1、- 1 - “超级全能生”“超级全能生”2021 高考全国卷地区高考全国卷地区 1 月联考甲卷月联考甲卷. 数学数学(理科理科) 注意事项： 1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡。上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
2、只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 AxR|2x10，则 AB A.(1，2) B.(1，2) C.(2，) D.1，2 2.已知1 ai ai 0(i 为虚数单位)，则实数 a 等于 A.1 B.0 C.1 D.1 3.若 2 tan7 1tan48 ，( 2 ，)，则 sin( 4 ) A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5 4.如图，大正方形 ABCD 边长为 8，其内有一心形曲线，由两个半圆和关于对称轴 EF 对称的 两段半个周期上的余弦曲线围成，且余弦曲线两端点恰为曲线的最高点和最低点，则在大正 方形 ABCD 内任取一点，该点取自心形曲线内部的概率为 A.
3、3 8 B. 5 8 C. 6 16 D. 16 32 5.若定义在 R 上的函数 f(x)在(，1上单调递减。若 f(x)f(2x)，且 f(4)0，则不 - 2 - 等式 f x3 x 0 的解集为 A.4，13，) B.4，1(0，1 C.4，02，) D.1，0)5，) 6.已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|1，c2ab，则 cos A.0 B. 1 2 C. 3 2 D. 1 3 7.如图，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体侧面，从 A 到 B 的最短路径长为 A.22 B.3 C.4 D. 8.为了落实“精准扶贫”工作，某市抽调 4 名工作人员，去 A，B，C 三个
4、贫困村开展驻点帮 扶。若每个村至少去 1 人，则不同的分配方法种数为 A.24 B.36 C.42 D.48 9.已知数列an中，a11， nn 1 n 1n aa aa 1(nN*)，若 1 a 10 m ，则 m A.8 B.9 C.10 D.11 10.在由三棱柱截得的几何体 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，AB 上 AC，AA12，BB1 CC11，AC2，点 D，E，F 分别是棱 B1C1，A1C1，BB1的中点。若直线 A1D 与 EF 所成 角的余弦值为 3 9 ，则 AB A.1 B.2 C.2 D.4 - 3 - 11.已知抛物线 y28x 的焦点为 F，过点 F
5、斜率为3的直线 l 交该抛物线于 A，B(A 在第一象 限)，直线 l 与圆 x2y24x30 交于点 C，D(C 在第一象限)，O 为坐标原点，则OAC 与 OBD 的面积之比为 A.8：3 B.5：3 C.21：5 D.7：1 12.已知函数 f(x)是定义域为(，0)(0，)的偶函数。当 x0 时，函数 f(x) 1 x 1 x1 0 x2 x 22x2 ， ， ， 若关于 x 的方程 f2(x)af(x)b0(a， bR)有且仅有 6 个不同实数根， 则实数 a 的取值范围是 A.(， 5 2 ) B.(，2) C.(x， 3 2 ) D.(2， 5 2 ) 二、填空题：本题共 4 小
6、题，每小题 5 分，共 20 分。 13.在声学中，用声压水平(单位：分贝)来度量声音的强弱，定义为 Lp20lg 0 p p 。其中，p0是 听觉下限阈值 20 Pa，p 是实际声压。假设第一次测得声音的强度是 10 分贝，第二次测得声 音的强度是 100 分贝，则第二次与第一次的声压比值约为 。(104.531623，310 2.1544，21.414，52.2361) 14.设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a6a2a5，S37，设 1 n i i a a1a2an， 则 10 2 1 log i i a 的值为 。 15.如图所示，直角三角形的三边勾股弦的长分别为 a，b，
7、c，以边长为 a，b，c 的三边分别向 外作相似的图形，其面积分别为 S2，S3，S1。试猜想这些图形的面积 S1，S2，S3满足的关系 式为 。 - 4 - 16.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延 长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，过 F2沿倾斜角 120 出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为 30 ，则该双曲线的离心率为 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作
8、答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 20152019 年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协 会发布的2019 节能服务产业发展报告 ，截至 2019 年底，全国从事节能服务的企业数量统 计如表所示： (I)作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系； (II)令 xt2017，求 y 关于 x 的回归直线方程； (III)预测 2021 年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？ 附：回归直线ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式为 11 222 11 ()() ,
9、 () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y baybx xxxnx 。 18.(12 分) - 5 - 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4ccos2 2 B b2(abcosAacosB)。 (I)求 C； (II)若 c4，求ABC 的面积的最大值。 19.(12 分) 已知五边形 PABCD 是平面图形(如图 1)，四边形 ABCD 是矩形，PAPD，PAPD。现在沿 AD 折叠PAD，使得PAB90 ，得到四棱锥 PABCD(如图 2)。 (I)求证：PD平面 PAB； (II)若二面角 APBC 的余弦值为 2 3 ，求 AB
10、BC 的值。 20.(12 分) 已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 与圆 x2y22 相切于长轴的端点，且离心率为 2 2 。 (I)求椭圆 E 的方程； (II)已知 F 是椭圆 E 的右焦点，设ABC 的顶点 A，B 在椭圆上，角 C 的平分线与 x 轴重合， 若ABAF，且 AB 与 x 轴不垂直，求点 C 的坐标。 21.(12 分) 已知函数 f(x)ex2x。 (I)当 xcosx； (II)若函数 g(x)f(x)cosxln(x1)， 试问： 函数 g(x)是否存在极小值？若存在， 求出极小值； 若不存在，请说明理由。 (二)选考题：共 10 分。请考生在
11、第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分) - 6 - 在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 3 13 xt1 13 2 13 yt 13 (t 为参数)， 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 与极轴交于点 N，且动点 M 满足|MN|1。 (I)求直线 l 的极坐标方程和点 M 的轨迹的极坐标方程 C； (II)若直线 4 (R)分别交直线 l、曲线 C 于点 A，B(非极点)，求 11 OAOB 的值。 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 设函数 f(x)|x1|x1|。 (I)求不等式 f(x)3 的解集； (II)若 f(x)xt 对任意 xR 恒成立，求实数 t 的取值范围。 - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 -
