1、第 1 页（共 17 页） 2021 年广东省湛江市高考数学测试试卷（一） （一模）年广东省湛江市高考数学测试试卷（一） （一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知() RA B ，则下面选项中一定成立的是( ) AABA BABB CABB DABR 2 （5 分）中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具 影响力的数学竞赛 某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备， 对该校数学
2、集训队进行一 次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为( ) A85，75 B85，76 C74，76 D75，77 3 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是( ) A64 B48 C32 D16 4 （5 分）将函数( )sinf xx图象上所有点的横坐标变为原来的 1 (0) ，纵坐标不变， 得到函数( )g x的图象，若( )g x的最小正周期为6，则( ) A 1 3 B6 C 1 6 D3 5 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，则“ 1nn SS ”是“ n a单调递增”的( ) A充分不必要条件
3、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6（5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F， 点M是C上的一点，M到直线2yp 的距离是M到C的准线距离的 2 倍，且| 6MF ，则(p ) A4 B6 C8 D10 7 （5 分）已知 0.1 3.2a ， 2 log 5b ， 3 log 2c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dabc 8 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线交椭圆C 第 2 页（共 17 页） 于A，B两点，若 2 0BA BF，且 2 |BF，|AB，
4、2 |AF成等差数列，则C的离心率为( ) A 2 2 B 3 2 C 3 3 D 1 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若复数3zi，则( ) A| 2z B| 4z Cz的共轭复数3zi D 2 42 3zi 10 （5 分）已知 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax，则
5、( ) A展开式中所有项的二项式系数和为 2021 2 B展开式中所有奇次项系数和为 2021 31 2 C展开式中所有偶次项系数和为 2021 31 2 D 3202112 232021 1 2222 aaaa 11 （5 分）已知函数 3 ( )31f xxlnx，则( ) A( )f x的极大值为 0 B曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线为x轴 C( )f x的最小值为 0 D( )f x在定义域内单调 12 （5 分）在梯形ABCD中，222ABADDCCB，将BDC沿BD折起，使C到 C 的 位置(C与 C 不重合） ，E，F分别为线段AB， AC 的中点，H在直线 DC
6、上，那么在翻 折的过程中( ) A DC 与平面ABD所成角的最大值为 6 BF在以E为圆心的一个定圆上 C若BH 平面ADC，则3DHC H D当AD 平面BDC时，四面体C ABD的体积取得最大值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 3 页（共 17 页） 13 （5 分）一条与直线230 xy平行且距离大于5的直线方程为 14 （5 分）若向量a，b满足| 4a ，| 2 2b ，()8aba，则a，b的夹角为 ， |ab 15 （5 分）若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下 对应数据：
7、x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 1.5ybx，据此预测，当投入 10 万元时，销售额的估计值为 万元 16 （5 分）已知( )yf x的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，(2)()f xfx恒 成立，当10 x时，( )2xf x ，则(2021)f 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在平面四边形ABCD中，ADCD， 3 4 BAD ，24ABBD （1）求cosADB；
8、 （2）若22BC ，求CD 18 （12 分）已知数列 n a满足 12 23 nnn aaa ， 21 1aa （1）证明：数列 1 nn aa 是等比数列； （2）若 1 1 2 a ，求数列 n a的通项公式 19 （12 分）如图，平面ABCD 平面ABE，/ /ADBC，BCAB，22ABBCAE， F为CE上一点，且 BF 平面ACE （1）证明：AE 平面BCE； （2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60，求AD 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表 如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五
9、 活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法 要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任 选三项 （1）求甲选排球且乙未选排球的概率； （2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，其 中0c ，( ,3)M c在C上，且C的离心率为 2 （1）求C的标准方程； （2）若O为坐标原点， 12 FMF的角平分线l与曲线 22 22 :1 xy D cb 的交点为P，Q，试判 断OP与OQ是否垂直，
10、并说明理由 22 （12 分）已知函数( ) x f xe，( )21g xax （1）若( )( )f xg x恒成立，求a的取值集合； （2）若0a ，且方程( )( )0f xg x有两个不同的根 1 x， 2 x，证明： 12 2 2 xx ln a 第 5 页（共 17 页） 2021 年广东省湛江市高考数学测试试卷（一） （一模）年广东省湛江市高考数学测试试卷（一） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合
11、题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知() RA B ，则下面选项中一定成立的是( ) AABA BABB CABB DABR 【解答】解：ABA，AB，AB时，() RA B ，A错误； ABB，BA，() RA B ，B正确； ABB，AB，同选项A，C错误； ABR，AR时，() RA B ，D错误 故选：B 2 （5 分）中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具 影响力的数学竞赛 某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备， 对该校数学集训队进行一 次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为( ) A85，75 B
12、85，76 C74，76 D75，77 【解答】解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为 71，72，73，74，74，75，75，77，83， 84，85，85，85，86， 故众数为 85，中位数为 7577 76 2 故选：B 3 （5 分）已知圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形，则该圆锥的侧面积是( ) A64 B48 C32 D16 【解答】解：因为圆锥的轴截面是边长为 8 的等边三角形， 故圆锥的底面半径为 4，底面周长为8， 第 6 页（共 17 页） 故圆锥的侧面积是 1 8832 2 故选：C 4 （5 分）将函数( )sinf xx图象上所有点的横坐标变为原来的 1 (0)
13、，纵坐标不变， 得到函数( )g x的图象，若( )g x的最小正周期为6，则( ) A 1 3 B6 C 1 6 D3 【解答】 解： 将函数( )sinf xx图象上所有点的横坐标变为原来的 1 (0) ， 纵坐标不变， 得到函数( )g x的图象， 即( )sing xx， 若( )g x的最小正周期为6， 则 2 6T ，得 1 3 ， 故选：A 5 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，则“ 1nn SS ”是“ n a单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：在等比数列中，若 1nn SS ，则 1 0 n
14、n SS ，即 1 0 n a ， 数列1 n a ，满足 1 0 n a ，即满足 1nn SS ，但 n a为常数列，不是单调递增数列，不满足 条件，即充分性不成立， 当 1 1a ， 1 2 q 时，满足 n a单调递增，但 1nn SS ，不成立，即必要性不成立， 即“ 1nn SS ”是“ n a单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D 6（5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F， 点M是C上的一点，M到直线2yp 的距离是M到C的准线距离的 2 倍，且| 6MF ，则(p ) A4 B6 C8 D10 【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程 2 p y ，
15、 设 0 (P x， 0) y，由抛物线的性质可得 0 | 6 2 p MFy， 第 7 页（共 17 页） 由M到直线2yp的距离是M到C的准线距离的 2 倍可得： 0 212py， 由可得4p ， 故选：A 7 （5 分）已知 0.1 3.2a ， 2 log 5b ， 3 log 2c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dabc 【解答】解： 00.10.50.5 13.23.23.242a， 22 log 5log 42b ， 333 1 3log 2log 31 2 logc， bac 故选：A 8 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别
16、为 1 F， 2 F，过 1 F的直线交椭圆C 于A，B两点，若 2 0BA BF，且 2 |BF，|AB， 2 |AF成等差数列，则C的离心率为( ) A 2 2 B 3 2 C 3 3 D 1 2 【解答】解：因为 2 |BF，|AB， 2 |AF成等差数列， 设 2 |BFx，公差为d，|ABxd， 2 |2AFxd， 因为 2 0BA BF，所以 2 ABBF， 由勾股定理可得： 222 (2 )()xdxxd，解得3xd， 由椭圆的定义可得三角形 2 ABF的周长为4a， 由4345addd，即3ad， 21 |BFaBF， 在直角三角形 21 BF F中， 222 4aac， 所以
17、离心率 2 2 c e a ， 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）若复数3zi，则( ) 第 8 页（共 17 页） A| 2z B| 4z Cz的共轭复数3zi D 2 42 3zi 【解答】解：因为复数3zi， 所以 22 |( 3)( 1)2z ，故选项A正确，选项B错误； z的共轭复数3zi，故选项C正确；
18、 2222 ( 3)( 3)2 322 3ziiii，故选项D错误 故选：AC 10 （5 分）已知 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax，则( ) A展开式中所有项的二项式系数和为 2021 2 B展开式中所有奇次项系数和为 2021 31 2 C展开式中所有偶次项系数和为 2021 31 2 D 3202112 232021 1 2222 aaaa 【解答】解： 2021232021 1232021 (1 2 ) o xaa xa xa xax， 故所有项的二项式系数和为 2021 22 n ，故A正确； 令1x ，可得 2021 123202
19、1 3 o aaaaa， 令1x ，可得 1232021 1 o aaaaa ， ， 并除以 2， 可得展开式中所有偶次项系数和为 2021 2432020 31 2 o aaaaa ， 故C正确； ，并除以 2，可得奇次项的系数和为 2021 1352021 1 3 2 aaaa ，故B错误； 令 1 2 x ，可得 202112 0 22021 0 222 aaa a ，而 0 1a ， 202112 22021 1 222 aaa ，故D正确， 故选：ACD 11 （5 分）已知函数 3 ( )31f xxlnx，则( ) A( )f x的极大值为 0 第 9 页（共 17 页） B曲线
20、( )yf x在(1，f（1）)处的切线为x轴 C( )f x的最小值为 0 D( )f x在定义域内单调 【解答】解： 33 2 3333(1) ( )3 xx fxx xxx ， 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增， 当01x时，( )0fx，( )f x单调递减， 对于:( )A f xf 极小值 （1）0，故A错误； 对于:B kf 切 （1）0，f（1）0， 所以曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线为00(1)yx，即0y ，故B正确； 对于:( )( ) min C f xf xf 极小值 （1）0，故C正确； 对于:( )D f x在(0,1)单调递减，在(1
21、,)单调递增，故D错误 故选：BC 12 （5 分）在梯形ABCD中，222ABADDCCB，将BDC沿BD折起，使C到 C 的 位置(C与 C 不重合） ，E，F分别为线段AB， AC 的中点，H在直线 DC 上，那么在翻 折的过程中( ) A DC 与平面ABD所成角的最大值为 6 BF在以E为圆心的一个定圆上 C若BH 平面ADC，则3DHC H D当AD 平面BDC时，四面体C ABD的体积取得最大值 【解答】解：如图，在梯形ABCD中，因为/ /ABCD，222ABADDCCB， 所以得到ADDB， 3 DAB ， 6 BDCDBC ， 在将BDC沿BD翻折至BDC的过程中，BDC与
22、DBC的大小保持不变， 由线面角的定义可知， DC 与平面ABD所成角的最大值为 6 ，故选项A正确； 因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中， C 的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆 周上， 而EF使ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上， 但此圆的圆心不是点E，故选项B不正确； 第 10 页（共 17 页） 当BH 平面ADC时，BHDH，因为 3 HC B ， 所以2DCBCC H，所以3DHC H，故选项C正确； 在翻折的过程中，BC D的面积不变，故 当AD 平面BDC时，四面体C ABD的体积取得最大值，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题
23、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 一条与直线230 xy平行且距离大于5的直线方程为 20(2xycc 或8)c 【解答】解：因为所求直线与230 xy平行，故设所求直线方程为20 xyc， 因为直线与230 xy的距离大于5， 所以 |3| 5 5 c d ，解得2c 或8c ， 故与直线230 xy平行且距离大于5的直线方程为20(2xycc 或8)c 故答案为：20(2xycc 或8)c 14 （5 分） 若向量a，b满足| 4a ，| 2 2b ，()8aba， 则a，b的夹角为 3 4 ， |ab 【解答】解：因为| 4a ，| 2 2b
24、 ， 所以 2 ()168abaaa ba b， 故8a b ，所以cosa， 82 2|42 2 a b b a b ， 因为,0, a b，故 3 , 4 a b 而 22222 |()24(2 2)2 82 2ababaa bb 故答案为： 3 ,2 2 4 第 11 页（共 17 页） 15 （5 分）若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下 对应数据： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为 1.5ybx，据此预测，当投入 10 万元时，销售额的估计值为 106.5 万元 【解答】解
25、： 1 (24568)5 5 x ， 1 (2040607080)54 5 y ， 样本中心为(5,54)， 将其代入回归直线方程 1.5ybx中，有 5451.5b，解得 10.5b ， 回归直线方程为10.51.5yx， 当10 x 时，10.5 101.5106.5y ， 当投入 10 万元时，销售额的估计值为 106.5 万元 故答案为：106.5 16 （5 分）已知( )yf x的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，(2)()f xfx恒 成立，当10 x时，( )2xf x ，则(2021)f 1 2 【解答】解：根据题意，( )yf x的图象关于坐标原点对称，即( )yf x
26、是奇函数，则有 ()( )fxf x ， 又由对任意的xR，(2)()f xfx恒成立，即(2)( )f xf x 恒成立， 则有(4)(2)( )f xf xf x 对任意的x都成立， 故( )f x是周期为 4 的周期函数，则(2021)(14 505)fff（1）( 1)f ， 当10 x时，( )2xf x ，则 1 1 ( 1)2 2 f ， 则(2021)ff（1） 1 ( 1) 2 f ， 故答案为： 1 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，
27、在平面四边形ABCD中，ADCD， 3 4 BAD ，24ABBD （1）求cosADB； 第 12 页（共 17 页） （2）若22BC ，求CD 【解答】解： （1）ABD中，由余弦定理得， 222 cos 2 ADABBD DAB AD AB ， 222 cos 2 ADBDAB ADB AD BD ， 因为 3 4 BAD ，2AB ，4BD ， 故142AD ， 14 cos 4 ADB， （2）由（1）得 142 sin1 164 ADB， 因为ADCD，即90ADC， 所以coscos()0ADCADBBDC， 解得， 2 cos 4 BDC， 根据余弦定理得， 222 cos
28、2 BDCDBC BDC BD CD ， 所以 2 21622 424 CD CD ， 故3 2CD 或2CD （舍)， 故3 2CD 18 （12 分）已知数列 n a满足 12 23 nnn aaa ， 21 1aa （1）证明：数列 1 nn aa 是等比数列； （2）若 1 1 2 a ，求数列 n a的通项公式 【解答】 （1）证明： 12 23 nnn aaa ， 211 2() nnnn aaaa ， 又 21 1aa， 数列 1 nn aa 是首项为 1，公比为 2 等比数列； （2）解：由（1）可得： 1 1 2n nn aa ， 1 1 2 a ， 第 13 页（共 17
29、页） 1 2301 1122111 1211 ()()()2222 1222 n nnn nnnnn aaaaaaaaa ，2n， 又 1 1 2 a ，也适合上式， 1 1 2 2 n n a 19 （12 分）如图，平面ABCD 平面ABE，/ /ADBC，BCAB，22ABBCAE， F为CE上一点，且 BF 平面ACE （1）证明：AE 平面BCE； （2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60，求AD 【解答】解： （1）证明：因为平面ABCD 平面ABE， 平面ABCD平面ABEAB，BCAB，BC 平面ABCD， 所以BC 平面ABE，又因为AE 平面ABE，所以BCAE，
30、又因为BF 平面ACE，AE 平面ACE，所以BFAE， 又因为BFBCB，所以AE 平面BCE （2）设ADt，由（1）知AE 平面BCE，BE 平面BCE， 所以AEBE，建立如图所示的空间直角坐标系， (0A，1，0)，( 3B，0，0)，(0D，1，) t，(0E，0，0)，( 3C，0，2)， (0ED ，1，) t，( 3EC ，0，2)， 设平面CDE的法向量为(mx，y，) z， 0 320 ED mytz EC mxz ，令3z ，(2m，3t，3)， 平面ABE法向量为(0n ，0，1)， 因为平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60， 第 14 页（共 17 页） 所以
31、2 |31 cos60 | |2 73 m n mn t ，解得 15 3 t 故 15 3 AD 20 （12 分）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表 如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法 要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任 选三项 （1）求甲选排球且乙未选排球的概率； （2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望 【解答】解： （1）甲选排球的概率 1 2 2 3 2 3 C C ，乙未选排球的概率 3 4 3 5 2 5 C C ， 甲选
32、排球且乙未选排球的概率 224 3515 （2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则0X ，1，2，3 乙，丙选排球的概率都为 2 4 3 5 3 5 C C ， 选排球 不选排球 甲 2 3 1 3 乙 3 5 2 5 丙 3 5 2 5 第 15 页（共 17 页） 1224 (0) 35575 P X ， 21 2 2213220 (1)( ) 3535575 P XC， 23213333 (2)2 35535575 P X ， 23318 (3) 35575 P X ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 75 20 75 33 75 18 75 数学期望 420331
33、828 ()0123 7575757515 E X 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，其 中0c ，( ,3)M c在C上，且C的离心率为 2 （1）求C的标准方程； （2）若O为坐标原点， 12 FMF的角平分线l与曲线 22 22 :1 xy D cb 的交点为P，Q，试判 断OP与OQ是否垂直，并说明理由 【解答】解： （1）由题意可得2 c e a ，即2ca， 22 3bcaa， 又( ,3)M c在C上，可得 2 22 9 1 c ab ， 解得3b ，1a ， 则双曲线的方
34、程为 2 2 1 3 y x ； （2）由（1）可得(2,3)M，曲线D的方程为 22 1 43 xy ， 在直角三角形 12 MF F中， 212 MFFF， 2 | 3MF ， 12 | 4FF ， 1 | 5MF ， 设 12 FMF的角平分线l与x轴交于N， 由角平分线的性质定理可得 22 11 |3 |5 NFMF NFMF ， 又 1212 | | 4NFNFFF， 解得 2 3 | 2 NF ， 所以 2 2 2 | tan2 | MF MNF NF ， 第 16 页（共 17 页） 可得直线l的方程为32(2)yx，即21yx， 联立 22 21 3412 yx xy ，可得
35、2 191680 xx， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，可得 2 164 19 ( 8)0 ， 12 16 19 xx， 12 8 19 x x ， 12121212 323245 (21)(21)42()11 191919 y yxxx xxx ， 所以 1212 84553 0 191919 x xy y ， 所以OP与OQ不垂直 22 （12 分）已知函数( ) x f xe，( )21g xax （1）若( )( )f xg x恒成立，求a的取值集合； （2）若0a ，且方程( )( )0f xg x有两个不同的根 1 x， 2 x，证明： 12 2 2 x
36、x ln a 【解答】 （1）解：令( )( )( )21 x h xf xg xeax，( )2 x h xea， 当0a时，( ) 0h x恒成立，所以( )h x在R上单调递增， 因为(0)0h，所以当0 x 时，( )0h x ，与题意不符； 当0a 时，令( )0h x，解得2xln a， 当(,2 )xln a 时，( )0h x，( )h x单调递减，当( 2 ,)xln a时，( )0h x，( )h x单调递 增， 所以( )(2 )2221 0 min h xh ln aaaln a ， 令( )1u xxxlnx，( )u xlnx ， 当(0,1)x时，( )0u x，
37、( )u x单调递增，当(1,)x，( )0u x，( )u x单调递减， 所以( )u xu（1）0，即1 0 xxlnx ，所以2221 0aaln a ， 第 17 页（共 17 页） 所以22210aaln a ，解得 1 2 a ， 所以a的取值集合为 1 2 （2）证明：不妨设 12 xx，由题意可得 1 ()0h x， 2 ()0h x 所以 1 1 210 x eax ， 2 2 210 x eax ，所以 21 21 2 xx ee a xx ， 要证 12 2 2 xx ln a ，即证 12 2 2 xx ea ，即证 12 21 2 21 xxxx ee e xx ，
38、两边同除以 2 x e，即证 12 12 2 21 1 xxxx e e xx ，即证 12 122 12 ()1 xx xx xx ee ， 即证 12 122 12 ()10 xx xx xx ee ， 令 12 (0)xxt t 即证不等式 2 10(0) t t teet 恒成立 设 2 ( )1 t t ttee， 22222 111 ( )(1)(1) 222 ttttt tt teteet eee et ， 设( )(1) x G xex，0 x ，所以( )10 x G xe ，( )G x单调递减， ( )(0)0G xG，即(1)0 x ex， 所以 2 1 (1)0 2 t et，所以( )0t， 所以( ) t在(,0)上是减函数 所以( ) t在0t 处取得极小值(0)0 所以( )0t 则 12 2 2 xx ln a
