1、1 小学小学数学常考应用题归类指导数学常考应用题归类指导 一、一、归一问题归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量） ，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这 类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 【例 1】 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解 （1）买 1 支铅笔多少钱？0.650.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元） 列成综合算式 0.65160.
2、12161.92（元） 答：需要 1.92 元。 【例 2】 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解 （1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？903310（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？1056300（公顷） 列成综合算式 9033561030300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 【例 3】 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？ 解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？100545（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？573
3、5（吨） （3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105353（次） 列成综合算式 105（100547）3（次） 答：需要运 3 次 二、二、归总问题归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 “总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总 路程等。 【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 2 【例 1】 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做
4、 791 套衣 服的布，现在可以做多少套？ 解 （1）这批布总共有多少米？3.27912531.2（米） （2）现在可以做多少套？2531.22.8904（套） 列成综合算式 3.27912.8904（套） 答：现在可以做 904 套。 【例 2】 小华每天读 24 页书， 12 天读完了 红岩 一书。 小明每天读 36 页书， 几天可以读完 红岩 ？ 解 （1） 红岩这本书总共多少页？2412288（页） （2）小明几天可以读完红岩？288368（天） 列成综合算式 2412368（天） 答：小明 8 天可以读完红岩 。 【例 3】 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消
5、费完这批蔬菜。后来根据大家的意 见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？50301500（千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？1500（5010）25（天） 列成综合算式 5030（5010）15006025（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。 三、三、和差问题和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数（和差）2 小数（和差）2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 【例 1】 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少
6、人？ 解 甲班人数（986）252（人） 乙班人数（986）246（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 【例 2】 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。 解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米） 长方形的面积10880（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 【例 3】 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克， 3 求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数， 丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（222
7、）212（千克） 丙袋化肥重量（222）210（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 【例 4】 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两 车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐” ，这说明甲车是大数，乙车是小 数， 甲与乙的差是 （1423） ， 甲与乙的和是 97， 因此甲车筐数 （971423） 264 （筐） 乙车筐数976433（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 四、四、
8、和倍问题和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少， 这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和（几倍1）较小的数 总和较小的数较大的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 【例 1】 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？248（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？623186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 【例 2】 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.
9、4 倍，求两库各存粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨） （2）东库存粮数480200280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 【例 3】 甲站原有车 52 辆， 乙站原有车 32 辆， 若每天从甲站开往乙站 28 辆， 从乙站开往甲站 24 辆， 几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824） 辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52 32）就相当于（21）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 4 （523
10、2）（21）28（辆） 所求天数为（5228）（2824）6（天） 答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 【例 4】 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（17046）就相当于（123）倍。那么， 甲数（17046）（123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 五、五、差倍
11、问差倍问题题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少， 这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 【例 1】 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？124（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？623186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 【例 2】 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今
12、年各是多少岁？ 解 （1）儿子年龄27（41）9（岁） （2）爸爸年龄9436（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 【例 3】 商场改革经营管理办法后， 本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元， 又知本月盈利比上月盈 利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（万元） 本月盈利183048（万元） 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。 【例 4】 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米， 如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，
13、问几天后剩下的玉米是 小麦的 3 倍？ 5 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894） 。 把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么， （13894）就相当于 （31）倍，因此 剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨） 运出的小麦数量942272（吨） 运粮的天数7298（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 六、六、倍比问题倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍 比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量一个数量倍数
14、 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 【例 1】 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？370010037（倍） （2）可以榨油多少千克？40371480（千克） 列成综合算式 40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 【例 2】 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树 多少棵？ 解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？48000300160（倍） （
15、2）共植树多少棵？40016064000（棵） 列成综合算式： 400（48000300）64000（棵） 答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 【例 3】 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩 果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？8004200（倍） （2）800 亩收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000 亩是 800 亩的几倍？ 1600080020（倍） （4）16000 亩收入多少元？ 22222002044444000
16、（元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 6 七、七、相遇问题相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 【例 1】 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小 时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？ 解 392（2821）8（小时） 答：经过 8
17、 小时两船相遇。 【例 2】 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他 们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 4002 相遇时间（4002）（53）100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 【例 3】 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在 距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑 得慢，甲过
18、了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇时间（32）（1513）3（小时） 两地距离（1513）384（千米） 答：两地距离是 84 千米。 八、八、追及问题追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不 是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时 间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 【
19、例 1】 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？7512900（千米） 7 （2）好马几天追上劣马？900（12075）20（天） 列成综合算式 7512（12075）9004520（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 【例 2】 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向 而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500200）米，要知小 亮的速度
20、，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40（500200） 秒，所以小亮的速度是 记号“%” 。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。 九、九、百分数问题百分数问题 【数量关系】 掌握“百分数” 、 “标准量” “比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 【例 1】 仓库里有一批化肥， 用去 7
21、20 千克， 剩下 6480 千克， 用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解 （1）用去的占 720（7206480）10% （2）剩下的占 6480（7206480）90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 【例 2】 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量， 男职工比女职工少的人数是比较量所以 （525420） 5250.2 20% 或者 14205250.220% 答：男职工人数比女职工少 20%。 【例 3】 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职
22、工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 （525420）4200.2525% 或者 52542010.2525% 答：女职工人数比男职工多 25%。 【例 4】 红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 解 （1）男职工占 420（420525）0.44444.4% 8 （2）女职工占 525（420525）0.55655.6% 答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占 55.6%。 十、十、 “牛吃草”问题“牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题” 。这类问题的特点在于要考虑 草
23、边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量原有草量草每天生长量天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 【例 1】 一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把 草吃完？ 解 草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛 5 天可以 把草吃完” ，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1， 按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（11020） ；另一方面，20 天内的草总量又等于原
24、有草量加上 20 天内的生长量，所以 11020原有草量20 天内生长量 同理 11510原有草量10 天内生长量 由此可知（2010）天内草的生长量为 110201151050 因此，草每天的生长量为 50（2010）5 （2）求原有草量 原有草量10 天内总草量10 内生长量11510510100 （3）求 5 天内草总量 5 天内草总量原有草量5 天内生长量10055125 （4）求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。 因此 5 天吃完草需要牛的头数 125525（头） 答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。 【例 2】 一只船有一个漏洞
25、，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘 水，3 小时可以淘完；如果只有 5 人淘 水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完？ 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数” ） ， 求时间。设每人每小时淘水量为 1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3 小时内的总水量1123原有水量3 小时进水量 10 小时内的总水量1510原有水量10 小时进水量 所以， （103）小时内的进水量为 1510112314 因此，每小时的进水量为 14（103）2 （2）求淘水前原有水量 9 原有水量11233 小
26、时进水量362330 （3）求 17 人几小时淘完 17 人每小时淘水量为 17，因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17 2） ，所以 17 人淘完水的时间是 30（172）2（小时） 答：17 人 2 小时可以淘完水。 十一、十一、鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问 题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做 第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】 第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42） 假设全都是兔，则有 鸡数（4
27、鸡兔总数实际脚数）（42） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42） 假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42） 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是 鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设， 再置换，使问题得到解决。 【例 1】 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算， 多少兔子多少鸡？ 解 假设 35 只全为兔，则 鸡数（43594）（42）23（只） 兔数352312（只） 也可以先假设 3
28、5 只全为鸡，则 兔数（94235）（42）12（只） 鸡数351223（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。 【例 2】 2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多 少亩？ 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。 “每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两 个脚”相对应， “每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应， “16 亩”与“鸡兔 总数”相对应， “9 千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜，则有 白菜亩数（91216）（3512）10（亩） 答：白菜地有 10 亩。 10 【例
29、3】 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20 元，日记本每本 0.70 元。 问作业本和日记本各买了多少本？ 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本，则有 作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本） 日记本数451530（本） 答：作业本有 15 本，日记本有 30 本。 【例 4】 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？ 解 假设 100 只全都是鸡，则有 兔数（210080）（42）20（只） 鸡数1002080（只） 答：有鸡 80 只，有兔 20 只。 【例 5
30、】 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少 人？ 解 假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和 尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下，以“小”换“大” ，一个小和尚 换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚 （3100100）（31/3）75（人） 共有大和尚 1007525（人） 答：共有大和尚 25 人，有小和尚 75 人。 十二、十二、方阵问题方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵） ，根据已知条件求总人数或总物数
31、，这类问 题就叫做方阵问题。 【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数每边人数每边人数 空心方阵：总人数（外边人数）?（内边人数）? 内边人数外边人数层数2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数（每边人数层数）层数4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。 实心方阵的求法是以每边的数自乘； 空心方阵的变化较多， 其解 答方法应根据具体情况确定。 【例 1】 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一 共有多少人？ 解 11
32、2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共有 484 人。 【例 2】 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。 解 10（1032）? 84（人） 答：全方阵 84 人。 【例 3】 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生共多 少人？ 解 （1）中空方阵外层每边人数524114（人） （2）中空方阵内层每边人数28416（人） （3）中空方阵的总人数141466160（人） 答：这队学生共 160 人。 【例 4】 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9 只棋 子，问有棋子多少个？ 解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数4913（只） （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只） （3）原有棋子数77940（只） 答：棋子有 40 只。 【例 5】 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有 5 棵 树。这个树林一共有多少棵树？ 解 第一种方法：1234515（棵） 第二种方法： （51）5215（棵） 答：这个三角形树林一共有 15 棵树。
