1、教师姓名教师姓名 单位名称单位名称 填写时间填写时间 学科学科 数学数学 年级年级/ /册册 八年级下册八年级下册 教材版本教材版本 人教版人教版 课题名称课题名称 17.1 勾股定理 利用勾股定理解决立体图形表面上最短路线问题 难点名称难点名称 求长方体表面上最短路线问题求长方体表面上最短路线问题 难点分析难点分析 从知识角度分析为 什么难 本节是人教版八年级(下)第十七章勾股定理后的一个专题复习。具体内容是 运用勾股定理解决简单的实际问题。当然，在这些具体问题的解决过程中，需要 经历几何图形的抽象过程，需要借助观察操作等实践活动，这些都有助于发展学 生的分析问题、解决问题能力和应用意识。利
2、用数学中的建模思想构造直角三角 形，利用勾股定理，通过分析、对比推理，对于台阶、圆柱体、正方体这些立体 图形中表面上最短问题都只有一种情况，但对于长方体来说，情况比较复杂，学 生能否抓住长方体特征，用分类谈论的思想进行问题探究，找到三条路线并总结 出最短路线的计算式，最后寻找其成立的依据使学生的难点，让学生不仅要知其 然更知其所以然。通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在 将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决间题的能力及渗透数 学建模的思想。 从学生角度分析为 什么难 通过本章前两节的学习，学生已经掌握了勾股定理并能运用勾股定理求线段长 度，同时通过七年级的学习
3、，学生已经了解空间图形、能对一些空间图形进行展 开与折叠，知道在同一平面内两点之间线段最短。经过七年级的学习，学生也已 经初步经历过观察-猜想-操作验证-得出结论的知识探究过程，获得了一定的探索 图形性质的活动经验，并且能够通过小组合作完成知识的获取与分享，具备了一 定的合作和交流能力。该年龄段的学生虽然学习积极性高，但数学活动的经验较 少，缺乏对知识和方法的概括总结能力，因此在通过展开图将空间问题转化为平 面问题时，准确的绘制出平面图形对部分学生还有一定的难度，特别是利用分类 讨论的思想将长方体表面部分展开确定最短路程时难度会比较大，还要通过三种 情况来总结三条路线中最短的一条对学生更是一种
4、挑战。分类不清、分类不全使 学生容易犯的错误，教师要充分引导。 难点教学方法难点教学方法 新课程标准明确指出：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者，因此本节课我采 用的是探索归纳教学法。教学中，我充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，在观察、思考、 操作、归纳、应用等师生的共同活动中引导学生学习，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态 中，从而实现教与学的最优化，最终达成本节课的学习目标。在突破难点上，学生分为 4 人活动小组， 合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的答案，在全班范围内讨论每种方案的路线 计算方法，通过具体计算，总结出最短路线，得出结论：以长
5、方体的长、宽、高中最大的量作为独立 的一条直角边，另外两个量之和作为另一条直角边，计算构成 Rt的斜边长为最短路线。 教学环节教学环节 教学过程教学过程 导入导入 知识讲解知识讲解 （难点突破）（难点突破） 由平面问题自然过渡到立体图形。 由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B， 故需把三个台阶展开成平面图形 用勾股定理解决实际问题的关键是从实际 问题中构建数学模型直角三角形，再正确 利用两点之间线段最短解答 关注学生能否正确选择出最短路线， 能否用 流畅简洁的语言进行展示。 圆柱体是立体图形，从其表面看两点之间 的连线绝大部分是曲线， 那么怎样确定哪一条 是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱的侧
6、面展开， 转化为平面图形， 应用勾股定理解决， 而不能盲目地凭感觉来确定由直观感受上升 到理性分析。 本题要求在阅读的基础上提炼有用的信 息，具体解题时先将圆柱侧面展开，将侧面展 开成一矩形，会发现两点AB之间即为蚂蚁爬 行的最短路线，再运用勾股定理即可求得 正方体是立体图形，但它的每个面都是平面计算同 一个面上的两点之间的距离比较容易， 若计算不同面上的 两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即 把正方体设法展开成为一个平面， 使计算距离的两个点处 在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决 了所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清 题意， 弄清楚到底是同一平面中两点间
7、的距离问题还是异 面上两点间的距离问题正方体的每个面都是一样的，有 了圆柱体的解题思想做铺垫， 所以这个问题学生比较容易 解决，让学生获得一种成就感，为挑战本节课难点增加了 信心。 通过生活实例复习平面内两点之间线段最短 的性质，应用勾股定理求线段长，做好本节课 立体图形中两点之间最短距离知识准备。做好 知识准备的同时提高学生的环保意识。这样的 设计不仅可以激发学生学习兴趣，培养学生积 极的情感，同时还可以让学生初步感受到最短 路程是我们生活中经常碰到的问题。 由正方体表面上两点之间最短路径自然过渡 到本节课的难点-长方体表面上两点之间最短路 径，正方体与长方体有联系又有着区别，因为长方 体的
8、展开图上两点牵扯的面不止一种情况， 故对长 方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所 遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很 多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来 只需讨论三种情况前面和右面展开， 前面和上 面展开，左面和上面展开。培养学生分类讨论思想 和数学建模思想 本环节可以利用学生手上的教具， 再结 合动画演示让学生有更充分的空间观念， 以 至于最后总结出只有三种情况-前面和右面 展开，前面和上面展开，左面和上面展开。 利用分类讨论的思想将长方体表面 部分展开确定最短路程时难度会比较 大，还要通过三种情况来总结三条路线 中最短的一条对学生更是一种挑战。分 类不清、 分类不
9、全使学生容易犯的错误， 教师要充分引导。 学生分为 4 人活动小组，合作探究 蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇 总各小组的答案，在全班范围内讨论每 种方案的路线计算方法， 通过具体计算， 总结出最短路线，得出结论：以长方体 的长、宽、高中最大的量作为独立的一 条直角边，另外两个量之和作为另一条 直角边，计算构成 Rt的斜边长为最短 路线。此环节培养学生小组合作交流能 力。 课堂练习课堂练习 （难点巩固）（难点巩固） 小结小结 利用勾股定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模 型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”解题的关键是深刻理解题 意，并画出符合条件的图形关注学生的方法是否正确，该练习是本节课难点讲解的变式训练， 目的在于让学生增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行类比内化。 关注学生是否能够用自己的语言说出本 节课的感悟， 本环节既是对本节课一系列探究 活动的小结反思， 又让学生养成了每节课的知 识框架和思维方式。 解决几何体表面上两点之间的最短距离 问题的关键是要设法把立体图形转化为平面 图形，具体步骤是： (1)把立体图形展成平面图形； (2)确定点的位置； (3)确定直角三角形； (4)分析直角三角形的边长， 用勾股定理求 解
