1、绝密启用前绝密启用前 试卷类型：试卷类型：B 晋中市晋中市 2021 年年 3 月高三适应性调研考试月高三适应性调研考试 数学（理科）数学（理科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） 祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上 2全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效 3回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如铅笔把答题卡上对应题目的答案标
2、号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上毫米及以上 黑色笔迹签字笔写在答题卡上黑色笔迹签字笔写在答题卡上 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：参考公式： 锥体的体积公式：锥体的体积公式： 1 3 VSh（其中（其中 S 为锥体的底面积，为锥体的底面积，h 为锥体的高） 为锥体的高） 一一、选择题（本题共选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四
3、个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1已知集合 2 |14,|23 0AxxBx xx ，则AB等于（ ） A( 1,1 B3,4) C(, 13,) D(, 1(1,) 2已知复数 z 满足 6 1 z i ，则|z （ ） A2 B2 2 C3 D3 2 3已知向量(1,3),( ,4)abm，且(2)bab，则 m 的值为（ ） A2 B2 C4 D2或 4 4魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube） ，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于 1974 年发明的 机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方 可以
4、看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔 方中 1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角 方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ） A 2 9 B 8 27 C 4 9 D 1 2 5如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，/ /ABCD,3AB ，1CD，侧棱 1 4AA ， 若侧面 11 AAB B水平放置时，水面恰好过 1111 ,AD BC BC AD的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水 面高为（ ） A2 B 5 2 C3 D 7 2 6已知
5、2 1sin2 2 2cossin2 ，则tan2（ ） A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 7已知点 F 是抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 E 上的两点，满足 | 10,0FAFBFAFBFO则p （ ） A1 B2 C3 D4 8定义在( 1,1)上的函数( )f x满足( )( )()2f xg xgx，对任意的 1212 ,( 1,1),x xxx ，恒有 1212 0fxfxxx ，则关于 x 的不等式(31)( )4fxf x的解集为（ ） A 1 , 4 B 1 ,0 4 C 1 , 4 D 2 ,0 3 9.已知长方体
6、1111 ABCDABC D的底面是边长为2的正方形， 高为4， E是 1 DD的中点， 则三棱锥 11 BC EC 的外接球的表面积为（ ） A12 B20 C24 D32 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线的渐近线 交于点 A（A 在第一象限内） ，以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点 B，若/ /BFOA，则双曲 线 C 的离心率为（ ） A 2 3 3 B2 C3 D2 11设( )sin2cos2f xaxbx，其中0,0ab，若( ) 6 f xf 对任意的xR恒成立，则下列 说法正确的是
7、（ ） A 7 105 ff B对任意的xR有 5 ( )0 6 f xfx 成立 C( )f x的单调递增区间是 2 ,() 63 kkk Z D存在经过点( , )a b的直线与函数( )f x的图象不相交 12若存在实数 x，y 满足ln3 yy xxee，则xy（ ） A1 B0 C1 De 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13设 x，y 满足 0, 21, 22, xy xy xy 则xy的最小值是_，最大值是_ 14曲线lnyxax与直线21yx相切，则a _ 15过点(2, 3)P作圆 22 :20C xyx的
8、两条切线，切点分别为 A，B，则PA PB_ 16如图所示，在平面四边形ABCD中，,2ABBD ABBD BCCD AD，在ABC中，角 A， B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 2 2coscabC，则ACD的面积为_ 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分） 17（12 分） 设 n a是各项都为正的单调递增数列， 已
9、知 1 4a ， 且 n a满足关系式： 11 42 nnnn aaaa ， * nN （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 n n b a ，求数列 n b的前 n 项和 n S 18 （12 分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角 板沿直角边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，其中60ABD，点 E，F，G 分别是,AC BC AB的 中点 （1）求证：EF 平面CDG； （2）求二面角FAED的余弦值 19 （12 分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑 奖的方式对观影卡充值满 200
10、 元的顾客进行减免，规定每人在装有 6 个白球、2 个红球的抽奖箱中有放回的 抽球，每次抽取一个，最多抽取 3 次已知抽出 1 个白球减 10 元，抽出 1 个红球减 30 元，如果前两次减 免之和超过 30 元即停止抽奖，否则抽取第三次 （1）求某顾客所获得的减免金额为 40 元的概率； （2）求某顾客所获得的减免金额 X 的分布列及数学期望 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，O 为原点，点(4,0)A是 x 轴上一定点，已知椭圆的长轴 长等于|OA，离心率为 3 2 （1）求椭圆的方程； （2）直线: l ykxt与椭圆 C 交于两个不同点 M，N，已
11、知 M 关于 y 轴的对称点为M ，N 关于原点 O 的对称点为N ，若,M N 满足 (1)OAOMON ，求证：直线 l 经过定点 21 （12 分）已知函数 2 2 1 ( )2 () 2 x ax f xxx a e R（2.71828e 是自然对数的底数） （1）若( )f x在(0.2)x内有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （2）1a 时，计论关于 x 的方程 2 11 ( )2|ln|() 2 x f xxxbxb xe R的根的个数 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果
12、多做，则按所做的第 一题计分）一题计分） 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 22cos , 2sin x y （为参数） 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为(sincos )1 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）点 P 的极坐标为1, 2 ，设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，且AB的中点为 Q，求线段PQ的长 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( )|(0)f xb xxaa （1）当1,2ba时，解不等式( ) 5
13、f x ； （2）当2b时，若不等式( ) 3f x 对任意的xR恒成立，求实数 a 的取值范围 2021 年年 3 月高三适应性调研考试月高三适应性调研考试 数学（理科）答案数学（理科）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D D C B A D B B A B C 1解析：由题意得集合 2 |23 01Bx xxx x|厔或3x，又因为 |14Axx，所以 |1ABx x或1x ，故选 D 答案：D 2解析：因为 66(1)6 (1)33 1(1)(1)2 i zii iii ，所以| 3 2z 故选 D 答案：D 3 解析： 根据题意， 得2(2,2
14、)abm， 由( 2)ba b， 得( 2) 8 0mm， 解得2m 或4m 故 选 D 答案：A 4解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 27 个，其中有 3 个面涂色的小正方体共有 8 个，只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，只有 1 个面涂色的小正方体共有 6 个，所以恰好抽到只有 2 个 面有色的小正方体的概率为 124 279 故选 C 答案：C 5解析：设四棱柱的底面梯形的高为2 ,a AD BC的中点分别为,F E，所求的水面高为 h，则水的体积 1 (23)(13)2 4 22 ABEFABCD aa VSAAShh 水四边形四边形 ，所以 5 2 h
15、，故选 B 6解析：因为 2 22 1 sin212sincos(sincos )sincos11 tan2 2cossin22cos2sincos2cos (sincos )2cos22 ， 所以tan3，从而可得 2 2tan63 tan2 1tan194 ，故选 A 答案：A 7解析：设 1122 ,A x yB x y，则 1212 |10 22 pp FAFBxxxxp， 由0FAFBFO，知 1212 3 ,0 2 p FAFBFOxxyy ，所以 12 3 2 p xx， 联立解得4p ，故选 D 答案：D 8解析：设( )( )2( )()h xf xg xgx，则( )h x
16、为奇函数，且在( 1,1)上为增函数，所以不等式 (31)( )4fxf x等价于(31)2( )20fxf x，即(31)( )0hxh x，亦即 (31)( )()hxh xhx ，可得 1311, 11, 31, x x xx ，解得 1 0 4 x，故选 B 答案：B 9解析：如图，因为在三棱锥 11 BC EC中， 11 BC 平面 1 C EC且 1 C EC为直角三角形，所以外接球球 心是 1 BC的中点，不妨设球的半径为 R，则24 1620R ，所以球的表面积 2 420SR.故选 B 答案：B 10 解析： 如图， 因为AFOF， 所以点 F 在圆上， 又/ /BFOA，
17、所以AOFOFB， 而A O FB O F ， 所以OBF是等腰三角形，所以30AOF，所以 3 tan30 3 b a ，所以 2 2 3 1 3 b e a ，故 选 A 答案：A 11解析： 2222 ( )sin2cos2sin(2)tan b f xaxbxabxab a ，又 31 sincos 63322 fabab ， 由题意( ) 6 f xf 对任意的xR恒成立， 且0,0ab， 所以 22 31 22 abab对任意的xR恒成立，即 2222 313 442 ababab 22 32 3abab 恒成立，由基本不等式可知 22 32 3abab，所以 22 32 3aba
18、b，此时30ab， 所以( )3 sin2cos22 sin 2 6 f xbxbxbx 对于 A 选项， 74713 2 sin2 sin 103030 fbb ， 1713 2 sin2 sin 53030 fbb ，所以 7 105 ff ，故 A 错误； 对于 B 选顼， 因为( )2 sin 2 6 f xbx ， 所以不妨令2, 6 xkk Z， 解得, 122 k xk Z， 当1k 时， 5 12 x ，所以 5 ,0 12 是( )f x的对称中心，故 B 正确； 对于 C 选项，由222, 262 kxkk Z剟，知, 36 kx kk Z剟，故 C 不正确； 对于 D 选
19、项，由题知30ab，要使经过点( , )a b的直线与函数( )f x的图象不相交，则此直线与横轴 平行，又( )f x的振幅为2bb，所以直线必与( )f x的图象有交点，故 D 不正确 答案：B 12解析：令( )ln3f xxx，则 11 ( )1 x fx xx ，所以( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上 单调递减，所以 max ( )(1)ln1 132f xf 令( ) yy g yee，则2 yy ee，当且仅当0y 时取等号， 又ln3 yy xxee，所以ln32 yy xxee，所以1,0,1xyxy 答案：C 13解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部
20、分所示区域，设zxy，当yxz经过点 2 2 , 3 3 A 时，zxy取到最小值 4 3 ；当yxz经过点 11 , 33 B 时，zxy取到最大值 2 3 答案： 42 33 14解析：设切点为 00 ,P x y，则 00000 ln,21yxaxyx，切线的斜率 0 0 1 2kfxa x ， 解得 0 1,1xa 答案：1 15解析：由 22 20 xyx得 22 (1)1xy，所以圆心(1,0)C，半径为 1，所以 | 2,| |3,60PCPAPBAPB，所以 3 |cos60 2 PA PBPA PB 答案： 3 2 16解析：,ABBD ABBD，在等腰直角ABD中22ADA
21、Bc，在ABC中，由余弦 定理得 222 2cosababCc，又已知 2 2coscabC， 222 2abc，又 ,2aBCCD bAC ADc， 222 ACCDAD，ACCD，作CFBD分别交,BD AD 于点 F，E（图略） ，BCCD，E，F 分别为线段,AD BD的中点，45 ,1CEDCEED， 12 22sin45 22 ACDECD SSECED 答案： 2 2 17解： （1）因为 * 11 42, nnnn aaaan N，所以 11 24 nnnn aaaa ， 即 2 1 4 nn aa ， 又 n a是各项为正的单调递增数列，所以 1 2 nn aa ， 3 分
22、所以 n a是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以22(1)2 n ann，所以 2 4 n an 6 分 （2） 2 111111 141(21)(21)2 2121 n n b annnnn ， 8 分 所以 12nn Sbbb 111 11111 1 232 352 2121nn 10 分 11 1 22121 n nn 12 分 18解： （1）证明：根据已知得ADBD，又 G 为AB的中点，所以DGAB， 1 分 因为ACBC，G 为AB的中点，所以CGAB， 2 分 又DGCGG，所以AB 平面CDG 3 分 又因为/ /ABEF，所以EF 平面CDG 4 分 （2） 因为,
23、CDAD CDBD， 所以CD平面ABD， 取BD中点H， 连接,AH FH， 则AH 平面BDC， 又HFBD，所以以 H 为原点，以,HB HF HA所在直线分别为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 5 分 则 13 (0,0, 3),(0,1,0),( 1,2,0),1,( 1,0,0) 22 AFCED ， 所以 13 ,1,(0,1,3),( 1,0,3) 22 AEAFAD 6 分 设平面AEF的法向量为1 111 ,nx y z， 则 1 1 0, 0, nAE nAF 即 111 11 13 0, 22 30, xyz yz 令 1 1z ，得1( 3, 3,1
24、)n 8 分 设平面AED的法向量为 2 222 ,nxy z， 则 2 2 0, 0, nAE nAD 即 222 22 13 0, 22 30, xyz xz 令 2 1z ，得2( 3,0, 1)n 10 分 所以12 3 17 cos, 72 7 n n ，所以二面角FAED的余弦值为 7 7 12 分 19解： （1）若顾客所获得的减免金额为 40 元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次 抽白球 2 分 求得顾客所获得的减免金额为 40 元的概率为 6226243 8888648 P 5 分 （2）某顾客所获得的减免金额 X 可能为 30,40,50,60 6 分 6
25、6627 (30) 88864 P X ， 7 分 6226243 (40) 8888648 P X ， 8 分 6629 (50) 88864 P X ， 9 分 221 (60) 8816 P X 10 分 所以 X 的分布列为 X 30 40 50 60 P 27 64 3 8 9 64 1 16 11 分 27391615 ()30405060 648641616 E X 所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为 615 16 12 分 20解： （1）由题意得，2,3ac，所以 222 1bac 3 分 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （2）证明：设 1122
26、,M x yN x y，则 1122 ,Mx yNxy ， 12 12 , 44 AMAN yy kk xx 所以 1221 12 1212 44 0 4444 yxyxyy xxxx ， 整理得 1 212 2(4 )80kx xtkxxt 7 分 由 2 2 , 1, 4 ykxt x y 得 222 148440kxktxt， 8 分 则 2 1212 22 844 , 1414 ktt xxx x kk 9 分 代入整理得tk， 11 分 所以直线 l 的方程为ykxk，即直线 l 恒过定点( 1,0) 12 分 21解： （1）由题意可求得 2 2(2) ( )2 x xx axxx
27、eax fxx ee ， 因为( )f x在(0,2)x内有两个极值点，所以( )0fx 在(0,2)x内有两个不相等的变号根， 即0 x eax在(0,2)x上有两个不相等的变号根 1 分 设( ) x g xeax，则( ) x g xea ， 当0a时，(0,2),( )0 x xg xea ， 所以( )g x在(0,2)上单调递增，不符合条件 2 分 当0a 时，令( )0 x g xea 得lnxa， 当ln2a，即 2 a e时，(0,2),( )0 x xg xea ， 所以( )g x在(0,2)上单调递减，不符合条件； 3 分 当ln0a，即01a 时，(0,2),( )0
28、 x xg xea ， 所以( )g x在(0,2)上单调递增，不符合条件； 4 分 当0ln2a，即 2 1ae时，( )g x在(0,ln )a上单调递减，(ln ,2)a上单调递增， 若要0 x eax在(0,2)x上有两个不相等的变号根，则 (0)0, (2)0, (ln )0, 0ln2, g g ga a ，解得 2 2 e ea 5 分 综上所述， 2 2 e ea 6 分 （2）设 2 2 11 ( ) |ln|( )2|ln|,(0,) 2 xx x h xxf xxxbxb x xee ， 令 2x x y e ，则 2 12 x x y e ，所以 2x x y e 在
29、1 0, 2 上单调递增，在 1 , 2 上单调递减 （）当(1,)x时，ln0 x ，则 2 ( )ln x x h xxb e ，所以 2 2 ( )21 x x e h xex x 因为 2 210,0 x e x x ，所以( )0h x ，因此( )h x在(1,)上单调递增 7 分 （）当(0,1)x时，ln0 x ，则 2 ( )ln x x h xxb e ，所以 2 2 ( )21 x x e h xex x 因为 222 1,10,211 xx eeexx ，所以 2 2 ( )210 x x e h xex x ，因此( )h x在(0,1)上 单调递减 8 分 综合（）
30、 （）可知，当(0,)x时， 2 ( )(1)h xheb ， 当 2 (1)0heb ，即 2 be 时，( )h x没有零点，故关于 x 的方程根的个数为 0， 9 分 当 2 (1)0heb ，即 2 be 时，( )h x只有一个零点，故关于 x 的方程根的个数为 1， 10 分 当 2 (1)0heb ，即 2 be 时， 当(1,)x时， 1 2 1 ( )lnlnln1 2 x x h xxbxebxb e ，要使( )0h x ，可令 ln10 xb ，即 1 , b xe ； 当(0,1)x时， 1 2 1 ( )lnlnln1 2 x x h xxbxebxb e ，要使(
31、 )0h x ， 可令ln10 xb ，即 1 0, b xe ， 所以当 2 be 时，( )h x有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2 11 分 综上所述：当 2 be 时，关于 x 的方程根的个数为 0， 当 2 be 时，关于 x 的方程根的个数为 1， 当 b 2 be 时，关于 x 的方程根的个数为 2 12 分 22 解：（1） 由题意可知在曲线C中，22cos ,2sinxy， 则 2222 (2 )4 c o s4 s i n4xy， 得曲线 C 的直角坐标方程为 22 (2)4xy； 2 分 因为cos,sinxy，可得直线 l 的直角坐标方程为10 xy 4 分
32、（2）已知点 P 的直角坐标为(0,1)，设直线 l 的参数方程为 2 , 2 2 1, 2 xt yt 代入曲线 C 的普通方程得 2 3 210tt ， 6 分 设 A，B 对应参数为 12 ,t t，则 Q 对应的参数为 12 2 tt ， 8 分 故 12 3 2 | | 22 tt PQ 10 分 23解： （1）当1,2ba时，不等式( ) 5f x 即为|2|5xx， 1 分 法一：当2x时，可得(2) 5xx，解得 7 2 x，则 7 2 2 x剟； 2 分 当02x时，可得(2) 5xx，即2 5，所以02x； 3 分 当0 x时，可得(2) 5xx ，解得 3 2 x，则 3 0 2 x剟 4 分 综上可得，原不等式的解集为 3 7 , 2 2 5 分 法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 3 7 , 2 2 5 分 （2）当2b时，若不等式( ) 3f x 对任意的xR恒成立，即为 min ( )3f x， 又 3, ( ),0, 3 ,0, xa x a f xxaxa ax x 6 分 当x a时，( )( )2f xf aa； 7 分 当0 xa时，( )2af xa； 8 分 当0 x时，( )f xa 9 分 故 min ( )f xa，则3a，即 a 的取值范围是3,) 10 分
