， f xx； 函数 1 2n n fxfx ， * nN，若 过点1,0的直线l与函数 4 fx 的图象在0,2x上恰有 8 个交点，在直线l斜率k的取值范 围是（ ）
6、 A 8 0,11 B 11 0, 8 C 8 0, 19 D 19 0, 8 二多项选择题（每小题 5 分，共 4 小题，合计 20 分；其中选不全得 2 分，错选或不选得 0 分） 9关于双曲线 22 :1 45 xy C-=，下列说法正确的是（ ） A该双曲线与双曲线 22 1 54 yx 有相同的渐近线 B过点 3,0F作直线l与双曲线C交于AB、两点，若| 5AB ，则满足条件的直线只有一条 C若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率 55 , 22 k D过点 1,2P 能作 4 条直线与双曲线C仅有一个交点 10若 2 2 012 1+ 1+ 1 n n n xxxa
7、a xa xa xLL，且 121 125 n aaan ，则下列 结论正确的是（ ） A6n B12 n x展开式中二项式系数和为729 C 2 1+ 1+ 1 n xxxL展开式中所有项系数和为126 数学试卷 第 3 页 共 4 页 D 123 23321 n aaana 11当 5 2 0, 2 x 时，函数sinyx与cosyx 0,| 2 的图象恰有三个交点 PMN、 、，且PMN 是直角三角形，则（ ） APMN 的面积1S B 2 2 C两函数的图象必在 13 4 x 处有交点 D , 4 4 12对于定义在R上的函数 f x，若存在正实数a，b，使得 f xaf xb对一切x
8、R均 成立，则称 f x是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ） A x f xe B f xx C 2 sinf xx D sinf xxx 三填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13已知 ABC 的顶点坐标分别为 (3,4),(6,0),( 5, 2)ABC ，则内角A的角平分线所在直线方程为 _. 14设随机变量 2 ,N ，函数 2 2f xxx没有零点的概率是0.5，则 01P_. 附：若 2 ,N ，则0.6826PX ，220.9544PX. 15如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆 构成， 直径分别为直角三角形ABC的斜边AB、
9、 直角边BC、AC，N 为AC的中点， 点D在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC，BC 为直径的两个半圆的面积之比为 3， ，则 cosDNC_ 16矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD 沿对角线AC向上翻折，得到四面体D ABC， 则该四面体外接球的体积为_；设二面角DACB的平面角为，当在 , 3 2 内 变化时，BD的范围为_.（第一空 3 分，第二空 2 分） 四解答题（共 6 小题，合计 70 分） 17 （本题 10 分） 对任意1n ， * nN满足 11 2(1) nnn SSS ； 1 2 nnn SSa ( * nN)； 1 (1) nn Snan n （ * n
10、N）.这三个条件中任选一个，补充 3 cos 5 DAB 数学试卷 第 4 页 共 4 页 在下面问题中.问题:已知数列 n a的前 n 项和为 2 ,4, n Sa _，若数列 n a是等差数 列，求出数列 n a的通项公式；若数列 n a不是等差数列，说明理由. 18 （本题 12 分）某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线 是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 1 3 . （1）求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； （2）为提高生产效益，该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修。已知每 名维修工人每月只有及时维修
11、1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外，统计表明， 每月在不出故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条 生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每 月实际获利的期望值为决策依据，在1n 与2n之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生 产线创造利润-维修工人工资） 19（本题12 分） 在多面体ABCDE中， 平面ACDE 平面ABC， 四边形 ACDE为直角梯形，/CDAE， ACAE，ABBC，1CD，2AEAC，F为DE的中点，且点E满 足 4EBEG . （1）证明：/ /GF平面ABC. （2）
12、当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角ABED的余弦值. 20 （本题 12 分）在ABC 中，ABC且 tanA，tanB，tanC均为整数. （1）求A的大小； （2）设AC的中点为D，求 BC BD 的值. 21 （本题 12 分）已知在平面直角坐标系中，圆 A： 22 2 7570 xyx的圆心为 A，过点 ( 7,0)B任作直线 l 交圆 A 于点 C、D，过点 B 作与 AD 平行的直线交 AC 于点 E. （1）求动点E的轨迹方程； （2）设动点 E 的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于 MN、两点（异于点P） ，若 12 6kk，证明：
13、直线MN过定点. 22.（本题 12 分）已知函数 2 3 3 x e f x ax 的定义域为R. （1）当a取得最小值时，记函数 f x在xa 处的切线方程为 ( )yg x .若 f xg x恒成立且 12 12 133 42 f xf xe xxa 数学试卷 第 5 页 共 4 页 aZ，求a的最大值； （2）若 f x有两个极值点 1 x和 2 x，求证： 1 解： 因为ABB所以BA， 当23a 时，1a ，131A, ,， 不满足元素互异性， 不成立； 当 2 2aa 时，1a或2a，1a时，131A, ,，不满足元素互异性，不成立；2a时，134A, ,， 14B,， 满足条件
14、，所以2a，故选：C 2解：对于 A 选项，当2, 1ab 时，不等式不成立，故是假命题；对于 B 选项，当 0c =时，不满足，故 为假命题；对于 C 选项，当3,2,1cab时， 21 322 ab cacb ，不满足，故为假命题.对于 D 选项， 由于0abc，所以 0 a bcb acab caacacbc bbcb bcb bcb bc ，即 aac bbc .故选：D. 3.解：因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第 2、第 3 项均可由首项和末项表示，所 以正项等比数列 n a中的 k a可由首项 1 a和末项 n a表示，因为 1 1 n n aa q ，所
15、以1 1 = n n a q a ，所以 1 1 1 1 = k n n k a aa a 1 1 1 1 = k n n a a a 1 11 1 = n kk nn n aa 1 1 1 = n kk n n aa .故选：C. 4解：由4 3AB AC，30BAC ，可得8ABAC，故 1 sin2 2 ABC SABACBAC，即 12xy ，1xy，且0,0 xy， 故 191999 () ()1021016 yxyx xy xyxyxyxy ，当且仅当 9yx xy ，即 3yx 时取等，故选 C 5解：若 4 C =，取, 24 AB ，此时三个内角满足 222 sin 2sin
16、 20 11sin 2ABC ，故 A 正确且 D 正确.若 2 C ，则 22 sin 2sin 20AB，故sin2sin20AB，故 2 ,20,2AB，故22AB， 所以 2 AB ，与内角和为矛盾，故 B 错误.若 3 4 C ， 取 8 AB ，则22 2 AB ， 此时三个内角满足 222 11 sin 2sin 21sin 2 22 ABC ，故 C 正确.故选：B. 6.解：设 1 , ,zxyi x yR，则 11 8 14546zizi 表示点( , )x y到点(8,14)的距离是到点(4,6)距离 的5倍.则 2222 (8)(14)5 (4)(6)xyxy，化简得：
17、 22 (3)(4)25xy， 即复数 1 z在复平面对应得点为以(3,4)为圆心，5 为半径的圆上的点. 数学试卷 第 6 页 共 4 页 设 2 ,zmni m nR，因为 12 3zz，所以点( , )x y和点( , )m n距离为 3， 所以复数 2 z在复平面对应得点为以(3,4)为圆心，2 为半径的圆上的点或以(3,4)为圆心，8 为半径的圆上的点， 2 z表示点( , )m n和原点(0,0)的距离，由图可知 2 z的最小为 3，最大为103 13 .故选 D 7.解：由题意，飞机引擎正常运行的概率为p，则310A飞机能成功飞行的概率为 222 2 C pp， 340A飞机能成
18、功飞行的概率为 334443 44 134C ppC ppp，令 432 34ppp即 2 341pp，解 得 1 1 3 p.所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 2 0, 3 .故选：C. 8解：因为函数 f x是偶函数，由 220fxfx得222fxfxf x， 即 4f xf x，所以函数 f x是周期为4的周期函数；若2,0 x ，则0,2x； 因为当0,2x时， f xx，所以0,2x 时，fxx，因为函数 f x是偶函数，所以 fxxf x ，即 f xx，2,0 x ，则函数 f x在一个周期2 2 ,上的表达式为 ,02 , 20 xx f x xx ，因为 1 2n n fx
19、fx ， * nN，所以函数 4 8fxfx ， * nN， 故 4 fx 的周期为 1 2 ，其图象可由 f x的图象压缩为原来的 1 8 得到，作出 4 fx 的图象如图： 易知过1,0M 的直线l斜率存在，设过点1,0的直线l的方程为1yk x， 则要使直线l与 4 fx 的图象在0,2x上恰有 8 个交点，则0 MA kk，因为 7 ,2 4 A ，所以 208 7 11 1 4 MA k ，故 8 0 11 k.故选：A. 9解：双曲线 22 :1 45 xy C-=的渐近线方程可表示为为 22 0 45 xy ，双曲线 22 1 54 yx 的渐近线方程可表示 数学试卷 第 7 页
20、 共 4 页 为 22 0 54 yx ，整理后都是 5 2 yx ，故 A 正确； 由于双曲线的实轴长为24a,过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是4, 存在关于x对称的两种情况，使其弦长为 5，另外当直线垂直于 x 轴时，经计算可得弦长正好是 5，故满足条件 的直线有三条，如图所示：故 B 错误； 由于双曲线的渐近线的斜率为 5 2 ，焦点在 x 轴上，若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的 斜率 55 , 22 k ，如图所示：故 C 正确；由于1,2P点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：故过 能作 4 条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线
21、平行，另外两条与双曲线相切.故选：ACD. 10解：对于 A，令1x ，可得 0 23 121 2222 nn n aaaaa ，即 0121 2 1 2 1 2 nn n aaaaa ，即 02 1 11 22 nn n aaaaa ， 令0 x，得 0 23 1 111na，即 0 an，由于 1 n x的展开式中 0 1 nnn n Cxx，所以1 n a ， 所以-得： 11 121 22123 nn n aaann ，而 121 125 n aaan ， 所以 1 23125 n nn ，解得：6n，故 A 正确；对于 B，由于6n，则 6 1212 n xx， 所以展开式中二项式系
22、数和为 6 264，故 B 错误；对于 C，由于6n，则 26 1+ 1+ 1xxxL的所 有项系数为 17 2222126 n ，故 C 正确；对于 D，由于6n，则 26 26 0126 1+ 1+ 1xxxaa xa xa xLL，等式两边求导得： 数学试卷 第 8 页 共 4 页 25 25 1236 12 13 16 1236xxxaa xa xa x，令1x ，则 25 1236 12 23 26 2236321aaaa ，故 D 正确.故选：ACD. 11解：由sincosx xx可得 4 xkkZ ，而 2 sin 42 kkZ ， 因为当 5 2 0, 2 x 时，函数sin
23、yx与cosyx0,| 2 的图象恰有三个交点 PMN、 、，且PMN是直角三角形， 所以该直角三角形斜边上的高为 2 22 2 ，且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为2 2，所以 这两个函数的周期都为 2 2T ，则 2 2 2 ，所以 2 2 ，即 B 正确； 三角形PMN的面积为 1 2 222 2 PMN S，故 A 错； 当 5 2 0, 2 x 时， 25 , 22 xx ，因为这两个函数恰有三个交点，所以 3 44 9513 424 ，又| 2 ，所以 44 ，故 D 正确； 因为 13 4 x，所以两函数的图象在 13 4 x 处不可能有交点，故 C 错.故选：BD 1
24、2解：对于 A. ()( )f xaf xb可化为 22 ()() 11xaxaxxb ， 2 2axaab 0a，不等式在xR上不恒成立，所以 2 ( )1f xxx不是“控制增长函数”； 对于 B. ()( )f xaf xb 可化为，|xaxb，即 2 | |2|xaxbbx恒成立. 又| |xaxa， 故只需保证 2 |2|xaxbbx 恒成立即可. 2 0,| 2 ab bx b ， 当 2 20ab 时，不等式|xaxb恒成立，( )|f xx是“控制增长函数”； 对于 C. 2 1( )sin1,()( )2f xxf xaf x ，2b 时，a为任意正数，()( )f xaf
25、xb恒 成立， 2 ( )sinf xx 是“控制增长函数”； 对于 D. ()( )f xaf xb化为，()sin()sinxaxaxxb， 数学试卷 第 9 页 共 4 页 令2a ，则(2 )sinsin,2 sinxxxx bxb，当2b时，不等式()sin()sinxaxaxxb恒 成立，( )sinf xxx是“控制增长函数”.故选：BCD 13解：3, 4 , 8, 6ABAC , 三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为 1117 3, 48, 6, 51055 ABAC AP ABAC ,直线 的斜率为 7，所以直线的方程为473yx,即7170 xy, 14.解：函数 2
26、 2f xxx没有零点，二次方程 2 20 xx无实根， 44()0 ，1 ，又 2 2f xxx没有零点的概率是0.5，(1)0.5P ， 由正态曲线的对称性知：1 ，1,1N，1,1 ， 2,0,23,21 ，( 20)0.6826P ，( 31)0.9544P ， 11 (01)( 31)( 20)0.95440.68260.1359 22 PPP 15解：因为以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为 3，所以 :3, 6 AC BCCAB , 设DAB，则 62 ，且2()2 63 DNC ，由已知得： ， 所以 2 7 cos22cos1 25 ， 24 sin2 25 所以
27、24 37 coscos(2)cos2cossin2 sin 33350 DNC 故答案为： 24 37 50 16.解：已知矩形ABCD中，3,1ABBC，在矩形ABCD中，连接AC和BD交于点O， 2 222 312ACBDABBC ， 1 1 2 OAOBOCODAC，可知点O是四面体 DABC外接球的球心，则外接球的半径1r ，所以该四面体外接球的体积 3 44 33 Vr； 在四面体DABC中， 作BEAC交AC于点E，DFAC交AC于点F， 再作EGAC交CD于点G， 则/EGDF，所以二面角DACB的平面角为BEG，则BEG，在矩形ABCD中，可知 3,1ABBC，1OCOB，所
28、以BOC是等边三角形， 3 cos30 2 BEDFBC， 2sin301EFACCEACBC， 由四面体DABC可知，BEEF，DFEF， 则 0BE EF ， 3 cos 5 = 数学试卷 第 10 页 共 4 页 0DF EF ，而 222 222BDBEEFFDBEEFFDBE EFEF FDBE FD 22 222 2 33 212 22 BEEFFDBE FDEB FD 3353353 12cos2coscos 4422222 EBFD 即 53 cos 22 BD， 所以当在, 3 2 内变化时， 1 0cos 2 ，则 710 22 BD，即BD的范围为 710 , 22 .
29、故答案为： 4 3 ； 710 , 22 . 17.解：若选择条件：因为对任意1n ， * nN，满足 11 2(1) nnn SSS ， 所以 11 2 nnnn SSSS ，即 1 2 nn aa ，因为无法确定 1 a的值，所以 21 aa不一定等于2， 所以数列 n a不一定是等差数列. 若选择条件： 由 1 2 nnn SSa ， 则 1 2 nnn SSa ， 即 1 2 nn aa ， * nN， 又因为 2 4a ， 所以 1 2a ， 所以数列 n a是等差数列，公差为2，因此数列 n a的通项公式为2 n an. 若选择条件：因为 1 (1) nn Snan n 所以 1
30、1(1) nn Snann * 2,nnN， 两式相减得， 1 12 nnn ananan ，2n，即 1 2 nn aa 2n， 又 12 2Sa，即 21 2aa，所以 1 2 nn aa ， * nN，又 2 4a ， 21 2aa，所以 1 2a ， 所以数列 n a是以2为首项，2为公差的等差数列所以2212 n ann. 18.解： （1）设 3 条生产线中出现故障的条数为X,则 1 3, 3 XB ,因此 12 1 3 12124 1= 33279 P XC （2）当1n 时,设该企业每月的实际获利为 1 Y万元,若X0,则 1 12 3 135Y ； 若1X ,则 1 12 2
31、+8 1 131Y ；若 2X ,则 1 12 1+8 1+0 1 1 19Y ； 若3X ,则 1 12 0+8 1+0 2 17Y ； 又 03 0 3 128 0 3327 P XC , 21 2 3 126 2 3327 P XC , 30 3 3 121 3 3327 P XC , 数学试卷 第 11 页 共 4 页 此时,实际获利 1 Y的均值 1 81261773 3531197= 2727272727 EY 当2n时,设该企业每月的实际获利为 2 Y万元,若X 0,则 2 12 3234Y ； 若1X ,则 2 12 2+8 1 230Y ；若 2X ,则 2 12 1+8 2
32、226Y ； 若3X ,则 2 12 0+8 2+0 1 214Y ； 2 81261802 34302614= 2727272727 EY 因为 12 EYEY,于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在1n 与2n之中选其一,应选用2n 19.解： （1）分别取,AB EB中点 ,M N，连结,CM MN ND. 在梯形ACDE中，/ /DCEA且 1 2 DCEA，且,M N分别为,BA BE中点 /MN EA， 1 2 MNEA /MN CD，MNCD 四边形CDNM是平行四边形 /CM DN 又 1 4 EGEB，N为EB中点，G为EN中点， 又F为ED中点 /GF DN/GF
33、CM 又CM 平面ABC，GF 平面ABC /GF平面ABC （2）在平面ABC内，过B作BHAC交AC于H. 平面ACDE 平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，BH 平面ABC，BHAC， BH 平面ACDE BH即为四棱锥BACDE的高， 又底面ACDE面积确定，所以要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，此时 2ABBC 过点H作/HP AE，易知HB，HC，HP两两垂直， 以,HB HC HP为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系Hxyz 则 (0, 1,0)A ，(1,0,0)B，(0, 1,2)E,(0,1,1)D (1,1,0),( 1, 1,2),(0, 2,1)ABBE
34、DE 设 1111 ( ,)nx y z u r 为平面ABE的一个法向量，则 1 1 0 0 nAB nBE ，所以 11 111 0 20 xy xyz ，取 1 (1, 1,0)n 设 2222 (,)nxy z为平面DBE的一个法向量，则 1 1 0 0 nDE nBE ，所以 22 222 20 20 yz xyz ，取 2 (3,1,2)n 数学试卷 第 12 页 共 4 页 所以 12 12 12 7 cos, 7 n n n n nn ， 由图，二面角ABED为钝二面角，所以二面角ABED的余弦值为 7 7 . 20解： （1）ABCQ，A不能是钝角，tan0A 若tan2A，
35、tan603，且 tanyx 在0, 2 内单调递增，60A 又ABC，,B C都大于60，与AB C矛盾tan1A，即45A （2）45 ,135ABC，tantan1351BC又 tantan tan1 1tantan BC BC BC ，即 tantan1tantanBCBC 由tanB，tanC均为整数，且BC，可得tan 2,tan3BC 则 52 5 cos,sin 55 BB； 103 10 cos,sin 105 CC由正弦定理 sin45sinsin abc BC ，可得 2 103 5 , 55 ba ca又AC的中点为D， 则 22 1 4 BA BCBDAC， 即 22
36、 1 cos 4 c aABCBDAC 即 2 2 3 551 2 10 5545 a aBDa 解得BDa，故1 BCa BDa 21.解： （1） 由圆A： 22 2 7570 xyx可得 2 2 764xy， 所以圆心 7,0A ， 圆的半径8r ， 因为8ACADr，所以ADCACD，因为/BE AD，所以ADCEBC，可得 EBCECB， 所以EBEC， 所以82 7EBEAECEArAB,由椭圆的定义可得： 点E的 轨迹是以7,0A 、( 7,0)B为焦点，28a的椭圆，即4a，7c ，所以 222 1679bac， 所以动点E的轨迹方程为 22 1 169 xy （2） 由 （1
37、） 知，0,3P， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 当直线MN的斜率存在时， 设直线MN的方程为：ykxm， 由 22 1 169 ykxm xy 可得( ) 222 9 1632161440kxkmxm+-= ，所以 12 2 32 9 16 km xx k ， 2 12 2 16144 9 16 m x x k - = + ， 因为 122 12 12 1212 1 3333kxmxkxmxyy kk xxx x 数学试卷 第 13 页 共 4 页 1212 12 6 23kx xmxx x x ，所以 1 212 2630kx xmxx， 即 2 22 1614432 2
38、630 9 169 16 mkm km kk ，整理可得：330mkm， 所以3km或3m，当3m时，直线MN的方程为：3ykx，此时过点0,3P不符合题意， 所以3km，所以直线MN的方程为：313ykxmkxkk x ，此时直线MN过点 1, 3 ， 当直线MN的斜率不存在时 12 xx， 21 yy ， 1211 12 12111 33336 6 yyyy kk xxxxx ，解得 1 1x ， 此时直线MN的方程为：1x，过点 1, 3 ， 综上所述：直线MN过定点 1, 3 . 22.解：（1） 由题意函数定义域为R， 所以 0a， 即a的最小值为0， 所以 01f， 2 2 2 3
39、23 3 x axaxe fx ax ， 01 f ，所以( )1g xx，因为 f xg x恒成立， 即 2 313 x xaxe 恒成立，当1x时，显然成立，令1,(1)2xf，则 3 33 232 2 ae， 因 为aZ且0a， 所 以a的 最 大 值 为1. 下 证 =1a 时 符 合 题 意 . 即 证 2 313 x xaxe， 令 2 133 x m xxxe ， 则 2 ( )21 x m xx xxe ， 函数 ( )m x 在( ,0) 上单调递增， 在(0 , ) 上单调递减， max ( )(0)0m xm ，证毕. （2）令 1 ( )(1) 2 x h xeex ，
40、则 ( )(1) x h xee ，当( )0 h x 时，(,ln(1) xe； 当( )0h x 时，(ln(1),)xe，所以函数( )h x在(,ln(1)e上单调递减，在(ln(1),)e上单调递 增，所以 min 3 ( )(1)ln(1)0 2 h xeee，所以 1 (1) + 2 x eex ，由 2 2 2 323 3 x axaxe fx ax ，故 1 x和 2 x是方程 2 230axax的实根，所以 1212 3 2,xxx x a ， 所以 12 1212 22 1212 3 2233 xx f xf xf xf xee xxaxax 数学试卷 第 14 页 共 4 页 12 21 121212 12 3111331 ()21 444224 xx xx eee xex eex xxx axxa ，得证。
